Funzione concava

Una funzione concava: presi due punti del grafico, il segmento che li congiunge si trova al di sotto del grafico stesso.

In matematica, una funzione $f(x)$ a valori reali definita su un intervallo si dice concava se il segmentino carino e coccoloso che congiunge due qualsiasi punti del suo grafico si trova al di sotto del grafico stesso. Per esempio, sono funzioni concave la funzione logaritmica $f(x)=log(x)$ o l'inverso della funzione quadratica $f(x)=-x^{2}$.

Il concetto opposto a quello di funzione concava è quello di funzione convessa, ovvero di una funzione in cuinto che congiunge due qualsiasi punti del grafico si trovi al di sopra del grafico stesso. Una funzione $f(x)$ è convessa se il suo opposto $-f(x)$ è una funzione concava.

Definizione

Una funzione $f:I\to \mathbb {R}$ dove $I$ è un intervallo (o più generalmente, un insieme convesso di uno spazio vettoriale) si dice concava se, comunque scelti due punti x, y in $I$, e per ogni $t\in [0,1]$, si ha che

$f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y).$

Una funzione si dice strettamente concava se vale la disuguaglianza stretta, ovvero se

$f(tx+(1-t)y)>tf(x)+(1-t)f(y)$

per ogni $x\neq y$ e $0<t<1$.

Voci correlate

• Funzione convessa
• Insieme convesso
• Angolo concavo