Accelerazione di gravità

L'accelerazione di gravità o accelerazione gravitazionale è l'accelerazione che un corpo o punto materiale subisce quando è lasciato libero di muoversi in caduta libera in un campo gravitazionale. Si può misurare sperimentalmente con esperimenti che coinvolgono la caduta dei gravi, come il pendolo semplice, la rotaia a cuscino d'aria o il pendolo di Kater, trascurando la resistenza dell'aria, oppure derivare dai valori dei parametri che compaiono in leggi fisiche più generali, come la legge di gravitazione universale.

Valore utilizzato

Il campo gravitazionale terrestre, come ogni campo gravitazionale, ha raggio d'azione infinito, ma di intensità decrescente fino a essere trascurabile. Il valore convenzionale fissato per questo parametro è un valore medio tra l'accelerazione di gravità presente al livello del mare a una latitudine di 45,5°, che nelle unità di misura del Sistema Internazionale risulta pari a:

$g_{n}=9,80665\,\mathrm {m\cdot s^{-2}}$

Il valore dell'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre in effetti varia molto leggermente attorno al valore $\mathbf {g} _{n}$ a seconda del luogo. In particolare è influenzato dalla latitudine e dall'altitudine, ma viene influenzato per esempio anche dal tipo di rocce sottostanti, per fare un esempio all'equatore la gravità si attesa attorno a 9,780 m/s², mentre ai poli si attesta a circa 9,832 m/s²

Questa scelta sul valore della costante è rimasta invariata dalla terza Conférence générale des poids et mesures nel 1901. Il valore standard di cui sopra è indicato con $\mathbf {g} _{n}$ o $\mathbf {g} _{0}$, talvolta anche con $\mathbf {g} _{\oplus }$, e viene spesso impropriamente riportato tra le costanti fisiche, per quanto sia più propriamente una costante tecnica, o costante definita (in inglese: defined constant).

Il simbolo deve essere scritto con $\mathbf {g}$ minuscolo per distinguerlo dalla costante gravitazionale $G$ che compare nell'equazione di Newton. Quando si valuta per esempio l'effetto di accelerazioni importanti su persone e strutture, per esempio nei terremoti, è un'ottima consuetudine rapportare il valore ottenuto con questo valore standard esatto.

Il vettore dell'accelerazione di gravità terrestre ha sempre la direzione verticale ed è orientato verso il centro della Terra e questa proprietà viene sfruttata per il calcolo del geoide.

Calcolo deduttivo

Caduta di un grave

In fisica il valore di g è deducibile come un caso particolare dalla legge della gravitazione universale:

$\mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=\left(-G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}\right)m_{2}=m_{2}\mathbf {g}$

Inserendo i valori della costante di gravitazione universale $G$, della massa, e del raggio della Terra si ottiene infatti:

$|\mathbf {g} |=G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}=\left(6{,}6742\times 10^{-11}\ \mathrm {m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}} \right){\frac {5,9736\times 10^{24}\ \mathrm {kg} }{\left(6,37101\times 10^{6}\ \mathrm {m} \right)^{2}}}=9{,}822\ \mathrm {m\cdot s^{-2}}$

Questa è una buona approssimazione del valore medio dell'accelerazione di gravità $\mathbf {g}$, ma si vede subito che non è il valore che si è scelto come standard.

Variazioni locali della gravità terrestre

L'effettiva accelerazione che la Terra produce su un corpo in caduta varia al variare del luogo in cui questa è misurata. Il valore dell'accelerazione aumenta con la latitudine per due ragioni:

• la rotazione della Terra, che produce una forza centrifuga che si oppone all'attrazione gravitazionale; questo effetto da solo fa sì che l'accelerazione di gravità sia 9,823 m·s⁻² ai poli e 9,789 m·s⁻² all'equatore, il valore convenzionale di $\mathbf {g}$, pari a 9,80665 m·s⁻² di cui sopra, è una media di questi due valori;
• lo schiacciamento della Terra ai poli, che allontana ulteriormente dal centro della Terra ogni corpo che si trova alle basse latitudini (presso l'equatore) facendo sì che la forza di gravità sia leggermente inferiore, essendo inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra il corpo e il centro della Terra.

