Nucleo (matematica)

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
(Reindirizzamento da Spazio nullo)

In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di uno zero-insieme. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come , dal tedesco Kern. Eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Omomorfismi[modifica | modifica wikitesto]

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi è il sottoinsieme di costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di :

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.

Il nucleo è sempre un sottogruppo di ; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di . Nel caso in cui sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi), il nucleo è un sottospazio vettoriale di (oltre ad esserne un sottogruppo).

Matrici[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformazione lineare.

Sia una matrice di tipo con elementi in un campo . Il nucleo di è l'insieme dei vettori in tali che:[1]

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

ed il nucleo di così definito è il nucleo di . In modo equivalente:

Il nucleo di è un sottospazio vettoriale di , la cui dimensione è chiamata la nullità di .

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Gruppi[modifica | modifica wikitesto]

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di .

D'altra parte, ogni sottogruppo normale di un gruppo è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

Iniettività[modifica | modifica wikitesto]

Sia un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro.[2] L'ipotesi di linearità per è essenziale: poiché , l'iniettività di implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di consista del solo elemento neutro 0, allora se:

per la linearità si ha:

e quindi per ipotesi. In altre parole , e la funzione è effettivamente iniettiva.

Teorema del rango[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del rango.

Sia un'applicazione fra spazi vettoriali . Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di sono collegate tramite la seguente uguaglianza:[3]

La nullità di una matrice può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

Nell'equazione, è il numero di colonne di , è l'indice di nullità e è il rango di . Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Teoria degli insiemi[modifica | modifica wikitesto]

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme all'insieme è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in .

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:

e da:

L'insieme quoziente , detto anche coimmagine di , è naturalmente isomorfo all'immagine di . La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in . Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Data la matrice:

dove è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad è l'insieme di vettori del tipo:

come si vede facendo il prodotto matriciale tra e il vettore colonna .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 71
  2. ^ S. Lang, Pag. 94
  3. ^ S. Lang, Pag. 92

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica