Sottospazio invariante

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In algebra lineare un sottospazio invariante di un operatore lineare T : V \rightarrow V, dove V è uno spazio vettoriale, è un sottospazio vettoriale W di V tale che T(W)\subset W , ovvero tale che l'immagine rispetto a T di ciascun elemento di W è contenuta in W stesso. Si dice anche che W è T-invariante.

La caratteristica principale di un sottospazio T-invariante è che è possibile restringere T ad esso, ovvero definire l'operatore lineare

\left. T \right| _W : W \rightarrow W

Lo spazio V e il sottospazio  {0} sono banalmente sottospazi invarianti per qualunque operatore lineare in V. Per alcuni operatori lineari non esiste un sottospazio invariante non banale. Consideriamo come esempio facilmente visualizzabile una rotazione (operatore lineare) di un angolo \theta \neq k \pi, k \in \mathbb{Z} nello spazio bidimensionale reale.

Gli eventuali autospazi di un operatore sono, per definizione, sottospazi invarianti. L'esistenza di autovalori per l'operatore dunque garantisce l'esistenza di sottospazi invarianti non banali. Tornando all'esempio precedente, infatti, non esistono autovalori in una rotazione nello spazio \mathbb{R}^2 , come si nota esaminando il polinomio caratteristico associato all'applicazione.

In teoria dei gruppi, dato un gruppo G con rappresentazione su uno spazio vettoriale V, la sua azione di gruppo è definita come una funzione G\times V \to V. Se un sottospazio W di V è invariante sotto l'azione di gruppo, questo viene detto sottorappresentazione.