Accelerazione di gravità

L'accelerazione di gravità, o accelerazione gravitazionale, è l'accelerazione che un corpo o punto materiale subisce quando è lasciato libero di muoversi in caduta libera in un campo gravitazionale. Di solito si studia il valore che ha questa accelerazione sul suolo terrestre, che costituisce uno standard per le applicazioni tecniche più diffuse. Si può misurare in moltissimi modi, e si può derivare dai valori dei parametri che compaiono in leggi fisiche più generali, come la legge di gravitazione universale.

Valore utilizzato

Per avere un'idea della grandezza o meno di un valore di accelerazione, si usa confrontarla con il valore di accelerazione che il campo gravitazionale terrestre provoca sugli oggetti che si trovano sulla superficie terrestre. Infatti tutti gli uomini, gli animali, le piante e gli oggetti sulla Terra sono sottoposti a questa accelerazione. Per questo parametro è stato fissato un valore convenzionale, che nelle unità di misura del Sistema Internazionale risulta pari a:

$g_{n}=9,80665\,\mathrm {m\cdot s^{-2}}$

Notevolmente, questa scelta sul valore della costante è rimasta invariata dalla terza Conférence générale des poids et mesures nel 1901. Il valore standard di cui sopra è indicato con $\mathbf {g} _{n}$ o $\mathbf {g} _{0}$, talvolta anche con $\mathbf {g} _{\oplus }$, e viene spesso impropriamente riportato tra le costanti fisiche, per quanto sia più propriamente una costante tecnica, o costante definita (in inglese: defined constant).

Il simbolo deve essere scritto con $\mathbf {g}$ minuscolo per distinguerlo dalla costante gravitazionale $G$ che compare nell'equazione di Newton. Quando si valuta per esempio l'effetto di accelerazioni importanti su persone e strutture, per esempio nei terremoti, è un'ottima consuetudine rapportare il valore ottenuto con questo valore standard esatto.

Si tratta di un valore medio, che approssima il valore dell'accelerazione di gravità presente al livello del mare a una latitudine di 45,5°. Il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre ($\mathbf {g}$) in effetti varia molto leggermente attorno al valore $\mathbf {g} _{n}$ a seconda del luogo. In particolare è influenzato dalla latitudine e dall'altitudine, ma viene influenzato per esempio anche dal tipo di rocce sottostanti. L'accelerazione di gravità è misurabile semplicemente guardando un corpo in caduta libera, trascurando la resistenza dell'aria.

Il vettore dell'accelerazione di gravità terrestre ha sempre la direzione verticale ed è orientato verso il centro della Terra.

Variazioni locali della gravità terrestre

L'effettiva accelerazione che la Terra produce su un corpo in caduta varia al variare del luogo in cui questa è misurata.

Il valore dell'accelerazione aumenta con la latitudine per due ragioni:

• la rotazione della Terra, che produce una forza centrifuga che si oppone all'attrazione gravitazionale; questo effetto da solo fa sì che l'accelerazione di gravità sia 9,823 m·s^-2 ai poli e 9,789 m·s^-2 all'equatore, il valore convenzionale di $\mathbf {g}$, pari a 9,80665 m·s^-2 di cui sopra, è una media di questi due valori;
• lo schiacciamento della Terra ai poli, che allontana ulteriormente dal centro della Terra ogni corpo che si trova alle basse latitudini facendo sì che la forza di gravità che agisce su di esso sia leggermente inferiore, dato che è inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i baricentri del corpo e della Terra.

La combinazione di questi due effetti rende il valore di $\mathbf {g}$ misurato ai poli circa lo 0,5% più grande di quello misurato all'equatore.

Il valore di $\mathbf {g}$ cui è sottoposto un corpo che si trova in aria ad altezza $h$ sul livello del mare è calcolabile con la formula tecnica (che contiene cioè delle implicite unità di misura):

$g_{R}=9{,}7803184\left(1+A\;\mathrm {sin} ^{2}L-B\;\mathrm {sin} ^{2}2L\right)-3{,}086\times 10^{-6}h$

dove:

• $g_{R}$ è l'accelerazione di gravità locale in m/s²;
• $A=0,0053024$;
• $B=0,0000059$;
• $L$ è la latitudine;
• $h$ è l'altezza sul livello del mare in metri.

L'ultimo termine, 3,086×10⁻⁶ h è una correzione dovuta all'altezza.

Se il corpo è sulla verticale della terraferma, viene aggiunta un'ulteriore correzione dovuta alla maggiore massa di un volume di terra rispetto all'acqua; tale maggiore massa può essere approssimata con una superficie orizzontale infinita dando luogo a un fattore di correzione (la correzione di Bouguer, si veda Anomalia di Bouguer) pari a $2\pi G$ volte la massa per unità di area, ovvero 4,2×10⁻¹⁰ m³·s^-2·kg⁻¹.

La gravità al di sotto della superficie terrestre viene invece calcolata sottraendo dalla massa totale della Terra la massa del guscio esterno al punto di misurazione. La forza di gravità diminuisce progressivamente all'aumentare della profondità e al centro della Terra è zero perché l'intera massa del pianeta attira il corpo in tutte le direzioni attorno a esso.

Anche variazioni locali nella composizione delle rocce e delle superfici possono alterare localmente l'accelerazione di gravità; queste anomalie sono generalmente misurate e mappate.

Gravità terrestre in Italia

Vista la necessità di avere valori accurati per bilance di precisione usate nel territorio Italiano sono presenti valori medi misurati per ogni provincia Italiana.

Valori gravitazionali per provincia

Provincia	Gravità media in m/s2
Agrigento	9,79823
Alessandria	9,80496
Ancona	9,80402
Aosta	9,80375
Arezzo	9,80389
Ascoli Piceno	9,80317
Asti	9,80471
Avellino	9,80175
Bari	9,80324
Belluno	9,80562
Benevento	9,80247
Bergamo	9,80471
Biella	9,80437
Bologna	9,80419
Bolzano	9,80548
Brescia	9,80456
Brindisi	9,80270
Cagliari	9,80096
Caltanissetta	9,79676
Campobasso	9,80092
Caserta	9,80040
Catania	9,80040
Catanzaro	9,80002
Chieti	9,80237
Como	9,80516
Cosenza	9,80120
Cremona	9,80511
Crotone	9,80084
Cuneo	9,80264
Enna	9,79571
Ferrara	9,80447
Firenze	9,80483
Foggia	9,80267
Forli	9,80435
Frosinone	9,80246
Genova	9,80559
Gorizia	9,80636
Grosseto	9,80425
Imperia	9,80508
Isernia	9,80161
L'Aquila	9,80129
La Spezia	9,80552
Latina	9,80330
Lecce	9,80247
Lecco	9,80519
Livorno	9,80516
Lodi	9,80491
Lucca	9,80516
Macerata	9,80318
Mantova	9,80520
Massa	9,80508
Matera	9,80072
Messina	9,80082
Milano	9,80505
Modena	9,80416
Napoli	9,80296
Novara	9,80471
Nuoro	9,80027
Oristano	9,80172
Padova	9,80652
Palermo	9,80054
Parma	9,80427
Pavia	9,80481
Perugia	9,80314
Pesaro	9,80439
Pescara	9,80326
Piacenza	9,80459
Pisa	9,80513
Pistoia	9,80500
Pordenone	9,80629
Potenza	9,79970
Prato	9,80484
Ragusa	9,79769
Ravenna	9,80440
Reggio Calabria	9,80063
Reggio Emilia	9,80414
Rieti	9,80264
Rimini	9,80439
Roma	9,80352
Rovigo	9,80605
Salerno	9,80269
Sassari	9,80184
Savona	9,80559
Siena	9,80380
Siracusa	9,80034
Sondrio	9,80534
Taranto	9,80231
Teramo	9,80269
Terni	9,80359
Torino	9,80577
Trapani	9,80052
Trento	9,80596
Treviso	9,80631
Trieste	9,80653
Udine	9,80609
Varese	9,80451
Venezia	9,80631
Verbania	9,80544
Vercelli	9,80465
Verona	9,80644
Vibo Valentia	9,79916
Vicenza	9,80643
Viterbo	9,80294

Applicazioni

La costante di accelerazione gravitazionale terrestre trova inoltre grande impiego dal punto di vista fisico nello studio dei comportamenti dei corpi sottoposti a certe condizioni.

Fattore di carico

In volo livellato la portanza (L) è pari al peso (W). In una virata coordinata a 60° di sbandamento, la portanza è pari al doppio del peso (L = 2W) e il pilota è soggetto a un'accelerazione di 2 g. Maggiore è lo sbandamento, maggiore sarà il numero di g.

L'accelerazione standard $\mathbf {g} _{n}$ è spesso usata come unità di misura tecnica. Non è in effetti una unità di misura accettata dal Sistema internazionale, ma è molto comoda nella quotidianità per dare un'idea pratica della grandezza di una accelerazione. In questo contesto il parametro tecnico "$\mathbf {g} _{n}$" viene indicato semplicemente con la lettera g, e utilizzata come unità di misura tecnica. Veniva in passato chiamata dai tecnici anche con l'espressione impropria di forza g. Viene impiegata così anche in campo aerospaziale, per esprimere le accelerazioni alle quali sono sottoposti i velivoli, i veicoli spaziali e gli eventuali passeggeri.

Con l'espressione colloquiale forza g utilizzata in aeronautica ci si riferisce invece al fattore di carico lungo l'asse verticale di un aeromobile, unità di misura delle accelerazioni a cui astronauti e piloti sono soggetti, moltiplicato per l'accelerazione di gravità terrestre, con simbolo appunto g.

La forza g non va quindi confusa con l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre. Nonostante il nome, non è una forza, ma una accelerazione; sebbene, nei casi di cui sopra sia una accelerazione relativa al riferimento considerato, determina una forza fittizia (es. la forza centrifuga). In questo contesto, quando ci si riferisce a "1 g" si indica un'accelerazione pari all'accelerazione di gravità media misurata sulla Terra, che vale 9,80665 m·s^-2.

Una persona normale mediamente riesce a sopportare accelerazioni verticali di circa 5 g positivi e 2÷3 g negativi. Per g positivo si intende una accelerazione che produce lo stesso effetto soggettivo causato dalla gravità terrestre su un soggetto in posizione eretta; questo effetto è prodotto da una accelerazione nel senso che va dai piedi verso la testa, quindi di senso contrario alla forza di gravità cui si è soggetti stando in piedi. Per g negativi si intendono accelerazioni ed effetti soggettivi di senso inverso. I g positivi, quindi, causano il deflusso del sangue dalla testa verso i piedi, i negativi viceversa. Si calcola che un'accelerazione di 5 g, se prolungata per vari secondi, provochi perdita di conoscenza e valori superiori possono danneggiare il corpo umano anche mortalmente, se non adeguatamente protetto.. A valori critici di g negativi infatti uno dei primi effetti è che il campo visivo diventa rosso, a causa del maggiore apporto di sangue nei capillari nei globi oculari dovuta all'aumento della pressione sanguigna.

Con la combinazione di speciali tute anti-g e di forze applicate ai muscoli per tenerli in tensione, entrambi con lo scopo di ridurre il deflusso sanguigno dal cervello, i piloti moderni possono sopportare oltre 10 g positivi (100 m·s^-2). La resistenza a "g negativi" rimane invece molto inferiore, e comunque nell'intervallo fra i 2 e i 3 g.

L'accelerazione standard g₀ è usata anche in campo automobilistico. In particolare, si usa per esprimere le accelerazioni che agiscono sul veicolo in curva, accelerazione, frenata, e per l'analisi delle collisioni.

Misurazione

Pendolo semplice (laboratorio). Semplice apparato per verificare l'isocronismo delle piccole oscillazioni del pendolo e determinare il valore dell'accelerazione di gravità locale

L'accelerazione di gravità sulla Terra si può anche misurare localmente in modo indiretto servendosi di un pendolo, a patto che ci si limiti a misurare il periodo T del pendolo stesso per piccole oscillazioni. Per le piccole oscillazioni, infatti, vale la formula del pendolo matematico (il più semplice):

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

La legge di oscillazione è dunque indipendente dalla massa e, nell'ipotesi di piccoli angoli (tipicamente, non superiori a 10°), si riduce a un oscillatore armonico, indipendente quindi anche dall'ampiezza dell'oscillazione.

Dalla relazione precedente è, dunque, possibile determinare, con un apparato di laboratorio come quello in foto, misurato il periodo T di una singola oscillazione e la lunghezza l del pendolo, il valore di g, che rappresenta la stima del valore dell'accelerazione di gravità del lungo in cui viene eseguita la misura sperimentale, ovvero:

$g={\frac {4\pi ^{2}l}{T^{2}}}$

Ovviamente, al fine di ridurre gli errori di misura del periodo T, è bene misurare il tempo necessario all'apparato per compiere un cospicuo numero di oscillazioni (tipicamente 10-15 oscillazioni, dopo aver fatto compiere al pendolo alcune oscillazioni iniziali non cronometrate), ripetere più volte la misura e, quindi, dividere il tempo medio misurato per le n oscillazioni per il numero di oscillazioni stesse, determinando così il tempo necessario per una singola oscillazione, che rappresenta, appunto, il periodo T del pendolo considerato.

Calcolo deduttivo

Caduta di un grave

In fisica il valore di g è deducibile come un caso particolare dalla legge della gravitazione universale. Il valore dell'accelerazione corrisponde infatti al prodotto di alcuni dei termini nell'equazione di gravitazione:

$\mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=\left(-G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\right)m_{2}=m_{2}\mathbf {g}$

Inserendo i valori della costante di gravitazione universale $G$, della massa, e del raggio della Terra si ottiene infatti:

$|\mathbf {g} |=G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}=\left(6{,}6742\times 10^{-11}\ \mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}} \right){\frac {5,9736\times 10^{24}\ \mathrm {kg} }{\left(6,37101\times 10^{6}\ \mathrm {m} \right)^{2}}}=9{,}822\ \mathrm {m\cdot s^{-2}}$

Questa è una buona approssimazione del valore medio dell'accelerazione di gravità $\mathbf {g}$, ma si vede subito che non è il valore che si è scelto come standard. Le differenze del valore appena calcolato col valore standard sono dovute a diversi fattori, tra cui:

• la Terra non è omogenea
• la Terra non è una sfera perfetta - è stato qui considerato un valore medio del raggio terrestre
• il calcolo non tiene conto dell'effetto centrifugo dovuto alla rotazione del pianeta.

Voci correlate

• Forza di gravità
• Caduta dei gravi
• Anomalia gravitazionale
• Anomalia in aria libera
• Anomalia di Bouguer

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