Calcolo frazionario

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Il calcolo frazionario è una branca dell'analisi matematica che studia le diverse possibilità di definire una potenza reale o complessa dell'operatore derivata

,

e dell'operatore integrale

,[1]

e sviluppare un calcolo infinitesimale per questi operatori, generalizzando quelli classici.

In questo contesto, il termine potenza si riferisce all'applicazione iterata di un operatore lineare a una funzione, in analogia alla composizione di funzioni nel caso a una variabile, cioè .

Per esempio, ci si potrebbe chiedere se interpretare

come l'analogo della radice quadrata funzionale per un operatore differenziale, cioè un certo operatore lineare che quando applicato due volte a qualsiasi funzione ha lo stesso effetto della derivata. Più in generale, ci si potrebbe chiedere di definire un funzionale lineare

per ogni numeri reale in modo tale che, quando assume un valore intero , coincide con la usuale derivata -esima se o con la -esima potenza di se .

Una delle motivazioni dietro l'introduzione e lo studio di questa estensione dell'operatore derivata è che gli insiemi delle potenze definite in questo modo sono semigruppi continui con parametro , di cui l'originale semigruppo discreto di è un sottogruppo numerabile: poiché i semigruppi continui hanno una teoria matematica ben sviluppata, è interessante applicarli ad altre branche della matematica.

Le equazioni differenziali frazionarie, anche conosciute come equazioni differenziali straordinarie, sono una generalizzazione delle equazioni differenziali attraverso l'applicazione del calcolo frazionario.

Note storiche[modifica | modifica wikitesto]

Nella matematica applicata e nell'analisi matematica, la derivata frazionaria è una derivata di ordine arbitrario, reale o complesso. La prima apparizione del concetto di derivata frazionaria si trova in una lettera scritta a Guillaume de l'Hôpital da Gottfried Wilhelm Leibniz nel 1695.[2] Le fondamenta di questa teoria furono create da Liouville in un saggio del 1832.[3][4][5]

Natura della derivata frazionaria[modifica | modifica wikitesto]

La derivata di una funzione in un punto è una proprietà locale solo quando è un intero; non è questo il caso per derivate non intere. In altre parole, non è corretto dire che la derivata frazionaria in di una funzione dipende dai valori di vicino a , nel modo in cui fanno certamente le derivate intere. Dunque, ci si aspetta che una tale teoria coinvolga qualche sorta di condizioni al contorno, interessandosi anche al comportamento lontano della funzione.[6]

La derivata frazionaria di ordine di una funzione è spesso definita per mezzo della trasformata di Fourier o di Mellin.

Euristica[modifica | modifica wikitesto]

Una naturale domanda è chiedersi se esiste un operatore lineare , o derivata mezza, tale che

.

Risulta poi che questo operatore esiste e che in realtà per ogni c'è un operatore tale che

In altre parole, la definizione di può essere estesa a tutti i valori reali di .

Sia una funzione definita solo per . Si indica con l'integrale definito da a con

.

Iterando questo procedimento si ha

che può essere esteso arbitrariamente.

La formula di Cauchy per integrazioni ripetute, ossia

porta in maniera chiara alla generalizzazione per reale.

Usando la funzione Gamma per rimuovere la natura discreta del fattoriale, si ottiene un naturale candidato per l'applicazione frazionaria dell'operatore integrale.

Infatti questo è un operatore ben definito.

È facile da mostrare che l'operatore soddisfa

Dimostrazione

dove nell'ultimo passaggio si è scambiato l'ordine di integrazione e si è portato fuori il fattore dall'integrale. Cambiando variabile con , definita da ,

L'integrale interno è la funzione beta di Eulero, che soddisfa la seguente proprietà:

Sostituendo nell'equazione si ha

Lo scambio di e mostra che l'ordine di applicazione dell'operatore è irrilevante e questo completa la dimostrazione.

