In matematica la disuguaglianza di Hölder è un risultato basilare di analisi funzionale. Essa si è impiegata spesso nello studio degli spazi di funzioni noti come spazi Lp.
La disuguaglianza fu provata in una forma leggermente diversa da Leonard James Rogers nel 1888, e riscoperta indipendentemente da Otto Hölder nel 1889, dal quale prende il nome.[1]
Sia
uno spazio di misura con misura
e
. Sia
l'esponente coniugato di
, ovvero quel numero tale che
![{\displaystyle {1 \over p}+{1 \over p'}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7adbcac886f7dd1cc4fdf966866ccfff4bf27161)
o equivalentemente tale che
![{\displaystyle p+p'=pp'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1d4230c11c8880869b74541b9ce4035750f916)
Si definisce inoltre
se
.
La disuguaglianza afferma che, date due funzioni misurabili
e
, si ha che
e:[2]
![{\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{p'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7a7b821cee1bbb22374166851c19144f1ce9bda)
Esplicitando la norma p-esima nel caso
si ottiene la scrittura
![{\displaystyle \int _{\Omega }|fg|d\mu \leq \left[\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu \right]^{1 \over p}\left[\int _{\Omega }|g|^{p'}d\mu \right]^{1 \over {p'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047ef64b3e5e774d8141d0f074b0e06d8276fea4)
La disuguaglianza coincide con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per
. Il numero
è anche detto coniugato di Hölder di
.
Si dimostra che la disuguaglianza diviene un'uguaglianza se e solo se esistono due costanti
e
, non entrambe nulle, tali che:
![{\displaystyle a|f|^{p}=b|g|^{p'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc2d6a40e35f6fa4ec0fc82f0b0e71748670f2d)
quasi ovunque in
.
Se uno dei due fattori del secondo membro (ad esempio
) è zero, allora vuol dire che
quasi ovunque; dunque anche
quasi ovunque e quindi
e il risultato vale con il segno di uguaglianza. Se uno dei due indici (ad esempio
) è
, allora è
e:
![{\displaystyle |fg|\leq \|f\|_{\infty }|g|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32386da6e951402955c16b7e2f73ee99e80920de)
quindi il risultato viene per monotonia dell'integrale di Lebesgue.
Altrimenti, per la disuguaglianza di Young vale che:
![{\displaystyle {\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\cdot {\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {1}{p}}\left({\frac {|f(x)|}{\|f\|_{p}}}\right)^{p}+{\frac {1}{p'}}\left({\frac {|g(x)|}{\|g\|_{p'}}}\right)^{p'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0d428f944c8f8748380084a0870cf26d757aad)
per quasi ogni
. Integrando entrambi i membri si ottiene:
![{\displaystyle {\frac {1}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\int _{\Omega }|fg|d\mu ={\frac {\|fg\|_{1}}{\|f\|_{p}\|g\|_{p'}}}\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{p\|f\|_{p}^{p}}}+{\frac {\|g\|_{p'}^{p'}}{p'\|g\|_{p'}^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24817459f9e512008bacf46a4eb0e6c5a73a8afc)
Nel caso molto particolare dello spazio euclideo
, la disuguaglianza prende la seguente forma:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3bbf9505e7dcd4a6cfcdc5f40c2f542504e597)
Posti:
![{\displaystyle a_{i}={\frac {|x_{i}|}{\left(\sum |x_{j}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/952e4f5832ef77b536ead1399fff67a0b8b309d6)
e:
![{\displaystyle b_{i}={\frac {|y_{i}|}{\left(\sum |y_{j}|^{p'}\right)^{\frac {1}{p'}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165dac8465b963edabfc134ed33be74eca994439)
la disuguaglianza è:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82eb21f964beefdd7a6d3f830f9940544797b14a)
Dalla concavità della funzione logaritmo si ha:
![{\displaystyle \ln(a_{i}b_{i})={\frac {1}{p}}\ln \left(a_{i}^{p}\right)+{\frac {1}{p'}}\ln \left(b_{i}^{p'}\right)\leq \ln \left({\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ac4ae5f0c8abd6d509b34e79a2ba6b7c57db7e)
quindi per monotonia:
![{\displaystyle a_{i}b_{i}\leq {\frac {1}{p}}a_{i}^{p}+{\frac {1}{p'}}b_{i}^{p'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d11de39c0d944539a44ae5aaf502c04e50c168)
Sommando sull'indice
poiché
e
, si ottiene la tesi.
Si può generalizzare il risultato con una tecnica dimostrativa simile, prendendo un numero finito qualsiasi di fattori, con indici opportuni: siano
tali che
, con:
![{\displaystyle {\frac {1}{p}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa63705ae555bae0a01e8f67147e33ecba40dee6)
Allora:
![{\displaystyle f=f_{1}f_{2}\dots f_{k}\in L^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48660e8428d88893d0efef6a44875c2620d3e24)
e si ha:
![{\displaystyle \|f\|_{p}\leq \|f_{1}\|_{p_{1}}\|f_{2}\|_{p_{2}}\dots \|f_{k}\|_{p_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf4363220e6b1c5e2e4350c26da5c3e6df9e7d7)
Siano
m n-uple di numeri reali e siano
dei reali tali che:
![{\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{p_{m}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84467055c69f6be356f5ef2b62bc09a3a59da2c)
Allora:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}\cdot \ldots \cdot a_{mi}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{1i}^{p_{1}}\right)^{\frac {1}{p_{1}}}\cdot \ldots \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}a_{mi}^{p_{m}}\right)^{\frac {1}{p_{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1f705c15f303dd0b3afaad6a382c1ac966146a)
Una conseguenza importante di questa generalizzazione porta ad un primo risultato di immersione tra spazi
, la disuguaglianza di interpolazione. Se:
![{\displaystyle f\in L^{p}\cap L^{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c97f602c1b1e5c80261d4c8bd99757c7625861e9)
allora
per ogni
e:
![{\displaystyle \|f\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{\alpha }\|f\|_{q}^{1-\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ee1a6626ef5a9f68b401dc5eb5ccd26e9d79a2)
con
tale che:
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {\alpha }{p}}+{\frac {1-\alpha }{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e362d233753cda4b15fcdce12f88131279e1552)
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
- Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Liguori Editore, 2006, ISBN 978-88-207-1501-4.
- (EN) L.P. Kuptsov, Hölder inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) Kenneth Kuttler, An Introduction to Linear Algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007.
- (EN) Arthur Lohwater, Introduction to Inequalities (PDF), 1982.