Gruppo modulare

In matematica, il gruppo modulare $\Gamma$ è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.

Definizione

Il gruppo modulare $\Gamma$ è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma

$z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$

dove $a$, $b$, $c$ e $d$ sono interi e $ad-bc=1$. L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.

Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ quozientato con il suo centro $\{I,-I\}$, dove $I$ è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$, che consiste nelle matrici

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

dove $a$, $b$, $c$ e $d$ sono interi, $ad-bc=1$ e le matrici $A$ e $-A$ sono considerate uguali.

Presentazione

Le trasformazioni

$S\colon z\mapsto -{\frac {1}{z}},$

$T\colon z\mapsto z+1,$

generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di $\Gamma$ può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di $S$ e $T$.

Geometricamente $S$ rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta $\mathrm {Re} (z)=0$, mentre $T$ rappresenta la traslazione unitaria a destra.

I generatori $S$ e $T$ soddisfano le relazioni $S^{2}=1$ e $(ST)^{3}=1$. Si dimostra che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione

$\Gamma \cong \langle S,T\mid S^{2}=I,(ST)^{3}=I\rangle .$

Voci correlate

• Trasformazione di Möbius
• Semipiano superiore complesso
• Semispazio di Poincaré
• Forma modulare
• Curva modulare
• Mapping class group