Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata, a meno di un resto infinitesimo, da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto; condizione sufficiente affinché la funzione possegga tale proprietà è che tutte le derivate parziali siano continue in tale punto ed esistano in un intorno di esso (non devono essere necessariamente continue nell'intorno del punto).
Sia
un aperto di
, sia
e sia
una funzione tale che vi sia una palla
in cui esistono tutte le
derivate parziali (per ogni
quindi anche nel punto
) e siano continue nel punto
. Allora la funzione è differenziabile in
Per la definizione di differenziabilità, si deve mostrare che:
![{\displaystyle \lim _{{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\to 0}{\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}(x-x_{0})-{\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf735aa63dd93d88d63e25cf9217f883e655ce2)
Iniziamo valutando la differenza
Aggiungendo e sottraendo
otteniamo
Per il teorema di Lagrange esistono due numeri
e
tali che
e
per i quali vale
e ![{\displaystyle f(x,y)-f(x,y_{0})=f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f2b39ab10329e037de8536c8a51802d44a2415)
Sommando membro a membro e riconsiderando la differenza valutata in partenza si ottiene[1]
![{\displaystyle f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x,\eta )(y-y_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611de5599d45447267635a3eca51cb607b5de58b)
![{\displaystyle {\frac {f(x,y)-f(x_{0},y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}={\frac {f_{x}(\xi ,y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x,\eta )(y-y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})-f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95eb7286a1003f74dfe39b9bad4fcea36e89af0)
Il secondo membro a sua volta può essere scritto come[1]
![{\displaystyle {\frac {(x-x_{0})[f_{x}(\xi ,y_{0})-f_{x}(x_{0},y_{0})]+(y-y_{0})[f_{y}(x,\eta )-f_{y}(x_{0},y_{0})]}{\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ffe3c826dba43702cbf9f02e954108965541fd)
Le quantità
e
sono entrambe limitate in valore assoluto. Infatti, dalla disuguaglianza triangolare segue che
![{\displaystyle {\frac {|x-x_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26726706863a12d83d753a6c7a748978b78d72c9)
e analogamente
![{\displaystyle {\frac {|y-y_{0}|}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}\leq {\frac {||x-x_{0},y-y_{0}||}{||x-x_{0},y-y_{0}||}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c0d65cb43f0a4ccc7e71cedf980fa5d0668f05)
Inoltre quando
e
anche
e
per quanto scritto sopra. Questo, per la continuità delle derivate, implica che
e
dimostrando così il teorema.