Questa relazione è detta proprietà di semigruppo dell'operatore frazionario differintegrale. Sfortunatamente il procedimento analogo per l'operatore derivata è decisamente più complesso, ma si può mostrare che in generale non è né commutativo né additivo.

Derivata frazionaria di una potenza[modifica | modifica wikitesto]

La derivata mezza (curva viola) della funzione (in blu) insieme alla derivata prima (in rosso).
L'animazione mostra in modo continuo l'operatore derivata di ordine tra (l'antiderivata) e (la derivata prima) della funzione .

Si assuma che è un monomio della forma

La derivata prima è semplicemente

Ripetendo la derivazione si ottiene il risultato generale

che, dopo aver sostituito i fattoriali con la funzione Gamma, porta a

Per e , si ottiene che la derivata mezza della funzione è

Per dimostrare che si tratta della "derivata mezza" (cioè ), si ripete il procedimento per avere:

(poiché e )

che è infatti il risultato aspettato

Per potenze con intero negativo, la funzione Gamma non è definita e si deve usare la seguente relazione:[7]

Non c'è bisogno che questa estensione dell'operatore derivata sia vincolata solo ai numeri reali. Per esempio, la derivata -esima della derivata -esima produce l'usuale derivata seconda. Valori negativi di danno luogo all'operatore integrale.

Per una funzione generale e , la derivata frazionaria completa è

Per un arbitrario, poiché la funzione Gamma non è definita nei numeri interi negativi, è necessario applicare la derivata frazionaria dopo aver svolto la derivata intera. Per esempio,

Trasformata di Laplace[modifica | modifica wikitesto]

Si può giungere alla definizione anche attraverso la trasformata di Laplace. Sapendo che

e

etc., si afferma che

.

Per esempio,

come atteso. Infatti, data la regola di convoluzione,

e abbreviando per chiarezza, si trova che

che è esattamente uguale a quello ottenuto dalla formula di Cauchy.

La trasformata di Laplace "funziona" relativamente su poche funzioni, ma sono spesso utili per risolvere equazioni differenziali frazionarie.

Integrali frazionari[modifica | modifica wikitesto]

Integrale frazionario di Riemann–Liouville[modifica | modifica wikitesto]

La classica forma del calcolo frazionario è dato dall'integrale di Riemann–Liouville, che è essenzialmente quello descritto precedentemente. Per le funzioni periodiche, dunque includendo anche la 'condizione di contorno' di ripetersi dopo un periodo, la teoria utilizza l'integrale di Weyl. Quest'ultimo è definito sulle serie di Fourier e richiede che il coefficiente costante di Fourier si annulli; quindi si applica alle funzioni sul cerchio unitario il cui valore dell'integrale è 0.

Al contrario la derivata di Grünwald–Letnikov inizia con la derivata invece dell'integrale.

Integrale frazionario di Hadamard[modifica | modifica wikitesto]

L'integrale frazionario di Hadamard, introdotto da J. Hadamard,[8] è dato dalla seguente formula,

Integrale frazionario di Atangana–Baleanu[modifica | modifica wikitesto]

Recentemente, usando la funzione di Mittag-Leffler generalizzata, Atangana e Baleanu suggerirono una nuova formulazione della derivata frazionaria con Kernel non locali e non singolari, così da costruire il seguente operatore integrale frazionario:

dove è una funzione di normalizzazione tale che .[9][10]

Derivate frazionarie[modifica | modifica wikitesto]

Diversamente dalle derivate classiche di Newton, la derivata frazionaria è definita attraverso un integrale frazionario.

Derivata frazionaria di Riemann–Liouville[modifica | modifica wikitesto]

La corrispondente derivata è calcolata utilizzando la regola di Lagrange per gli operatori differenziali. Calcolando la derivata -esima dell'integrale di ordine , si ottiene la derivata -esima, dove è l'intero più vicino maggiore di (cioè, ).

