Matrice trasposta

In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico britannico Arthur Cayley.

Definizione

La trasposta di una matrice $A$ è la matrice $A^{T}$ il cui generico elemento con indici $(i,j)$ è l'elemento con indici $(j,i)$ della matrice originaria. In simboli:

$\left(A^{T}\right)_{ij}=A_{ji}\qquad \forall A\in \mathbf {K} ^{m,n}\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n$

con $\mathbf {K} ^{m,n}$ lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.

L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga, e viceversa.

Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici $A$ e $B$ di dimensioni opportune si abbia che:

$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\neq A^{T}B^{T}$

l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari $k$ ed $l$, vale:

$(kA+lB)^{T}=(kA)^{T}+(lB)^{T}=kA^{T}+lB^{T}$

Più in generale, dati N scalari $k_{i}$ ed N matrici $A_{i}$ di pari dimensioni, vale:

$\left(\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}\right)^{T}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}A_{i}^{T}$

dove $\sum$ indica una sommatoria.

Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

• La trasposta della trasposta è la matrice stessa:

$\left(A^{T}\right)^{T}=A$

• La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$

• L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:

$\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$

Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:

$\left(ABC\dots XYZ\right)^{T}=Z^{T}Y^{T}X^{T}\dots C^{T}B^{T}A^{T}$

• Se $c$ è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:

$(cA)^{T}=cA^{T}$

• Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:

$\det(A^{T})=\det(A)$

• Il prodotto scalare tra due vettori colonna $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ può essere calcolato come:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} ,$

che può essere scritto usando la notazione di Einstein come $a_{i}b^{i}$.

• Se $A$ ha solamente elementi reali, allora $A^{T}A$ è una matrice simmetrica semidefinita positiva.
• La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
• Se $A^{T}=A^{-1}$ allora la $A$ è una matrice ortogonale
• Se $A$ è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.

Trasposta di applicazioni lineari

Se $V$ e $W$ sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e $f:V\to W$ è un'applicazione lineare, si può definire l'applicazione duale di $f$ come la mappa $f^{*}:W^{*}\to V^{*}$ tra gli spazi duali $W^{*}$ e $V^{*}$ definita da:

$f^{*}:\varphi \mapsto \varphi \circ f\qquad \forall \varphi \in W^{*}$

Fissate due basi $E$ e $F$ di $V$ e $W$ rispettivamente, si dimostra che se $A$ è la matrice associata a $f$ rispetto tali basi allora la matrice associata a $f^{*}$ rispetto alle basi duali di $E$ e di $F$ è la trasposta di $A$.

Ogni applicazione lineare $f:V\to V^{*}$ che mappa nello spazio duale definisce una forma bilineare $B:V\times V\to F$ mediante la relazione:

$B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )$

Definendo la trasposta di tale funzione come la forma bilineare $^{t}B$ data dalla mappa trasposta $^{t}f:V^{**}\to V^{*}$:

$^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}f(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )$

si trova che $B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=^{t}B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )$.

Esempi

• $A={\begin{pmatrix}2&4&8\\3&2&0\\5&3&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\quad A^{T}={\begin{pmatrix}2&3&5&0\\4&2&3&1\\8&0&1&0\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}$

• ${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}\;$

• ${\begin{pmatrix}1&2&8\\3&4&3\\5&6&1\end{pmatrix}}^{T}\!\!\;\!=\,{\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\\8&3&1\end{pmatrix}}\;$

Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° in senso antiorario, dopodiché scambiare la prima riga con l'ultima, la seconda con la penultima, ecc. (nel primo esempio, dopo aver ruotato la matrice $A$ di 90°, la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate).

Alternativamente: immaginare un asse diagonale che parte dal primo elemento in alto a sinistra e prosegue verso il basso, verso destra (45°); dopodiché "riflettere a specchio" la matrice usandolo come asse di simmetria.

Edit: molto più semplicemente scambiare le righe con le colonne (la prima riga diventa la prima colonna, la seconda riga, la seconda colonna, etc...). Le due "idee di calcolo" proposte qui sopra, sono molto algoritmiche e non rendono chiaro il concetto di trasporre una matrice, possono essere utili, ad esempio, ad un informatico che deve scrivere esplicitamente come trasporre una matrice in un programma in modo ricorsivo se non ha una funzione apposita già implementata nel linguaggio utilizzato.

Bibliografia

• (EN) F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19

Voci correlate

• Base duale
• Forma bilineare
• Matrice
• Matrice simmetrica
• Trasformazione lineare
• Spazio duale

Collegamenti esterni

• (EN) O.A. Ivanova, Transposed matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.