Gruppo modulare

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In matematica, il gruppo modulare \Gamma è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il gruppo modulare \Gamma è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma

z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}

dove a, b, c e d sono interi e ad-bc=1. L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.

Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale \mathrm{SL}(2,\Z) quozientato con il suo centro \{I,-I\}, dove I è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo \mathrm{PSL}(2,\Z), che consiste nelle matrici

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

dove a, b, c e d sono interi, ad-bc=1 e le matrici A e -A sono considerate uguali.

Presentazione[modifica | modifica sorgente]

Le trasformazioni

S\colon z\mapsto -\frac{1}{z},
T\colon z\mapsto z+1,

generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di \Gamma può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di S e T.

Geometricamente S rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta \mathrm{Re}(z)=0, mentre T rappresenta la traslazione unitaria a destra.

I generatori S e T soddisfano le relazioni S^2=1 e (ST)^3=1. Si dimostra[1] che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione

\Gamma \cong \langle S, T \mid S^2=I, (ST)^3=I \rangle.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Robert C. Gunning, Lectures on Modular Forms, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1962, pp. 5-7, ISBN 978-0-691-07995-0.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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