La combinazione di questi due effetti rende il valore di $\mathbf {g}$ misurato ai poli circa lo 0,5% più grande di quello misurato all'equatore. A queste si aggiungono, con rilevanza minore, variazioni dovute a:

• l'altitudine, che incide sulla distanza dal centro della Terra;
• la rivoluzione della Luna attorno alla Terra e quella della Terra intorno al Sole, che causano variazioni periodiche locali;
• ammassi locali di materiale più denso, come catene montuose, o meno, come l'acqua degli oceani, ma anche la composizione delle rocce comporta variazioni locali.

Il valore di $\mathbf {g}$ cui è sottoposto un corpo che si trova in aria ad altezza $h$ sul livello del mare è calcolabile con la formula tecnica (che contiene cioè delle implicite unità di misura):

$g_{R}=9{,}7803184\left(1+A\;\mathrm {sin} ^{2}L-B\;\mathrm {sin} ^{2}2L\right)-3{,}086\times 10^{-6}h$

dove:

• $g_{R}$ è l'accelerazione di gravità locale in m/s²;
• $A=0,0053024$;
• $B=0,0000059$;
• $L$ è la latitudine;
• $h$ è l'altezza sul livello del mare in metri.

L'ultimo termine, 3,086×10⁻⁶ h è una correzione dovuta all'altezza rispetto al livello del mare.

Se il corpo è sulla verticale della terraferma, viene aggiunta un'ulteriore correzione dovuta alla maggiore massa di un volume di terra rispetto all'acqua; tale maggiore massa può essere approssimata con una superficie orizzontale infinita dando luogo a un fattore di correzione (la correzione di Bouguer, si veda anomalia di Bouguer) pari a $2\pi G$ volte la massa per unità di area, ovvero 4,2×10⁻¹⁰ m³·s⁻²·kg⁻¹.

La gravità al di sotto della superficie terrestre viene invece calcolata sottraendo dalla massa totale della Terra la massa del guscio esterno al punto di misurazione. La forza di gravità diminuisce progressivamente all'aumentare della profondità e al centro della Terra è zero perché l'intera massa del pianeta attira il corpo in tutte le direzioni attorno a esso.

Gravità terrestre in Italia

Vista la necessità di avere valori accurati per bilance di precisione usate nel territorio italiano sono presenti valori medi misurati per ogni provincia italiana.

Valori gravitazionali per provincia

Provincia	Gravità in m/s2	Provincia	Gravità in m/s2	Provincia	Gravità in m/s2	Provincia	Gravità in m/s2
Agrigento	9,79823	Cremona	9,80511	Messina	9,80082	Roma	9,80352
Alessandria	9,80496	Crotone	9,80084	Milano	9,80505	Rovigo	9,80605
Ancona	9,80402	Cuneo	9,80264	Modena	9,80416	Salerno	9,80269
Aosta	9,80375	Enna	9,79571	Napoli	9,80296	Sassari	9,80184
Arezzo	9,80389	Ferrara	9,80447	Novara	9,80471	Savona	9,80559
Ascoli Piceno	9,80317	Firenze	9,80483	Nuoro	9,80027	Siena	9,80380
Asti	9,80471	Foggia	9,80267	Oristano	9,80172	Siracusa	9,80034
Avellino	9,80175	Forlì	9,80435	Padova	9,80652	Sondrio	9,80534
Bari	9,80324	Frosinone	9,80246	Palermo	9,80054	Taranto	9,80231
Belluno	9,80562	Genova	9,80559	Parma	9,80427	Teramo	9,80269
Benevento	9,80247	Gorizia	9,80636	Pavia	9,80481	Terni	9,80359
Bergamo	9,80471	Grosseto	9,80425	Perugia	9,80314	Torino	9,80577
Biella	9,80437	Imperia	9,80508	Pesaro	9,80439	Trapani	9,80052
Bologna	9,80419	Isernia	9,80161	Pescara	9,80326	Trento	9,80596
Bolzano	9,80548	L'Aquila	9,80129	Piacenza	9,80459	Treviso	9,80631
Brescia	9,80456	La Spezia	9,80552	Pisa	9,80513	Trieste	9,80653
Brindisi	9,80270	Latina	9,80330	Pistoia	9,80500	Udine	9,80609
Cagliari	9,80096	Lecce	9,80247	Pordenone	9,80629	Varese	9,80451
Caltanissetta	9,79676	Lecco	9,80519	Potenza	9,79970	Venezia	9,80631
Campobasso	9,80092	Livorno	9,80516	Prato	9,80484	Verbania	9,80544
Caserta	9,80040	Lodi	9,80491	Ragusa	9,79769	Vercelli	9,80465
Catania	9,80040	Lucca	9,80516	Ravenna	9,80440	Verona	9,80644
Catanzaro	9,80002	Macerata	9,80318	Reggio Calabria	9,80063	Vibo Valentia	9,79916
Chieti	9,80237	Mantova	9,80520	Reggio Emilia	9,80414	Vicenza	9,80643
Como	9,80516	Massa	9,80508	Rieti	9,80264	Viterbo	9,80294
Cosenza	9,80120	Matera	9,80072	Rimini	9,80439