Derivata frazionaria di Caputo[modifica | modifica wikitesto]

C'è un'altra opzione per calcolare le derivata frazionarie di una funzione: la derivata frazionaria di Caputo. Fu introdotta da M. Caputo nel suo articolo del 1967.[11] Al contrario della derivata di Riemann-Liouville, quando si risolvono delle equazioni differenziali usando la definizione di Caputo, non è necessario definire le condizioni iniziali dell'ordine frazionario. La derivata di Caputo è definita come segue.

Derivata di Caputo-Fabrizio[modifica | modifica wikitesto]

In un lavoro del 2015 di M. Caputo e M. Fabrizio è stata proposta una nuova definizione di derivata frazionaria che ha un nucleo non singolare, definita per una funzione di classe :

dove .

Questa derivata però, così come la derivata di Atangana-Baleanu e tutte le derivate ottenute sostituendo al nucleo debolmente singolare della derivata di Caputo un nucleo non singolare (in questo caso ) presenta un grosso limite che la rende di fatto inutilizzabile. Infatti è facile dimostrare che e pertanto quando è utilizzata in una equazione differenziale del tipo è necessario che la condizione iniziale sia scelta in modo tale che anche . Questo tipo di condizione appare estremamente restrittiva in quanto è l'operatore utilizzato a determinare il dato iniziale, una condizione che fisicamente non ha alcun senso e che in ogni caso impone condizioni estremamente restrittive.

Va anche detto che pur quando tale restrittiva condizione sia verificata, l'equazione differenziale potrà essere riscritta come

dimostrando non solo che la derivata di Caputo-Fabrizio è in realtà una derivata intera, ma che è anche inutile in quanto rappresenta fenomeni descrivibili mediante classiche equazioni differenziali di ordine intero.[12]

Il ragionamento sopra esposto ha un grosso limite. Infatti, in assenza di una definizione condivisa di derivata frazionaria e quindi delle sue proprietà, non possiamo avere l’arbitrio di introdurre particolari condizioni per stabilire quali, fra gli operatori differenziali, possano essere definiti come derivate frazionarie e quali no. Per cui non si possono fare affermazioni o esempi dove l’operatore frazionario, in esame, non verifica certe condizioni e quindi non possa essere definito come frazionario o derivata frazionaria. Infine non si può contestare la definizione di C-F derivata frazionaria, osservando che per una molto particolare equazione differenziale è necessario avere opportune condizioni iniziali. Il concetto di operatore differenziale frazionario deve essere ampio e quindi non deve essere associato o condizionato a particolari restrizioni che non siano connesse ad un vasto ed universale concetto di operatore frazionario.

Derivata di Atangana–Baleanu[modifica | modifica wikitesto]

C'è un'ulteriore variante della definizione di derivata frazionaria, basata sull'uso della funzione di Mittag-Leffler generalizzata come Kernel. Questa nuova versione fu introdotta da Abdon Atangana e Dumitru Baleanu nel 2016 nel loro lavoro.[13] Gli autori hanno introdotto due versioni: una è Atangana–Baleanu nel senso di Caputo (ABC) che è la convoluzione della derivata locale di una funzione con la funzione di Mittag-Leffler generalizzata; la seconda versione è chiamata derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Riemann–Liouville (ABR) ed è la derivata della convoluzione di una data funzione non necessariamente derivabile con la funzione di Mittag-Leffler generalizzata.[14] La derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Caputo è la seguente.

E la derivata frazionaria di Atangana–Baleanu nel senso di Riemann–Liouville è definita come:

In particolare, questa variante di derivata frazionaria ha portato nuovi strumenti alla matematica applicata per modellizzare sempre più precisamente problemi complessi.[15][16][17]

Si noti che questa derivata presenta le stesse limitazioni della derivata di Caputo-Fabrizio che la rende di fatto inutilizzabile. Anche in questo caso una equazione differenziale del tipo ammette soluzione solo quando ed inoltre quando vale questa condizione (che impone condizioni estremamente restrittive sulla condizione iniziale) allora l'equazione è equivalente ad una equazione differenziale frazionaria con la derivata frazionaria classica di Caputo del tipo

