Funzione L

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Se riscontri problemi nella visualizzazione dei caratteri, clicca qui.

In teoria dei numeri analitica, con funzioni L si denotano alcuni particolari tipi di funzioni speciali definite sui numeri complessi che generalizzano la funzione zeta di Riemann, codificando informazioni aritmetiche e geometriche. Oltre alla stessa funzione zeta di Riemann, altre importanti classi di funzioni L sono le funzioni L di Dirichlet e le funzioni L di Hecke.

Serie L[modifica | modifica sorgente]

Non vi è una definizione assiomatica univoca che indichi quali siano le funzioni L, e solitamente si procede "dal basso" indicando che alcune famiglie di funzioni sono funzioni L. In genere, una funzione L è definita a partire dalla sua serie L, una particolare serie di Dirichlet

\sum_{n=1}^\infty\frac {a_n}{n^s}

definita sul semipiano complesso Re(s)>σ' per qualche numero reale σ'. Questa serie viene poi prolungata analiticamente a una funzione meromorfa sul piano complesso, andando a definire la funzione L vera e propria. Ad esempio, prolungano la funzione L ottenuta prendendo an = χ(n), ove χ è un carattere di Dirichlet, si ottiene la funzione L di Dirichlet associata al carattere χ.

Classe di Selberg[modifica | modifica sorgente]

Una possibile definizione delle funzioni L è stata proposta da Atle Selberg, che ha introdotto la Classe di Selberg. Le funzioni appartenenti a tale classe S sono le serie di Dirichlet

F(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}

che soddisfano i seguenti 4 assiomi:

(1) Prolungamento analitico: esiste un numero naturale m tale che (s-1)^mF(s) sia una funzione intera.
(2) Congettura di Ramanujan: i coefficienti crescono meno di ogni potenza, cioè
a_n < n^{\epsilon}
per ogni ε > 0.
(3) Equazione funzionale: esiste una funzione della forma
\gamma(s)=\epsilon \,Q^s\prod_{i=1}^d \Gamma (\lambda_i s+\mu_i),
ove Γ è la funzione gamma, ϵ è un numero complesso di modulo 1, d è un intero positivo, il livello Q e gli λj sono numeri reali positivi, e i μj sono numeri complessi con parte reale non negativa, tale che la funzione
\Phi(s) = \gamma(s) F(s)
soddisfi la relazione,
\Phi(s)=\overline{\Phi(1-\overline{s})}.
(4) Prodotto di Eulero: a1 = 1 e, per Re(s) > 1
\log F(s)=\sum_{n=1}^\infty b_n n^{-s},
ove bn = 0 a meno che n non sia una potenza di un primo. Inoltre, |bn| < c nθ per qualche θ < 1/2 e c > 0.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Jürgen Neukirch (1999): Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8
  • Atle Selberg, Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series in Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989), Univ. Salerno, 1992, pp. 367–385, MR 1220477. Ristampato in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]