Legge di Stefan-Boltzmann

La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata anche legge di Boltzmann o legge di Stefan, dai due fisici austriaci Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, è una equazione di stato per la radiazione elettromagnetica che stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta (espressa in kelvin nel Sistema internazionale), o in una forma equivalente più teorica alla temperatura fondamentale (espressa in joule nel Sistema internazionale):

$u=\sigma \ \ T^{4}$

dove:

• $u$ è l'emittanza termica o energia interna specifica della radiazione,
• $T$ la temperatura assoluta o, in modo equivalente, la temperatura fondamentale
• $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann.

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

Fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali. Esprimendo la temperatura come assoluta in kelvin, la costante vale:

$\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67...\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}$.

Misurando invece in modo più teoricamente sintetico la temperatura in joule come l'energia interna (temperatura fondamentale), il valore della costante diventa invece, semplicemente:

$\sigma ={\frac {\pi ^{2}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=1{,}56...\cdot 10^{84}\mathrm {\ s^{5}\ kg^{-3}\ m^{-8}}$.

Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo "derivazione quantistica".

Derivazione termodinamica

La legge può essere dedotta a partire dal primo principio della termodinamica e dalla relazione della pressione di radiazione, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann.

Dal primo principio della termodinamica nella forma:

$~{\rm {d}}U=T~{\rm {d}}S-p~{\rm {d}}V$

derivando rispetto al volume, a temperatura costante:

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}$

ovvero, introducendo le grandezze specifiche:

$(u)_{T}=T(s)_{T}-p$

per le relazioni di Maxwell l'entropia specifica a temperatura costante:

$(s)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}$

Introducendo poi la relazione lineare della pressione di radiazione:

$p(u)={\frac {1}{3}}u$

si ottiene un'equazione differenziale ordinaria non lineare omogenea per l'energia interna specifica nella temperatura:

$u={\frac {1}{3}}T{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} T}}-{\frac {1}{3}}u$

che corrisponde all'equazione di Clairaut omogenea:

$u(T)={\frac {T}{4}}u'(T)$

Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

$u(T)=\sigma ~T^{4}$

essendo $\sigma$ una costante d'integrazione, che può essere ricavata sperimentalmente o dedotta da altre considerazioni teoriche di natura quantistica.

Quindi il calore specifico della radiazione è:

$c_{v}(T)={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} T}}=4\ \sigma \ T^{3}$

ovvero per la radiazione vale la equazione di Clairaut per il calore specifico:

$u(T)={\frac {1}{4}}\ c_{v}(T)\ T$

Relazione fondamentale

La continuità, differenziabilità e monotonicità dell’entropia implicano che la funzione di stato energia interna:

$U=U(S,V)\,$

può essere invertita rispetto all'entropia:

$S=S(U,V)\,$

La funzione entropia così ottenuta è continua e differenziabile nei suoi argomenti. Questa relazione è nota come relazione fondamentale: nota questa, tutta l'informazione termodinamica sul sistema è nota e qualunque proprietà termodinamica è da essa deducibile. La forma differenziale della relazione fondamentale è chiamata equazione di Gibbs.

Dal primo principio della termodinamica + secondo principio per sistemi in equilibrio termodinamico segue l'equazione di Gibbs:

$dS={\frac {1}{T}}\ dU+{\frac {p}{T}}\ dV$

In generale per le variabili di stato (coordinate generalizzate):$\mathbf {x} =\{x_{i}\}$ l'equazione di Gibbs è:

$dS=\nabla S\cdot \mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\sum _{i}F_{i}\ dx_{i}$

dove le forze generalizzate sono:

$F_{i}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}$

mentre le relazioni $F_{i}=F_{i}(\{x_{j}\})$ sono le equazioni di stato del sistema. Nel caso di cui sopra le forze generalizzate sono:

${\begin{cases}F_{U}=\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V,\{N_{i}\}}={\frac {1}{T}}\\F_{V}=\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U,\{N_{i}\}}={\frac {p}{T}}\end{cases}}$

La relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica, che ne caratterizza completamente le proprietà termodinamiche, è:

$S(U,V)={\frac {4}{3}}\ \sigma ^{\frac {1}{4}}\ U^{\frac {3}{4}}\ V^{\frac {1}{4}}$

dove la costante è solo quella di Stefan-Boltzmann σ

Per esso:

${\begin{cases}\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}=\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {1}{4}}V^{-{\frac {1}{4}}}=\sigma ^{\frac {1}{4}}u^{\frac {1}{4}}\\\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}u^{\frac {3}{4}}\end{cases}}$

ma siccome queste sono le forze generalizzate viste sopra, si ha che:

${\begin{cases}{\frac {1}{T}}=\sigma ^{\frac {1}{4}}u^{\frac {1}{4}}\\{\frac {p}{T}}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}u^{\frac {3}{4}}\end{cases}}$

Queste sono le due equazioni di stato per la radiazione elettromagnetica. La prima relazione è la legge di Stefan-Boltzmann, esprimibile anche (secondo membro) come equazione di Clairaut:

$u(T)=\sigma \ T^{4}={\frac {1}{4}}\ c_{v}(T)\ T$

dove infatti il calore specifico della radiazione per definizione è la derivata prima dell'energia interna rispetto alla temperatura:

$c_{v}(T)=u'(T)=4\ \sigma \ T^{3}$

mentre la seconda equazione di stato è la relazione della pressione di radiazione:

$p(T)={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}u^{\frac {3}{4}}T={\frac {1}{3}}\sigma \ T^{4}={\frac {1}{3}}u(T)={\frac {1}{12}}\ c_{v}(T)\ T$

Quindi le due equazioni di stato della radiazione sono:

${\begin{cases}u(T)={\frac {1}{4}}\ c_{v}(T)\ T\\p(T)={\frac {1}{12}}\ c_{v}(T)\ T\end{cases}}$

per esempio invece le equazioni di stato dei gas perfetti sono notevolmente diverse, anche se sempre dello stesso tipo:

${\begin{cases}u(T)=c_{v}\ T\\p(n,T)=n\ T\end{cases}}$

Derivazione quantistica

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:

$u=\int _{0}^{\infty }I(\varepsilon )~d\varepsilon$

dove:

• $\varepsilon$ è l'energia di un quanto della radiazione elettromagnetica;
• $T$ è la temperatura fondamentale,
• $I(\varepsilon )d\varepsilon$ è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra $\varepsilon$ e $\varepsilon +d\varepsilon$.

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione dell'energia dei singoli quanti non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:

$I(\varepsilon ,T)={\frac {2\ \pi }{h^{4}\ c^{3}}}{\frac {\varepsilon ^{5}}{e^{\frac {\varepsilon }{T}}-1}}$

dove oltre alle grandezze precedentemente definite compaiono delle costanti fisiche e matematiche:

• $h$ è la costante di Planck
• $c$ è la velocità della luce nel vuoto
• $e$ è il numero di Eulero

viene integrata su tutto il dominio energetico dei pacchetti di radiazione:

$u(T)=\int _{0}^{\infty }I(\varepsilon ,T)\operatorname {d} \varepsilon ={\frac {2\ \pi }{h^{4}\ c^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{5}}{e^{\frac {\varepsilon }{T}}-1}}\operatorname {d} \varepsilon ={\frac {2\pi T^{4}}{h^{3}c^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n^{4}}}={\frac {2\pi ^{5}}{15h^{3}c^{2}}}T^{4}={\frac {\pi ^{2}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}T^{4}$

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

$\sigma ={\frac {\pi ^{2}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=1{,}56...\cdot 10^{84}\mathrm {\ s^{5}\ kg^{-3}\ m^{-8}}$.

Corpo radiante reale

Il corpo nero è un'idealizzazione, intendendosi in fisica un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente, non ottenibile sperimentalmente. Di converso, i cosiddetti corpi bianchi riflettono buona parte della radiazione che li colpisce, ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione e dalla sua temperatura, ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:

$\operatorname {u} (T,\varepsilon )=\varepsilon \ \sigma \ T^{4}$

Bibliografia

• Peter Atkins e Julio De Paula, Chimica Fisica, 4ª ed., Bologna, Zanichelli, ISBN 88-08-09649-1.
• Nino Zanghi, Appunti di meccanica statistica, Dipartimento di Fisica dell'Università di Genova, Esempio 2.2 (Relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica)

Voci correlate

• Equazione di stato
• Costante di Stefan-Boltzmann
• Legge di Wien
• Legge di Rayleigh-Jeans
• Legge di Planck
• Corpo nero
• Eccitanza
• Legge di Prevost

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su legge di Stefan-Boltzmann

Collegamenti esterni

• (EN) Stefan-Boltzmann law, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Legge di Stefan-Boltzmann, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.