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In matematica , in particolare in algebra lineare , la matrice dei cofattori di una matrice quadrata
A
{\displaystyle A}
n
{\displaystyle n}
matrice dei complementi algebrici , è un'altra matrice quadrata di ordine
n
{\displaystyle n}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
cofattore (o complemento algebrico ) di
A
{\displaystyle A}
i
,
j
{\displaystyle i,j}
c
o
f
i
,
j
(
A
)
:=
(
−
1
)
i
+
j
⋅
det
(
A
i
,
j
)
{\displaystyle \mathrm {cof} _{i,j}(A):=(-1)^{i+j}\cdot \det(A_{i,j})}
qui il termine
det
(
A
i
,
j
)
{\displaystyle \det(A_{i,j})}
minore di
A
{\displaystyle A}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
Quindi la matrice dei cofattori è la seguente:
c
o
f
A
=
(
c
o
f
1
,
1
(
A
)
…
c
o
f
1
,
n
(
A
)
⋮
⋱
⋮
c
o
f
n
,
1
(
A
)
…
c
o
f
n
,
n
(
A
)
)
.
{\displaystyle \mathrm {cof} \,A={\begin{pmatrix}\mathrm {cof} _{1,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{1,n}(A)\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathrm {cof} _{n,1}(A)&\ldots &\mathrm {cof} _{n,n}(A)\\\end{pmatrix}}.}
La trasposta della matrice dei cofattori è detta matrice aggiunta (benché questo termine indichi anche la matrice trasposta coniugata ) ed è indicata con l'operatore
a
d
j
{\displaystyle \mathrm {adj} }
adjoint matrix .
Quindi:
a
d
j
A
=
(
c
o
f
A
)
T
.
{\displaystyle \mathrm {adj} \,A=(\mathrm {cof} \,A)^{T}.}
La matrice aggiunta soddisfa le proprietà seguenti:
a
d
j
(
I
)
=
I
{\displaystyle \mathrm {adj} (I)=I}
I
{\displaystyle I}
matrice identità
a
d
j
(
A
⋅
B
)
=
a
d
j
(
B
)
⋅
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {adj} (A\cdot B)=\mathrm {adj} (B)\cdot \mathrm {adj} (A)}
A
⋅
a
d
j
(
A
)
=
a
d
j
(
A
)
⋅
A
=
det
(
A
)
⋅
I
{\displaystyle A\cdot \mathrm {adj} (A)=\mathrm {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I}
conseguenza dello sviluppo di Laplace . Quindi se
A
{\displaystyle A}
invertibile , l'inversa è data da:
A
−
1
=
det
(
A
)
−
1
⋅
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle A^{-1}=\det(A)^{-1}\cdot \mathrm {adj} (A)}
det
(
a
d
j
(
A
)
)
=
det
(
A
)
n
−
1
{\displaystyle \det(\mathrm {adj} (A))\,=\,\det(A)^{n-1}}
L'aggiunta della matrice
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}
è la matrice
adj
(
A
)
=
(
d
−
b
−
c
a
)
.
{\displaystyle \operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}.}
Si noti che
det
(
adj
(
A
)
)
=
det
(
A
)
=
a
d
−
b
c
{\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=\det(A)=ad-bc}
e che
adj
(
adj
(
A
)
)
=
A
.
{\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A.}
Data la matrice
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
A
=
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
,
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}},}
la sua matrice aggiunta è uguale alla trasposta della matrice dei cofattori
adj
(
A
)
=
(
c
o
f
A
)
T
=
(
+
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
|
a
12
a
13
a
32
a
33
|
+
|
a
12
a
13
a
22
a
23
|
−
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
|
a
11
a
13
a
31
a
33
|
−
|
a
11
a
13
a
21
a
23
|
+
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
−
|
a
11
a
12
a
31
a
32
|
+
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
)
,
{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,\mathbf {A} )^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}},}
dove
|
a
i
m
a
i
n
a
j
m
a
j
n
|
=
det
(
a
i
m
a
i
n
a
j
m
a
j
n
)
=
a
i
m
a
j
n
−
a
i
n
a
j
m
.
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)=a_{im}a_{jn}-a_{in}a_{jm}.}
Sia data la matrice
A
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}
adj
(
A
)
=
(
c
o
f
A
)
T
=
(
+
|
5
6
8
9
|
−
|
2
3
8
9
|
+
|
2
3
5
6
|
−
|
4
6
7
9
|
+
|
1
3
7
9
|
−
|
1
3
4
6
|
+
|
4
5
7
8
|
−
|
1
2
7
8
|
+
|
1
2
4
5
|
)
=
(
−
3
6
−
3
6
−
12
6
−
3
6
−
3
)
.
{\displaystyle \operatorname {adj} (A)=(\mathrm {cof} \,A)^{T}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3&6&-3\\6&-12&6\\-3&6&-3\end{pmatrix}}.}
Un secondo esempio è il seguente:
A
=
(
2
1
1
0
−
1
2
0
2
−
1
)
;
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&1&1\\0&-1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}};}
adj
(
A
)
=
(
−
3
3
3
0
−
2
−
4
0
−
4
−
2
)
.
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}-3&3&3\\0&-2&-4\\0&-4&-2\end{pmatrix}}.}
(EN Self-Adjoint MathWorld (EN Matrix Reference Manual ee.ic.ac.uk . (EN Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
(EN adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } } Wolfram Alpha 
