Polinomio caratteristico

In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

Definizione

Sia $A$ una matrice quadrata a valori in un campo $K$. Il polinomio caratteristico di $A$ nella variabile $x$ è il polinomio definito nel modo seguente:

$p_{A}(x)\,=\,\det(A-xI)$

cioè è il determinante della matrice $A-xI$, ottenuta sommando $A$ e $-xI$. Qui $I$ denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di $A$, e quindi $-xI$ è la matrice diagonale avente il valore $-x$ su ciascuna delle n caselle della diagonale principale.

In particolare, $x$ è autovalore di $A$ se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.

Grado e coefficienti del polinomio

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$. Il polinomio caratteristico di $A$ ha grado $n$. Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

$p_{A}(x)=(-1)^{n}x^{n}+(-1)^{n-1}{\textrm {tr}}(A)x^{n-1}+\ldots +\det A$

Il coefficiente di $x^{k}$ del polinomio è la somma moltiplicata per $(-1)^{k}$ dei ${n \choose k}$ determinanti dei minori $(n-k)\times (n-k)$ "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se $A$ è una matrice 2 per 2 si ha:

$p_{A}(x)=x^{2}-{\textrm {tr}}(A)x+\det A$

Autovalori

Le radici in $K$ del polinomio caratteristico sono gli autovalori di $A$.

Questo si dimostra formalmente ponendo $v$ autovettore di $A$. Si ha allora $Av=\lambda v$, ed in particolare:

$(A-\lambda I)v=0$

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione $(A-\lambda I)$ è non nullo se $\lambda$ è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

$\det(A-\lambda I)=0$

Se $A$ è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori $a_{1,1},\ldots ,a_{n,n}$ sulla diagonale principale, allora:

$p_{A}(x)=(a_{1,1}-x)\cdots (a_{n,n}-x)$

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha $n$ radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilità

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Infatti, se:

$A=M^{-1}BM$

per qualche matrice invertibile $M$, si ottiene:

$p_{A}(x)=\det(A-xI)=\det(M^{-1}BM-xI)$

$=\det(M^{-1}BM-xM^{-1}M)=\det(M^{-1}BM-M^{-1}(xI)M)=\det(M^{-1}(B-xI)M)$

$=\det(M^{-1})\det(B-xI)\det M=(\det M)^{-1}p_{B}(x)\det M=p_{B}(x)$

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma $xI$ commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet.

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo $T$ di uno spazio vettoriale $V$ a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di $T$ che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che $T$ è diagonalizzabile se esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice che rappresenta $T$ è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori. In particolare, la base che diagonalizza $T$ è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata $A$ con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

• La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è <mayh>n</math>, ovvero il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
• Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ovvero la dimensione degli autospazi è pari alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha n autovalori distinti nel campo allora è diagonalizzabile.

Invarianza per trasposizione

La matrice trasposta $A^{t}$ ha lo stesso polinomio caratteristico di $A$. Infatti

$p_{A^{t}}(x)=\det(A^{t}-xI)=\det(A^{t}-xI^{t})=\det((A-xI)^{t})=\det(A-xI)=p_{A}(x).$

Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.

Esempi

• Data:

$A={\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}}$

allora:

$A-xI={\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}}-x{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-x&3\\0&4-x\end{pmatrix}}$

e quindi:

$p_{A}(x)=\det(A-xI)=(1-x)(4-x)$

Gli autovalori di $A$ sono le radici del polinomio: 4 e 1.

• Data:

$B={\begin{pmatrix}2&\pi &0\\-1&-3&5\\0&4&3\end{pmatrix}}$

in modo analogo si trova:

$p_{B}(x)=-x^{3}+2x^{2}+(29-\pi )x-(58-3\pi )$

Bibliografia

• (EN) Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) T. S. Blyth e E. F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer, 1998, ISBN 3-540-76122-5. p.149
• (EN) John B. Fraleigh e Raymond A. Beauregard, Linear Algebra, 2nd edition, Addison-Wesley, 1990, ISBN 0-201-11949-8. p.246
• (EN) Werner Greub, Linear Algebra, 4th edition, Springer, 1974, ISBN 0-387-90110-8. pp120-5
• (EN) Paul C. Shields, Elementary Linear Algebra, 3rd edition, Worth Publishers, 198, ISBN 0-87901-121-1. p.274
• (EN) Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 3rd edition, Brooks/Cole, 1988, ISBN 0-15-551005-3. p.246

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Determinante
• Polinomio minimo
• Teorema di Hamilton-Cayley