Si tratta queste di proprietà condivisa da tutte le derivate con nucleo non singolare: ammettono soluzione solo sotto condizioni iniziali estremamente restrittive e, quando tali condizioni sono soddisfatte, possono essere riformulate come equazioni più semplici. Il loro utilizzo pertanto è fortemente sconsigliato.[12]

Altri tipi[modifica | modifica wikitesto]

Le derivate frazionarie classiche includono:

  • Derivata di Grünwald–Letnikov
  • Derivata di Sonin–Letnikov
  • Derivata di Liouville
  • Derivata di Caputo
  • Derivata di Hadamard
  • Derivata di Marchaud
  • Derivata di Riesz
  • Derivata di Riesz–Miller
  • Derivata di Miller–Ross
  • Derivata di Weyl
  • Derivata di Erdélyi–Kober

Mentre fra le nuove derivate compaiono:

  • Derivata di Machado
  • Derivata di Chen–Machado
  • Derivata di Coimbra
  • Derivata di Katugampola
  • Derivata di Caputo–Katugampola
  • Derivata di Hilfer
  • Derivata di Hilfer-Katugampola
  • Derivata di Davidson
  • Derivata di Chen
  • Derivata di Caputo-Fabrizio
  • Derivata di Atangana–Baleanu
  • Derivata di Pichaghchi

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Operatore di Erdélyi–Kober[modifica | modifica wikitesto]

L'operatore di Erdélyi–Kober è un operatore integrale introdotto da Arthur Erdélyi (1940)[18] e Hermann Kober (1940)[19], dato da

che generalizza l'integrale frazionario di Riemann–Liouville e l'integrale di Weyl.

Operatori di Katugampola[modifica | modifica wikitesto]

Una recente generalizzazione introdotta da Udita Katugampola (2011) è la seguente, che generalizza l'integrale frazionario di Riemann–Liouville e quello di Hadamard. L'operatore è conosciuto ora anche come l'integrale frazionario di Katugampola e è dato da,[2][20]

Anche se l'operatore integrale in questione è molto simile all'operatore di Erdélyi–Kober, non è possibile ottenere l'integrale di Hadamard come conseguenza dell'operatore di Erdélyi–Kober. Inoltre c'è un tipo della derivata frazionaria di Katugampola che generalizza le derivate di Riemann–Liouville e di Hadamard.[2] Come per gli integrali frazionari, non vale per l'operatore di Erdélyi–Kober.[2]

Calcolo funzionale[modifica | modifica wikitesto]

Nel contesto dell'analisi funzionale, le funzioni più generali sono studiate nel calcolo funzionale della teoria spettrale. La teoria degli operatori pseudo-differenziali permette anche di considerare potenze di . Quest'ultimi sono esempi di operatori integrali singolari e la generalizzazione della teoria in dimensioni maggiori è chiamata teoria dei potenziali di Riesz. Quindi ci sono disponibili molte teorie contemporaneamente, dentro cui si può discutere il calcolo frazionale. Importante nella teoria delle funzioni speciali è l'operatore di Erdélyi–Kober.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Conservazione frazionaria della massa[modifica | modifica wikitesto]

Come descritto da Wheatcraft e Meerschaert (2008),[21] serve un'equazione di conservazione frazionaria della massa per modellizzare le correnti dei fluidi quando il volume di controllo non è abbastanza grande rispetto alla scala di eterogeneità e quando il flusso dentro tale volume non è lineare. Nel documento citato, l'equazione di conservazione frazionaria della massa per le correnti dei fluidi è:

Problema del flusso dell'acqua sotterranea[modifica | modifica wikitesto]

Nel 2013–2014 Atangana et al. descrissero alcuni problemi riguardanti il flusso di acqua sotterranea utilizzando il concetto di derivata frazionaria.[22][23] In questi lavori viene generalizzata la classica legge di Darcy considerando la corrente d'acqua come una funzione di derivata non intera della testa piezometrica. Questa legge generalizzata e la conservazione della massa sono usate per derivare la nuova equazione per il flusso dell'acqua nel suolo.

