Norma matriciale

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In matematica, una norma matriciale è la naturale estensione alle matrici del concetto di norma definito per i vettori.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Una norma sullo spazio vettoriale K^{m\times n} delle matrici a elementi nel campo K è una funzione \| \cdot \| : K^{m\times n} \to \R^+ tale che per ogni coppia di matrici A e B e per ogni scalare \lambda si verifica:

Si riconoscono quindi esattamente le stesse proprietà delle norme vettoriali; ciò riflette il fatto che lo spazio delle matrici è isomorfo allo spazio di vettori K^{mn} (per esempio tramite l'applicazione che manda una matrice nel vettore che contiene una dopo l'altra le sue righe) e quindi una norma matriciale deve avere perlomeno le stesse proprietà di una norma vettoriale.

In più, se m=n, cioè le matrici sono quadrate, generalmente si chiede che venga soddisfatta anche la proprietà di sub-moltiplicatività:

  • \|A B\|\leq \|A\| \|B\|

Se è vera la sub-moltiplicatività si ricava subito che per la matrice identità vale \|I\|=\|I\cdot I\|\leq \|I\|\|I\| \Rightarrow \|I\|\geq 1.

Lo spazio K^{n\times n} munito di una norma sub-moltiplicativa è un esempio di algebra di Banach.

Norma indotta[modifica | modifica sorgente]

Se è data una norma su K^n (K saranno i numeri reali o i numeri complessi), che per distinguere si indicherà con |\cdot|, allora è definita una norma su K^{m\times n}, detta norma indotta, in questo modo:

\|A\|=\sup_{|x|=1}|Ax|=\sup_{x\ne 0}\frac{|Ax|}{|x|}

Essa coincide con la norma della trasformazione lineare A: x\mapsto Ax associata alla matrice, vista come operatore lineare continuo tra spazi di Banach, che si dà in analisi funzionale.

Nel caso quadrato, questa norma risulta sub-moltiplicativa se viene usato lo stesso tipo di norma sia nel dominio che nel codominio. Per esempio, se per i vettori utilizziamo una delle norme p otteniamo delle norme, che si chiameranno sempre norme p, così definite:

\|A\|_p=\sup_{|x|_p=1}|Ax|_p

Nel caso p=1, la norma si dice anche norma operatoriale.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Per una norma indotta è sempre vero che \|I\|=1 e che |Ax|\leq \|A\| |x|. Per una norma qualsiasi, se ciò accade allora si dice che la norma è compatibile rispetto alla norma |\cdot|.

Per alcuni valori particolari di p si dimostra che valgono alcune identità che facilitano il calcolo:

\|A\|_1=\max_{j=1,\ldots,n}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|
\|A\|_\infty=\max_{i=1,\ldots,m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|

Ne segue immediatamente che \|A\|_1=\|A^t\|_\infty; dunque se A è simmetrica \|A\|_1=\|A\|_\infty. In più, se m=n vale:

\|A\|_2=\sqrt {\rho (A^* A)}

dove A^* è la trasposta coniugata di A (la trasposta nel caso reale) e \rho(A^*A) è il raggio spettrale di A^*A, cioè il massimo tra i suoi autovalori in valore assoluto. Il caso p=2 è detto anche norma spettrale. Se A è simmetrica allora l'uguaglianza si riduce a:

\|A\|_2=\rho(A)

Vale anche sempre che:

\|A\|_2\le\sqrt{\|A\|_1\|A\|_\infty}

Qualsiasi norma indotta soddisfa la disuguaglianza:

\|A\|\geq \rho (A)

e inoltre vale che:

\lim_{r\to\infty}\|A^r\|^{1/r}=\rho(A)

Norma consistente[modifica | modifica sorgente]

Una norma matriciale \| \cdot \|_{ab} su K^{m \times n} è detta consistente con una norma vettoriale \| \cdot \|_{a} su K^n e una norma vettoriale \| \cdot \|_{b} su K^m se:

\|Ax\|_b \leq \|A\|_{ab} \|x\|_a

per ogni A \in K^{m \times n} e per ogni x \in K^n. Tutte le norme indotte sono consistenti per definizione.

Altre norme[modifica | modifica sorgente]

Diffuse sono anche le norme che valutano la matrice "componente per componente", cioè equiparandola al vettore delle sue elementi. Per esempio, i corrispettivi delle norme p vettoriali per le matrici, che si chiameranno sempre norme p (ma che sono distinte dalle norme p indotte), sono:

\|A\|_p=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^p\right)^{1/p}

In quanto sostanzialmente sono norme vettoriali, queste norme p sono sub-moltiplicative.

Come prima, il caso p=2 assume una certa importanza: esso viene detto anche norma di Frobenius ed è definibile anche come:

\|A\|_2=\|A\|_F=\sqrt{\mbox{tr}(A*A^T)}=\sqrt{\sum_{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma_i^2}

dove \mbox{tr}(A*A^T) è la traccia di A*A^T e \sigma_i sono i valori singolari di A.

Una proprietà singolare della norma di Frobenius è che se con A_i indichiamo le colonne di A, allora vale la seguente uguaglianza:

\|A\|_F^2=\|A_1\|_2^2+\|A_2\|_2^2+\ldots+\|A_n\|_2^2

In certi casi si lavora anche con il quadrato della norma di Frobenius. Essendo la funzione t^2 crescente e convessa, anch'esso è una norma; essa prende il nome di norma di traccia e vale quindi

\|A\|_{\mbox{tr}}=\mbox{tr}(A*A^T)=\|A\|_F^2

Norme equivalenti[modifica | modifica sorgente]

Per ogni coppia di norme matriciali \|\cdot\|_p e \|\cdot\|_q valgono le disuguaglianze:

c_1 \|A\|_p \leq \|A\|_q \leq c_2 \|A\|_p \qquad c_1, c_2 >0

cioè le due norme sono equivalenti. Esse quindi inducono la stessa topologia su K^{m\times n}.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di tali costanti c_1, c_2 per una matrice reale:

  • \|A\|_2\le\|A\|_F\le\sqrt{n}\|A\|_2
  • \|A\|_{max} \le\|A\|_2\le\sqrt{mn}\|A\|_{max}
  • \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_\infty\le\|A\|_2\le\sqrt{m}\|A\|_\infty
  • \frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1\le\|A\|_2\le\sqrt{n}\|A\|_1

dove \|A\|_\infty rappresenta la norma infinito indotta e \|A\|_{\mbox{max}} la sua norma uniforme, cioè il massimo dei moduli dei suoi elementi.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) James W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, section 1.7, SIAM, 1997.
  • (EN) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000. [1]
  • (EN) John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
  • (EN) Kendall Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, Inc 1989
  • (EN) Higham, N. J. "Matrix Norms." §6.2 in Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Philadelphia: Soc. Industrial and Appl. Math., 1996.
  • (EN) Horn, R. A. and Johnson, C. R. "Norms for Vectors and Matrices." Ch. 5 in Matrix Analysis. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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