Proprietà dell'integrale di Riemann

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1leftarrow blue.svgVoce principale: Integrale di Riemann.

Linearità[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e siano . Allora:

[1][2]

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione si ha che:

da cui:

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

da cui discende la proprietà di linearità.

Additività[modifica | modifica wikitesto]

Sia continua e definita in un intervallo e sia . Allora:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Dalla definizione si ha che

da cui se si ha esiste, eventualmente affinando la partizione, un intero tale che e da cui risulti:

e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia[modifica | modifica wikitesto]

Siano e due funzioni continue definite in un intervallo e tali che in . Allora:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Infatti se si ha che nel compatto , effettuando una partizione di tale compatto (ovviamente la disuguaglianza permane), per ogni si ottiene:

da cui

A questo punto, poiché la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto, vale:

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto[modifica | modifica wikitesto]

Sia una funzione integrabile in un intervallo , allora si ha:

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Essendo valida la relazione

per ogni di una partizione di , è possibile moltiplicare ogni membro per il fattore

e sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

Applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

Quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Annamaria Squellati e Sandro Salsa, Matematica per l'economia e l'azienda, 3. ed, EGEA, 2004, ISBN 978-88-238-2055-5, OCLC 799747699. URL consultato il 14 maggio 2022.
  2. ^ Lorenzo Peccati, Introduzione alla matematica per economisti, in Rivista di Matematica per le Scienze Economiche e Sociali, vol. 8, n. 2, 1985-09, pp. 171–171, DOI:10.1007/bf02088774. URL consultato il 14 maggio 2022.
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