Equazione frazionaria di avvezione-diffusione[modifica | modifica wikitesto]

Si è mostrato che l'equazione frazionaria di avvezione-diffusione è molto utile nel modellizzare correnti contaminate in mezzi porosi eterogenei. .[24][25][26]

Atangana e Kilicman estesero l'equazione a un ordine variabile. Nei loro scritti fu generalizzata l'equazione di dispersione idrodinamica usando il concetto di derivata di ordine variabile. L'equazione modificata fu risolta numericamente attraverso il metodo di Crank–Nicolson. Le simulazioni numeriche mostrarono che l'equazione modificata è molto più affidabile nel predire il movimento dell'inquinamento in falde deformabili rispetto alle derivate intere e frazionarie costanti[27]

Modelli dell'equazione frazionaria di diffusione nello spazio-tempo[modifica | modifica wikitesto]

Processi anomali di diffusione in mezzi complessi possono essere ben caratterizzati usando i modelli di equazione di ordine frazionario di diffusione.[28][29] Il termine della derivata temporale corrisponde al decadimento lento e la derivata spaziale alla non-località della diffusione. L'equazione che governa la diffusione frazionaria nello spazio-tempo può essere scritta come

Una semplice estensione della derivata frazionaria è quella di ordine variabile, in cui e sono sostituiti da e . Si può trovare la sua applicazione nei modelli di diffusione anomala nelle note.[27][30]

Modelli di smorzamento strutturale[modifica | modifica wikitesto]

Le derivate frazionarie sono usate per modellizzare lo smorzamento viscoelastico in certi tipi di materiale, come i polimeri.[31]

Controllo PID[modifica | modifica wikitesto]

Generalizzando i controlli PID in modo da usare ordini frazionari si può aumentare i loro gradi di libertà. Si può scrivere la nuova equazione sulla variabile di controllo in termini del valore dell'errore misurato come

dove e sono ordini frazionari positivi e , , e , tutti non negativi, indicano rispettivamente i coefficienti del controllo proporzionale, integrale e differenziale, qualche volta indicati con P, I, and D.[32]

Equazione delle onde acustiche in mezzi complessi[modifica | modifica wikitesto]

La propagazione delle onde acustiche nei mezzi complessi, ad esempio nei tessuti biologici, di solito implica un'attenuazione che obbedisce a una legge di potenza della frequenza. Questo tipo di fenomeno può essere descritto usando un'equazione delle onde causale che include derivate temporali frazionarie:

Vedere anche[33] e i collegamenti in essa. Questi modelli sono collegati all'ipotesi riconosciuta che fenomeni multipli di rilassamento danno origine a un'attenuazione misurata nei mezzi complessi. Questa correlazione è descritta in[34] e in questo studio,[35]. Vedere[36] per un articolo recente in cui compare l'equazione frazionaria delle onde che modellizza l'attenuazione a legge di potenza.

Equazione di Schrödinger frazionaria della teoria quantistica[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione di Schrödinger frazionaria, fondamentale nella meccanica quantistica frazionaria, ha la seguente forma:[37]

dove la soluzione dell'equazione è la funzione d'onda , l'ampiezza di probabilità quantomeccanica per una particella di avere una certa posizione in un ogni istante , e è la costante di Planck ridotta. La funzione dell'energia potenziale dipende dal sistema.

Inoltre è l'operatore di Laplace, e è una costante di scala di dimensioni fisiche , (con , per una particella di massa ), e l'operatore è la derivata frazionaria quantistica di Riesz in tre dimensioni, definita da

L'indice nell'equazione di Schrödinger frazionaria si chiama l'indice di Lévy, e .

