Costante di Stefan-Boltzmann

La costante di Stefan-Boltzmann (o costante di Stefan) è una costante fisica denotata con la lettera greca σ, e che rappresenta la costante di proporzionalità nella legge di Stefan-Boltzmann: l'energia termica irradiata al secondo per unità di superficie (detta emittanza) di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta.

Valore

Il valore della costante $\sigma$ è diventato esatto dopo la riforma del Sistema internazionale del 2019 (in cui infatti si sono fissati i valori esatti di costante di Planck e velocità della luce nel vuoto), e CODATA ne riporta le prime cifre, essendo un numero trascendente nel S.I.:^[1]

\sigma =5{,}670374419...\cdot 10^{-8}\mathrm {\ {\frac {W}{m^{2}\cdot K^{4}}}}

Il valore nelle unità di misura impiegate da CODATA è calcolato a partire dai valori esatti nel SI (dal 2019) della costante di Boltzmann, della costante di Planck e della velocità della luce nel vuoto:

\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15h^{3}c^{2}}}\left(={\frac {32\pi ^{5}hR^{4}R_{\infty }^{4}}{15A_{\rm {r}}^{4}({\rm {e}})M_{\rm {u}}^{4}c^{6}\alpha ^{8}}}\right)

dove:

$R_{\infty }$ è la costante di Rydberg,
$A_{r}(e)$ è la massa atomica relativa dell'elettrone,
$M_{u}$ è la costante di massa molare (che per definizione vale 1 g/mol),
$\alpha$ è la costante di struttura fine.

Il valore è derivabile sia per via analitica che per via sperimentale. Il valore di $\sigma$ può essere definito in termini della costante di Boltzmann $k_{\mathrm {B} }$ come:

\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k_{\mathrm {B} }^{4}}{15h^{3}c^{2}}}={\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}},

dove:

$h$ è la costante di Planck,
$\hbar =h/2\pi$ è la costante di Planck ridotta,
$c$ è la velocità della luce nel vuoto.

Misurando la temperatura in unità energetiche come l'energia interna (temperatura fondamentale), il valore della costante diventa invece, semplicemente:

\sigma ={\frac {\pi ^{2}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}={\frac {2\pi ^{5}}{15\ h^{3}\ c^{2}}}=1{,}560553298...\cdot 10^{84}\mathrm {\ s^{5}\ kg^{-3}\ m^{-8}}

.

Notevolmente questo valore, al netto della quinta potenza di pi greco, è un numero razionale esatto essendo (nel S.I., dal 2019) dei numeri razionali i valori delle due costanti fisiche di cui è composto:

\sigma '={\frac {2}{15\ h^{3}\ c^{2}}}={\frac {8\cdot 10^{122}}{156877530609950601615022671921401408705121}}

.

Storia

La legge fu scoperta sperimentalmente da Josef Stefan nel 1879 e in seguito spiegata teoricamente per la prima volta da Ludwig Boltzmann nel 1884.^[2] Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, integrando su tutte le lunghezze d'onda ad una data temperatura. La costante di Stefan-Boltzmann può essere utilizzata per misurare la quantità di calore che viene emessa da un corpo nero, che assorbe tutta l'energia radiante che lo colpisce ed emette tutta l'energia radiante (assorbività = 1, emissività = 1).

Costante di radiazione

Una costante correlata è la costante di radiazione a (o costante di densità di radiazione), che è data da:^[3]

a={\frac {4\sigma }{c}}={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{15\hbar ^{3}c^{3}}}={\frac {8\pi ^{5}k_{B}^{4}}{15\ h^{3}\ c^{3}}}=7{,}5657\times 10^{-16}\,{\textrm {J}}\,{\textrm {m}}^{-3}\,{\textrm {K}}^{-4}=2{,}082178196\times 10^{76}\mathrm {\ s^{6}\ kg^{-3}\ m^{-9}}

Notevolmente questo valore, al netto della quinta potenza di pi greco, è di nuovo un numero razionale esatto essendo nel S.I. dal 2019 dei numeri razionali i valori delle due costanti fisiche di cui è composto: