Inversione circolare

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Nella geometria piana, l'inversione circolare è una particolare trasformazione che "specchia" i punti rispetto ad una data circonferenza. La trasformazione non è una trasformazione geometrica piana in senso stretto, perché sposta il centro della circonferenza "all'infinito": si tratta piuttosto di una trasformazione della sfera ottenuta aggiungendo il punto all'infinito al piano tramite proiezione stereografica.

Più in generale, una inversione è definita anche nello spazio tridimensionale (a partire da una sfera), e nello spazio euclideo \R^n.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Inversione.

Sia  \gamma una circonferenza di centro  O e raggio  r . L'inversione circolare rispetto a \gamma è la funzione I che associa ad ogni punto  P del piano distinto da O il punto  P' appartenente alla semiretta uscente da  O e passante per  P tale che

 OP \cdot OP' = r^2 .

Il punto P' è detto punto inverso di P rispetto alla circonferenza \gamma.

Punto all'infinito[modifica | modifica sorgente]

L'inversione non è definita per P=O. Si può definire l'inversione in O aggiungendo al piano un punto, il "punto all'infinito" \infty , e ponendo

 I(O) = \infty, \quad I(\infty) = O.

In altre parole, l'inversione scambia il centro della circonferenza con il punto all'infinito. Tramite proiezione stereografica, il piano arricchito del punto all'infinito può essere identificato con una sfera: l'inversione è quindi in realtà una trasformazione della sfera.

Costruzione con riga e compasso[modifica | modifica sorgente]

Caso 1: Il punto P è esterno.

L'inverso di un punto può essere costruito con riga e compasso.

Caso 1: Il punto  P è esterno a  \gamma [modifica | modifica sorgente]

Si traccino le tangenti alla circonferenza  \gamma passanti per  P . Sia  M uno dei suoi due punti di intersezione con  \gamma e sia  P' la proiezione ortogonale di  M su  OP . Si consideri il triangolo rettangolo di vertici  O ,  M ,  P . Per il primo teorema di Euclide:

 OP \cdot OP' = OM^2 = r^2.

Il punto  P' è, quindi, il trasformato di  P mediante l’inversione di centro  O e di potenza  r^2 .

Caso 2: Il punto  P è interno a  \gamma .[modifica | modifica sorgente]

Caso 2: Il punto P è interno.

Si consideri la retta passante per  O e per  P . Si tracci la perpendicolare a tale retta passante per  P . Detti  M e  N i suoi punti di intersezione con  \gamma , ancora per il primo teorema di Euclide,  P' è il punto di intersezione delle tangenti a  \gamma condotte per  M e per  N .

Caso 3: Se il punto  P appartiene a  \gamma .[modifica | modifica sorgente]

In questo caso  P' coincide con  P .

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

L'inversione rispetto alla circonferenza rossa scambia una retta non passante per O (in verde) in una circonferenza passante per O (in blu).
L'inversione di una circonferenza non passante per l'origine (in blu) è un'altra circonferenza non passante per l'origine (in verde).

Involuzione[modifica | modifica sorgente]

L'inversione è una involuzione: se P' = I(P) tramite una inversione I, allora P=I(P'). In altre parole, componendo I con se stessa si ottiene la funzione identità. Quindi l'inversione I è una corrispondenza biunivoca della sfera S (ottenuta aggiungendo al piano il punto all'infinito)

 I:S\to S

e coincide con la sua funzione inversa I^{-1}.

Composizione[modifica | modifica sorgente]

La composizione di inversioni non è mai una inversione. La composizione di due inversioni aventi lo stesso centro è una omotetia con quel centro.

Rette e circonferenze[modifica | modifica sorgente]

Una inversione manda rette e circonferenze in rette e circonferenze. Valgono infatti i fatti seguenti:

  • Ogni retta passante per il centro  O d’inversione viene trasformata in sé stessa. Una retta che non passa per  O viene invece trasformata in una circonferenza passante per  O .
  • Ogni circonferenza passante per  O viene trasformata in una retta non passante per  O , e ogni circonferenza non passante per  O viene trasformata in una circonferenza non passante per  O .

Due punti qualunque e i loro inversi appartengono ad una stessa circonferenza, oppure sono allineati con il centro d’inversione.

Mappa conforme[modifica | modifica sorgente]

L'inversione è una mappa conforme. Si tratta cioè di una funzione che preserva gli angoli fra curve piane. Ad esempio, le circonferenze ortogonali a \gamma sono insiemi invarianti (o figure unite) per l'inversione: vengono cioè trasformati in se stessi.

Orientazione[modifica | modifica sorgente]

Come la riflessione, l'inversione cambia l'orientazione del piano (o della sfera).

Nel piano cartesiano[modifica | modifica sorgente]

Introducendo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale  xOy la cui origine coincida con il centro dell’inversione, è possibile esprimere l'inversione I come la trasformazione che trasforma il punto  P (x;y) nel punto  P' ( x';y' ) tramite le equazioni:

 I:\left \{ \begin{matrix} x'=\frac{r^2x}{x^2 + y^2} \\y'=\frac{r^2y}{x^2 + y^2} \end{matrix} \right.

Esempio[modifica | modifica sorgente]

Analizziamo l'effetto di una inversione con raggio  r = 2 sulle curve seguenti:

r:y=-2x;
 \gamma: x^2+y^2=1. .

Queste sono rispettivamente una retta passante per l'origine ed una circonferenza centrata nell'origine, di raggio unitario. La trasformazione inversa ha lo stesso aspetto di quella originaria (perché l'inversione è una involuzione), e cioè

 I:\left \{ \begin{matrix} x=\frac{4x'}{x'^2 + y'^2} \\y=\frac{4y'}{x'^2 + y'^2} \end{matrix} \right.

Sostituendo si ottiene quindi

 r': \frac{4y'}{x'^2+y'^2} = -2 \frac{4x'}{x'^2+y'^2},

da cui si ottiene

 r':y'=-2x'.\,\!

La retta trasformata coincide quindi con quella di partenza.

Per la seconda curva, vale

 \gamma': \left ( \frac{4x'}{x'^2 + y'^2} \right )^2 + \left ( \frac{4y'}{x'^2 + y'^2} \right )^2 = 1

da cui si ottiene

 \gamma':x'^2+y'^2=16.\,\!

La trasformata è quindi una circonferenza di raggio più grande, pari a 4.

Nel piano complesso[modifica | modifica sorgente]

Una inversione nel piano complesso può essere descritta in modo più stringato. Ad esempio, l'inversione di centro l'origine e raggio r è descritta nel modo seguente:

I(z) = \frac{r^2}{|z|^2}z.

Funzioni olomorfe e antiolomorfe[modifica | modifica sorgente]

L'inversione è una funzione antiolomorfa. Non è una funzione olomorfa perché cambia l'orientazione del piano.

La composizione di due inversioni è però sempre una funzione olomorfa: si tratta di un biolomorfismo dalla sfera di Riemann in sé. Una tale trasformazione è detta trasformazione di Möbius.

In dimensione più alta[modifica | modifica sorgente]

L'inversione può essere definita analogamente in dimensione 3 o superiore. In questo caso, l'inversione è effettuata rispetto ad una sfera, o ad una ipersfera. Molte delle proprietà elencate per il piano vengono generalizzate.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

L'inversione di centro x_0 e raggio r in \R^n è la mappa

I(x) = r^2\cdot \frac{x-x_0}{\|x-x_0\|^2} + x_0.

Qui x_0 è un punto di \R^n, centro dell'inversione. L'inversione è definita su tutto \R^n, tranne che in x_0. Però si estende a tutta la sfera

 S^n = \R^n\cup\{\infty\}

ponendo

 I(x_0)=\infty, \quad I(\infty) = x_0.

L'estensione è una funzione continua della sfera in sé

 I:S^n\to S^n.\,\!

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Involuzione[modifica | modifica sorgente]

L'inversione è una involuzione, cioè I^2 è la funzione identità. In particolare, è un omeomorfismo della sfera in sé.

Piani e sfere[modifica | modifica sorgente]

Fissato 0<k<n, una inversione manda piani affini e sfere k-dimensionali in sé (una sfera k-dimensionale è una sfera contenuta in uno spazio affine di dimensione k+1). Piani contenenti il centro vengono lasciati invarianti, sfere non contenenti il centro vengono trasformate in altre sfere non contenenti il centro, mentre piani non contenenti il centro vengono trasformati in sfere contenenti il centro (e viceversa).

Mappa conforme[modifica | modifica sorgente]

L'inversione è una mappa conforme (sia se considerata sullo spazio, che sulla sfera).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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