Funzione sublineare

In matematica, in particolare in algebra lineare, una funzione sublineare è una funzione $f:V\rightarrow \mathbf {F}$ definita su uno spazio vettoriale $V$ a valori in campo ordinato $F$ che gode della proprietà di omogeneità positiva:

$f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)\qquad \forall \gamma \in \mathbb {R} _{+}\quad \forall x\in V$

e subadditività:

$f(x+y)\leq f(x)+f(y)\qquad \forall x,y\in V$

In analisi funzionale le funzioni sublineari sono anche dette funzionali di Banach. Difatti, le funzioni sublineari sono funzionali convessi.

Nelle scienze computazionali, una funzione $f:\mathbb {Z^{+}} \rightarrow \mathbb {R}$ è detta sublineare se $f(n)\in o(n)$. In altri termini, $f$ è sublineare se e solo se per ogni $\,c>0$ esiste $\,n_{0}$ tale che:

$0\leq f(n)<c\cdot n$

per $n\geq n_{0}$.

Ogni seminorma è una funzione sublineare, mentre non è vero il viceversa in quanto le seminorme possono avere come dominio uno spazio vettoriale su un qualsiasi campo (non necessariamente ordinato) e devono avere $\mathbb {R}$ come codominio.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Funzionale di Minkowski
• Funzione omogenea
• Funzione subadditiva
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

• Sublinearity and Support Functions (PDF), su bilder.buecher.de.