Equazione di Schrödinger frazionaria di ordine variabile[modifica | modifica wikitesto]

Come naturale generalizzazione dell'equazione di Schrödinger frazionaria, si sfrutta l'equazione con derivate frazionarie variabili per studiare fenomeni della meccanica quantistica frazionari.[38]

dove è l'operatore di Laplace e l'operatore è la derivata frazionaria quantistica di Riesz a ordine variabile.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Comunemente viene usato il simbolo al posto dell'intuitivo per evitare confusione con altri concetti indicati con la stessa lettera, come i glifi o le identità.
  2. ^ a b c d Katugampola, U.N., "A New Approach To Generalized Fractional Derivatives", Bull. Math. Anal. App. Vol 6, Issue 4, 15 October 2014, pages 1–15
  3. ^ Joseph Liouville, "Mémoire sur quelques questions de géométrie et de mécanique, et sur un nouveau genre de calcul pour résoudre ces questions", Journal de l'École polytechnique, vol. 13, sezione 21, (1832), pp. 1-69.
  4. ^ Joseph Liouville, "Mémoire sur le calcul des différentielles à indices quelconques", Journal de l'École polytechnique, vol. 13, sezione 21, (1832), pp. 71-162.
  5. ^ Per la storia del calcolo frazionario, vedere la tesi (in francese): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994)
  6. ^ Fractional Calculus, su mathpages.com. URL consultato il 3 gennaio 2018.
  7. ^ Mauro Bologna, Short Introduction to Fractional Calculus (PDF), Universidad de Tarapaca, Arica, Chile. URL consultato il 24 maggio 2018 (archiviato dall'url originale il 17 ottobre 2016).
  8. ^ Hadamard, J., Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor, Journal of pure and applied mathematics, vol. 4, no. 8, pp. 101–186, 1892.
  9. ^ Badr Saad T. Alkahtani, " Chua's circuit model with Atangana–Baleanu derivative with fractional order Chaos, Solitons & Fractals", Volume 89, Agosto 2016, Pagine 547–551
  10. ^ Obaid Jefain Julaighim Algahtani. Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model. Chaos, Solitons & Fractals, Volume 89, Agosto 2016, Pagine 552–559.
  11. ^ Michele Caputo, Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent-II, in Geophysical Journal International, vol. 13, n. 5, 1967, pp. 529–539, DOI:10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x. Ospitato su Oxford University Press..
  12. ^ a b (EN) Kai Diethelm, Roberto Garrappa, Andrea Giusti, Martin Stynes, Why fractional derivatives with nonsingular kernels should not be used, in Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 23, n. 3, 2020, pp. 610–634, DOI:10.1515/fca-2020-0032. URL consultato il 23 maggio 2021.
  13. ^ Dumitru B. Atangana A., New fractional derivatives with non-local and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model, Thermal Science, Year 2016, Vol. 20, No. 2, pp. 763–769.
  14. ^ Koca I. Atangana A., Chaos in a simple nonlinear system with Atangana–Baleanu derivatives with fractional order, Chaos, Solitons & Fractals, Volume 89, August 2016, Pages 447–454, in Chaos, Solitons & Fractals, vol. 89, 2016, pp. 447–454, DOI:10.1016/j.chaos.2016.02.012.
  15. ^ Tateishi Angel A., Haroldo Ribeiro V. Ervin Lenzi K., The Role of Fractional Time-Derivative Operators on Anomalous Diffusion, Front. Phys., 25 October 2017, in Frontiers in physics, vol. 5, 2017, pp. 1–9, DOI:10.1016/10.3389/fphy.2017.00052.
  16. ^ Atangana Abdon, Non validity of index law in fractional calculus: A fractional differential operator with Markovian and non-Markovian properties, in Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 505, 2018, pp. 688-706, DOI:10.1016/j.physa.2018.03.056.
  17. ^ https://clarivate.com/blog/science-research-connect/fractional-derivative-modeling-real-world-problems/
  18. ^ Arthur Erdélyi, On some functional transformations, in Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino, vol. 10, 1950–51, pp. 217–234, MR 0047818.
  19. ^ Hermann Kober, On fractional integrals and derivatives, in The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series), vol. 11, n. 1, 1940, pp. 193–211, DOI:10.1093/qmath/os-11.1.193.
