Tangente (trigonometria)

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La tangente di un angolo è definito come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo.

Il nome della funzione deriva dal fatto che può esser definita come la lunghezza di un segmento della tangente (in senso geometrico) alla circonferenza goniometrica. Infatti, dato un cerchio di raggio unitario, la tangente corrisponde alla lunghezza del segmento di retta tangente alla circonferenza compreso tra l'intersezione con l'asse X nel punto di tangenza e l'intersenzione con il raggio vettore (segmento A-B in figura).

  • Se osserviamo la figura vediamo che i triangoli OAB e OCD sono simili, quindi \frac {AB}{OA}=\frac {DC}{OC};\frac{\tan x}{1}=\frac {DC}{OC}, da cui deriva anche la relazione fondamentale tra tangente, seno e coseno: \tan x =\, \frac{\sin x}{\cos x}
  • La tangente è una funzione periodica con periodo π: \tan x=\tan(x+k\pi),k\in\mathbb{Z}.
  • La sua primitiva è \int\tan{x}\,dx=-\ln{\left|\cos{x}\right|}
  • Lo sviluppo di Taylor della funzione tangente per i primi termini è
\mbox{tan} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots
  • La tangente è una funzione dispari: tan( − x) = − tanx.
Il tangentoide
Il tangentoide

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione tangente:

X in radianti 0 \frac \pi 6 \frac \pi 4 \frac \pi 3 \frac \pi 2 π \frac {3\pi} 2 2π
X in gradi 0 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
tan(x) 0 \frac {\sqrt 3} 3 1 \sqrt 3 + \infty 0 - \infty 0

Indice

[modifica] Geometria analitica

tan x = m = \frac {sin x}{\cos x} = \frac y{\ x}

Possiamo anche definire la tangente come il coefficiente angolare di una retta. In questo caso rappresenta la tangente trigonometrica dell'angolo che la retta stessa forma con l'asse delle x. Per renderci conto della veridicità di questa affermazione, ricordiamo che il coefficiente angolare di una retta passante per due punti, siano P = (x0,y0) e Q = (x1,y1), è esattamente \frac {y_1 - y_0}{x_1 - x_0}, che equivale al rapporto tra il seno e il coseno dell'angolo compreso tra la retta e l'asse delle x.

[modifica] Seno e Coseno

Per ottenere i valori del seno e del coseno di x conoscendone la tangente possiamo fare un semplice ragionamento. Innanzitutto pensiamo tanx come il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto P sulla circonferenza di raggio 1 e centro nell'origine O degli assi (il raggio è ininfluente poiché il valore della tangente è univocamente determinato). Possiamo ora considerare queste ascissa e ordinata come i cateti del triangolo rettangolo che ha il raggio OP come ipotenusa. Da questo punto di vista il seno di x è il rapporto tra l'ordinata di P e l'ipotenusa OP, mentre il coseno di x è il rapporto tra l'ascissa di P e l'ipotenusa OP. Usando banalmente il teorema di Pitagora possiamo affermare, dato tan x = \frac {a}{b}, che:

  • sin x= \frac {a}{\sqrt {a^2 + b^2}}
  • cos x= \frac {b}{\sqrt {a^2 + b^2}}

[modifica] Curiosità

  • In Italia la tangente di un angolo è indicata normalmente con la sigla tg(x).
  • I simboli per indicare la tangente sono i più numerosi di tutte le funzioni trigonometriche, giacchè essa si indica con tg, tan, tn, tang, tng (raro).


Trigonometria
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[modifica] Collegamenti esterni


Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometria)"
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