Gravità terrestre nel mondo

Valori gravitazionali per Stato

Stato	Città	Gravità in m/s2	Stato	Città	Gravità in m/s2
Arabia Saudita	Riad	9,7904	Messico	Città del Messico	9,7799
Argentina	Buenos Aires	9,7979	Norvegia	Oslo	9,8189
Australia	Sydney	9,7979	Nuova Zelanda	Wellington	9,8039
Austria	Vienna	9,8099	Paesi Bassi	Amsterdam	9,8129
Belgio	Bruxelles	9,8114	Panama	Città di Panama	9,7814
Bolivia	La Paz	9,7844	Perù	Lima	9,7829
Brasile	Brasilia	9,7889	Polonia	Świder	9,8159
Canada	Montréal	9,8069	Portogallo	Lisbona	9,8009
	Ottawa	9,8069	Regno Unito	Londra	9,8144
	Toronto	9,8054	Romania	Bucarest	9,8054
	Vancouver	9,8099	Singapore	Singapore	9,7814
Cechia	Praga	9,8114	Spagna	Madrid	9,8024
Cile	Santiago del Cile	9,7979	Stati Uniti d'America	Anchorage	9,8189
Cina	Hong Kong	9,8099		Atlanta	9,7964
Colombia	Bogotà	9,7799		Boston	9,8039
Corea del Sud	Seul	9,7994		Chicago	9,8024
Costa Rica	San José	9,7829		Dallas	9,7949
Cipro	Nicosia	9,7979		Detroit	9,8039
Danimarca	Copenaghen	9,8159		Filadelfia	9,8024
Ecuador	Quito	9,7724		Los Angeles	9,7979
Filippine	Manila	9,7844		New York	9,8024
Finlandia	Helsinki	9,8189		San Francisco	9,7994
Germania	Düsseldorf	9,8129	Svezia	Stoccolma	9,8189
Giappone	Mishima	9,7979	Svizzera	Berna	9,8084
Grecia	Atene	9,8009	Sudafrica	Johannesburg	9,7919
Guatemala	Città del Guatemala	9,7844	Taiwan	Taipei	9,7904
Indonesia	Giacarta	9,7814	Tunisia	Tunisi	9,7799
Iraq	Baghdad	9,7964	Turchia	Ankara	9,8024
Kuwait	Al Kuwait	9,7919	Ungheria	Budapest	9,8069
Libano	Beirut	9,7964	Uruguay	Montevideo	9,7964
Marocco	Rabat	9,7964	Venezuela	Caracas	9,7829
Mauritius	Port Louis	9,7859

Accelerazione di gravità nel sistema solare

Valori nel sistema solare

Pianeta	Gravità in m/s2	Pianeta	Gravità in m/s2
Mercurio	3,60	Saturno	10,43
Venere	8,84	Urano	10,04
Marte	3,72	Nettuno	12,92
Giove	24,87	Plutone	2,26

Applicazioni

La costante di accelerazione gravitazionale terrestre trova inoltre grande impiego dal punto di vista fisico nello studio dei comportamenti dei corpi sottoposti a certe condizioni.

Fattore di carico

In volo livellato la portanza (L) è pari al peso (W). In una virata coordinata a 60° di sbandamento, la portanza è pari al doppio del peso (L = 2W) e il pilota è soggetto a un'accelerazione di 2 g. Maggiore è lo sbandamento, maggiore sarà il numero di g.

L'accelerazione standard $\mathbf {g} _{n}$ è spesso usata come unità di misura tecnica. Non è in effetti una unità di misura accettata dal Sistema internazionale, ma è molto comoda nella quotidianità per dare un'idea pratica della grandezza di una accelerazione. In questo contesto il parametro tecnico "$\mathbf {g} _{n}$" viene indicato semplicemente con la lettera g, e utilizzata come unità di misura tecnica. Veniva in passato chiamata dai tecnici anche con l'espressione impropria di forza g. Viene impiegata così anche in campo aerospaziale, per esprimere le accelerazioni alle quali sono sottoposti i velivoli, i veicoli spaziali e gli eventuali passeggeri.

