Dominio semplice

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I domini delle funzioni a più variabili possono presentare una forma di regolarità per cui è possibile delimitare la regione da intervalli e grafici di funzione. Si parla quindi di dominio semplice o normale rispetto alla variabile delimitabile da un intervallo [a,b] (se in R2 ad esempio).

La normalità di un dominio è molto importante nella risoluzione degli integrali multipli tramite le formule di riduzione.

Domini semplici (o normali) nel piano[modifica | modifica wikitesto]

In esistono due casi di normalità:

Dominio normale all'asse x
Dominio perpendicolare all'asse x (semplice rispetto a y)
La regione è delimitata per l'asse x da due valori numerici e per l'asse y da due funzioni della variabile x continue nell'intervallo che la delimita:
.
Dominio normale all'asse y
Dominio perpendicolare all'asse y (semplice rispetto a x)
La regione è delimitata per l'asse y da due valori numerici e per l'asse x da due funzioni della variabile y continue nell'intervallo che la delimita:
.

Domini semplici nello spazio[modifica | modifica wikitesto]

Esempio di dominio normale in R3 (piano xy)

In esistono ben 6 diversi tipi di normalità (rispetto - infatti - a piani):

  • T è normale al piano xy
    • con D normale all'asse x
    • con D normale all'asse y (come da esempio)
  • T è normale al piano xz
    • con D normale all'asse x
    • con D normale all'asse z
  • T è normale al piano yz
    • con D normale all'asse y
    • con D normale all'asse z

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base" D e compreso tra le funzioni a(x,y), b(x,y): , con

In generale in il numero dei domini semplici è dato dalla relazione , ovvero tutte le possibili combinazioni tra versori.

Dominio normale regolare[modifica | modifica wikitesto]

Un dominio normale, ad esempio di un piano, si dice anche normale regolare (o regolare rispetto a un asse) se le funzioni che lo delimitano, oltre a essere continue, sono di classe C1 e risulta essere per ogni x nell'intervallo aperto (a,b) (cioè la regione non è degenere, ma è effettivamente un'area).

Dominio regolare[modifica | modifica wikitesto]

Un dominio regolare è per definizione l'unione di un numero finito di domini normali regolari D1, D2, ..., Dn, a due a due privi di punti interni in comune.

Se D è un dominio regolare, la sua frontiera è unione di un numero finito di curve regolari a tratti. Pertanto essa ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne al più un numero finito. Si definisce per convenzione orientamento positivo della frontiera il verso di percorrenza che lascia il versore normale in ogni momento esterno al dominio (o equivalentemente, che lascia il dominio sulla sinistra). Tale orientamento si indica con .

La presenza di un dominio regolare permette ulteriori teoremi e formule d'integrazione, come le formule di Gauss-Green, il teorema della divergenza e il teorema del rotore.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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