  20. ^ Udita N. Katugampola, New approach to a generalized fractional integral, in Applied Mathematics and Computation, vol. 218, 2011, pp. 860–865, DOI:10.1016/j.amc.2011.03.062.
  21. ^ Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2008). "Fractional Conservation of Mass." Advances in Water Resources 31, 1377–1381.
  22. ^ Abdon Atangana e Necdet Bildik, The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow, in Mathematical Problems in Engineering, vol. 2013, 2013, pp. 1–9, DOI:10.1155/2013/543026.
  23. ^ Abdon Atangana e P. D. Vermeulen, Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation, in Abstract and Applied Analysis, vol. 2014, 2014, pp. 1–11, DOI:10.1155/2014/381753.
  24. ^ D. Benson, S. Wheatcraft e M. Meerschaert, Application of a fractional advection-dispersion equation, in Water Resources Res, vol. 36, 2000, pp. 1403–1412, Bibcode:2000WRR....36.1403B, DOI:10.1029/2000wr900031.
  25. ^ D. Benson, S. Wheatcraft e M. Meerschaert, The fractional-order governing equation of Lévy motion, in Water Resources Res, vol. 36, 2000, pp. 1413–1423, Bibcode:2000WRR....36.1413B, DOI:10.1029/2000wr900032.
  26. ^ Benson, D., Schumer, R., Wheatcraft, S., Meerschaert, M., (2001). "Fractional dispersion, Lévy motion, and the MADE tracer tests." Transport Porous Media 42, 211–240.
  27. ^ a b Abdon Atangana e Adem Kilicman, On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative, in Mathematical Problems in Engineering, vol. 2014, 2014, p. 9, DOI:10.1155/2014/542809.
  28. ^ R. Metzler e J. Klafter, The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach, in Phys. Rep., vol. 339, 2000, pp. 1–77, DOI:10.1016/s0370-1573(00)00070-3.
  29. ^ F. Mainardi, Y. Luchko e G. Pagnini, The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation, in Fractional Calculus and Applied Analysis, vol. 4, n. 2, 2001, pp. 153–192.
  30. ^ R. Gorenflo, F. Mainardi, "Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk", Springer Lecture Notes in Physics, No 621, Berlin 2003, pp. 148–166 arXiv:0709.3990
  31. ^ Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Archiviato il 19 maggio 2012 in Internet Archive. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010.
  32. ^ Tenreiro Machado JA, et al, Some Applications of Fractional Calculus in Engineering, in Mathematical Problems in Engineering, vol. 2010, 2009, pp. 1–34, DOI:10.1155/2010/639801.
  33. ^ S. Holm e S. P. Näsholm, A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media, in Journal of the Acoustical Society of America, vol. 130, n. 4, 2011, pp. 2195–2201, DOI:10.1121/1.3631626.
  34. ^ S. P. Näsholm e S. Holm, Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations, in Journal of the Acoustical Society of America, vol. 130, n. 5, 2011, pp. 3038–3045, DOI:10.1121/1.3641457.
  35. ^ S. P. Näsholm and S. Holm, "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation," Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, No 1 (2013), pp. 26–50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 Link to e-print
  36. ^ Holm S., Näsholm, S. P., "Comparison of Fractional Wave Equations for Power Law Attenuation in Ultrasound and Elastography," Ultrasound Med. Biol., 40(4), pp. 695–703, DOI: 10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033 [1]
  37. ^ N. Laskin, (2002), Fractional Schrödinger equation, Physical Review E66, 056108 7 pages. (also available online: https://arxiv.org/abs/quant-ph/0206098)
  38. ^ A.H. Bhrawy e M.A. Zaky, An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations, in Applied Numerical Mathematics, vol. 111, 2017, pp. 197–218, DOI:10.1016/j.apnum.2016.09.009.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Articoli sulla storia del calcolo frazionario[modifica | modifica wikitesto]

Articoli di recensione[modifica | modifica wikitesto]

Libri[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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