Con l'espressione colloquiale forza g utilizzata in aeronautica ci si riferisce invece al fattore di carico lungo l'asse verticale di un aeromobile, unità di misura delle accelerazioni a cui astronauti e piloti sono soggetti, moltiplicato per l'accelerazione di gravità terrestre, con simbolo appunto g.

La forza g non va quindi confusa con l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre. Nonostante il nome, non è una forza, ma una accelerazione; sebbene, nei casi di cui sopra sia una accelerazione relativa al riferimento considerato, determina una forza fittizia (es. la forza centrifuga). In questo contesto, quando ci si riferisce a "1 g" si indica un'accelerazione pari all'accelerazione di gravità media misurata sulla Terra.

Una persona normale mediamente riesce a sopportare accelerazioni verticali di circa 5 g positivi e 2÷3 g negativi. Per g positivo si intende una accelerazione che produce lo stesso effetto soggettivo causato dalla gravità terrestre su un soggetto in posizione eretta; questo effetto è prodotto da una accelerazione nel senso che va dai piedi verso la testa, quindi di senso contrario alla forza di gravità cui si è soggetti stando in piedi. Per g negativi si intendono accelerazioni ed effetti soggettivi di senso inverso. I g positivi, quindi, causano il deflusso del sangue dalla testa verso i piedi, i negativi viceversa. Si calcola che un'accelerazione di 5 g, se prolungata per vari secondi, provochi perdita di conoscenza e valori superiori possono danneggiare il corpo umano anche mortalmente, se non adeguatamente protetto. A valori critici di g negativi infatti uno dei primi effetti è che il campo visivo diventa rosso, a causa del maggiore apporto di sangue nei capillari nei globi oculari dovuta all'aumento della pressione sanguigna.

Con la combinazione di speciali tute anti-g e di forze applicate ai muscoli per tenerli in tensione, entrambi con lo scopo di ridurre il deflusso sanguigno dal cervello, i piloti moderni possono sopportare oltre 10 g positivi (100 m·s⁻²). La resistenza a "g negativi" rimane invece molto inferiore, e comunque nell'intervallo fra i 2 e i 3 g.

L'accelerazione standard g₀ è usata anche in campo automobilistico. In particolare, si usa per esprimere le accelerazioni che agiscono sul veicolo in curva, accelerazione, frenata, e per l'analisi delle collisioni.

Misurazione

Pendolo semplice (laboratorio). Semplice apparato per verificare l'isocronismo delle piccole oscillazioni del pendolo e determinare il valore dell'accelerazione di gravità locale.

L'accelerazione di gravità sulla Terra si può anche misurare localmente in modo indiretto servendosi di un pendolo, a patto che ci si limiti a misurare il periodo T del pendolo stesso per piccole oscillazioni. Per le piccole oscillazioni, infatti, vale la formula del pendolo matematico (il più semplice):

$T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}$

La legge di oscillazione è dunque indipendente dalla massa e, nell'ipotesi di piccoli angoli (tipicamente, non superiori a 10°), si riduce a un oscillatore armonico, indipendente quindi anche dall'ampiezza dell'oscillazione.

Dalla relazione precedente è, dunque, possibile determinare, con un apparato di laboratorio come quello in foto, misurato il periodo T di una singola oscillazione e la lunghezza l del pendolo, il valore di g, che rappresenta la stima del valore dell'accelerazione di gravità del lungo in cui viene eseguita la misura sperimentale, ovvero:

$g={\frac {4\pi ^{2}l}{T^{2}}}$

Al fine di ridurre gli errori di misura del periodo T, è bene misurare il tempo necessario all'apparato per compiere un cospicuo numero di oscillazioni (tipicamente dieci-quindici oscillazioni, dopo aver fatto compiere al pendolo alcune oscillazioni iniziali non cronometrate), ripetere più volte la misura e, quindi, dividere il tempo medio misurato per le n oscillazioni per il numero di oscillazioni stesse, determinando così il tempo necessario per una singola oscillazione, che rappresenta, appunto, il periodo T del pendolo considerato.

Voci correlate

• Forza di gravità
• Caduta dei gravi
• Anomalia gravitazionale
• Anomalia in aria libera
• Anomalia di Bouguer

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