Forma modulare

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In matematica, una forma modulare è una funzione olomorfa sul semipiano superiore complesso che verifica un'equazione funzionale rispetto all'azione di particolari sottogruppi del gruppo modulare e che soddisfa alcune condizioni di crescita.

La teoria delle forme modulari è parte dell'analisi complessa ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della teoria dei numeri. Le forme modulari compaiono anche in altre aree della matematica e della fisica teorica, come la topologia algebrica e la teoria delle stringhe.

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle forme automorfe.

Descrizione informale[modifica | modifica sorgente]

Le forme modulari sono oggetti matematici con infiniti gradi di simmetria (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da numeri complessi. Infatti se ad un oggetto comune (come un quadrato) corrispondono due dimensioni (x & y), ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano (Xr; Xi) e (Yr; Yi). Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.

Forme modulari per SL2(Z)[modifica | modifica sorgente]

Una forma modulare di peso k per il gruppo

\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}

è una funzione f definita sul semipiano superiore complesso \mathcal{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} a valori nell'insieme dei numeri complessi che soddisfa tre condizioni:

(1) è una funzione olomorfa su \mathcal{H};
(2) per ogni z in \mathcal{H} e per ogni matrice \gamma = \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ) in \text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) vale
 f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)
(3) è olomorfa alla cuspide, cioè f deve essere olomorfa per z \to i\infty (cioè per \text{Im}(z) \to +\infty). Il termine cuspide è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso k è solitamente un numero intero e l'insieme delle forme modulari di peso k rispetto a \text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) è uno spazio vettoriale su \mathbb{C} e si indica con \mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})).

La seconda condizione, detta anche condizione di modularità debole, può essere riformulata. Siano

S = \left ( \begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )
T = \left ( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )

Poiché le matrici T e S generano il gruppo \text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}), allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

f(-1/z) = z^k f(z)\,
f(z+1) = f(z)\,

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono funzioni periodiche di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in serie di Fourier. Da questo segue che per k dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

A volte, invece di \text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}), si considera il gruppo modulare, cioè \text{PSL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}), poiché così l'azione su \mathcal{H} è fedele.

Sviluppo in serie di Fourier[modifica | modifica sorgente]

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare f esiste uno sviluppo in serie di Fourier

f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n q^n,

dove q=e^{2\pi i z}. I coefficienti a_n sono detti coefficienti di Fourier di f e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, q-sviluppo in serie di f.

Forme cuspidali[modifica | modifica sorgente]

Una forma cuspidale di peso k è una forma modulare f di peso k che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè

(4) a_0=0

dove a_0 è il primo coefficiente del q-sviluppo di f. L'insieme delle forme cuspidali è un \mathbb{C}-sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari \mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})) e si indica con \mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})).

Condizioni di crescita[modifica | modifica sorgente]

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti a_n del q-sviluppo di una funzione f definita sul semipiano superiore complesso a valori nei numeri complessi che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

(3') esistono due costanti positive C e b tali che |a_n|<Cn^b per ogni n>0.

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle forme automorfe.

Formule della dimensione[modifica | modifica sorgente]

Utilizzando la teoria delle superfici di Riemann e il teorema di Riemann-Roch è possibile calcolare la dimensione degli spazi vettoriali delle forme modulari e cuspidali di peso k. Dato k intero, si ha

\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))=\begin{cases}
0 & \text{se } k \text{ dispari} \text{ oppure }  k<4 \\
\lfloor \frac{k}{12}\rfloor -1 & \text{se }k\geq 4 \text{ e }k\equiv 2 \mod 12 \\
\lfloor \frac{k}{12}\rfloor  & \text{altrimenti},
\end{cases}
\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))=\begin{cases}
0 & \text{se } k \text{ dispari} \text{ oppure }  k<4 \\
\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))+1 & \text{altrimenti},
\end{cases}

dove \lfloor\cdot\rfloor è la funzione parte intera.

La L-serie e il legame con le curve ellittiche[modifica | modifica sorgente]

Ad ogni forma modulare è possibile associare una L-serie. Grazie al teorema di Taniyama-Shimura dimostrato da Andrew Wiles, sappiamo che ad ogni L-serie di una curva ellittica corrisponde una L-serie di una forma modulare.

Le dimostrazioni conseguenti[modifica | modifica sorgente]

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le altre) anche la dimostrazione dell'Ultimo teorema di Fermat, completata da Wiles nel 1995.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) F. Diamond e J. Shurman (2005), A First Course in Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics 228 Springer, New York, ISBN 0-387-23229-X.
  • (EN) T. Miyake (1989), Modular Forms, Springer-Verlag, Berlino Heidelberg.
  • (EN) Goro Shimura (1971), Introduction To The Arithmetic Theory Of Automorphic Functions, Iwanami Shoten and Princeton University Press.
  • (EN) R. Gunning (1962), Lectures on Modular Forms, Princeton University Press: Princeton, New Jersey.
  • (EN) T. M. Apostol (1976), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer-Verlag, New York.
  • Singh, S. (1999), L'ultimo teorema di Fermat, Biblioteca Universale Rizzoli, ISBN 88-17-11291-7.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


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