Nucleo (matematica)

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In matematica, il nucleo di un'applicazione tra gruppi o spazi vettoriali è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come \ker (f), dal tedesco Kern. Il nucleo eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Omomorfismi[modifica | modifica sorgente]

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi f:X\to Y è il sottoinsieme di X costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di Y:

\textrm{Ker}(f) \ := \left \{x \in X: f(x) =  0_{Y}\right \}

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Il nucleo è sempre un sottogruppo di X; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di X.

Nel caso in cui X sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e f sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi) il nucleo \mathrm{ker}(f) è un sottospazio vettoriale di X (oltre ad esserne un sottogruppo).

Matrici[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformazione lineare.

Sia A una matrice di tipo m \times n con elementi in un campo K. Il nucleo di A è l'insieme dei vettori v in K^n tali che:[1]

Av=0

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

L_A:K^n\to K^m
L_A:v\mapsto Av

ed il nucleo di A così definito è il nucleo di L_A. In modo equivalente:

\operatorname{Ker} A:=\{v \in K^n: Av=0\}

Il nucleo di A è un sottospazio vettoriale di K^n, la cui dimensione è chiamata la nullità di A.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Gruppi[modifica | modifica sorgente]

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi:

f:G\to H

è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:

G/_{\operatorname{Ker} f}

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di f.

D'altra parte, ogni sottogruppo normale K di un gruppo G è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

\pi:G \to G/_K

Iniettività[modifica | modifica sorgente]

Sia f un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione f è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.[2] L'ipotesi di linearità per f è essenziale: poiché f(0)=0, l'iniettività di f implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di f consista del solo elemento neutro 0, allora se:

f(v) = f(w)

per la linearità si ha:

f(v)-f(w) = f(v-w) = 0

e quindi v-w=0 per ipotesi. In altre parole v=w, e la funzione è effettivamente iniettiva.

Teorema del rango[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Teorema del rango.

Sia f un'applicazione fra spazi vettoriali f:V\to W. Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di f sono collegate tramite la seguente uguaglianza:[3]

\dim V = \dim \operatorname {ker}f + \dim \operatorname {Im} f

La nullità di una matrice A può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

 n = \operatorname{null}(A) + \operatorname{rk}(A)

Nell'equazione, n è il numero di colonne di A, \operatorname{null}(A) è l'indice di nullità e \operatorname{rk}(A) è il rango di A. Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Teoria degli insiemi[modifica | modifica sorgente]

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme X all'insieme Y è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in X.

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:

 \mathop{\mathrm{ker}} f := \{(x,x') \in X \times X : f(x) = f(x')\}

e da:

\mathop{\mathrm{ker}} f := \{\{w \in X : f(x)=f(w)\} \ x \in X \}

L'insieme quoziente X/\mathrm{ker}(f), detto anche coimmagine di f, è naturalmente isomorfo all'immagine di f. La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in X \times X. Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Data la matrice:


A=
  \begin{bmatrix}
    \sin(x) & -\cos(x) & 0 \\ 
    0 & 0 & 1 \\    
  \end{bmatrix}

dove  x è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad  A è l'insieme di vettori del tipo:

\operatorname{Ker} A = \big\{\begin{bmatrix}
    \lambda \cos(x) & \lambda \sin(x) & 0 \\
  \end{bmatrix}\ |\ \lambda\in\R\big\}

come si vede facendo il prodotto matriciale tra A e il vettore colonna v_\lambda = (\lambda \cos(x), \lambda \sin(x), 0)^T.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 71
  2. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 94
  3. ^ S. Lang, op. cit., Pag. 92

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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