Legge di Stefan-Boltzmann

La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata anche legge di Boltzmann o legge di Stefan, dai due fisici austriaci Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, è una equazione di stato per la radiazione elettromagnetica^[1] che stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta (espressa in kelvin):

u=\sigma \,T^{4}

dove:

$u$ è l'emittanza termica o energia interna specifica della radiazione,
$T$ la temperatura assoluta
$\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann.

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali:

\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}

.

Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo derivazione quantistica.

Derivazione termodinamica

La legge può essere dedotta a partire da considerazioni di natura termodinamica, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann. Sono note le relazioni:

u={\frac {4}{c}}q

e

p={\frac {1}{3}}u

dove:

$u$ è la densità di energia
$c$ la velocità della luce
$q$ l'emittanza di irraggiamento
$p$ la pressione di radiazione

Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

~{\rm {d}}U=T~{\rm {d}}S-p~{\rm {d}}V

\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p

u={\frac {1}{3}}T{\frac {\partial u}{\partial T}}-{\frac {1}{3}}u

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

u=\sigma ~T^{4}

essendo $\sigma$ una costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di $c$ nel valore di sigma, che veniva ricavata sperimentalmente.

Relazione fondamentale

La continuità, differenziabilità e monotonicità dell’entropia implicano che la funzione di stato energia interna:

U=U(S,V)\,

può essere invertita rispetto all'entropia:

S=S(U,V)\,

La funzione entropia così ottenuta è continua e differenziabile nei suoi argomenti. Questa relazione è nota come relazione fondamentale: nota questa, tutta l'informazione termodinamica sul sistema è nota e qualunque proprietà termodinamica è da essa deducibile. La forma differenziale della relazione fondamentale è chiamata equazione di Gibbs.

Dal primo principio della termodinamica + secondo principio per sistemi in equilibrio termodinamico segue l'equazione di Gibbs:

dS={\frac {1}{T}}dU+{\frac {p}{T}}dV

In generale per le variabili di stato (coordinate generalizzate): $\mathbf {x} =\{x_{i}\}$ l'equazione di Gibbs è:

$dS=\nabla S\cdot \mathbf {x} =\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\sum _{i}F_{i}dx_{i}$

dove le forze generalizzate sono:

$F_{i}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}$

mentre le relazioni $F_{i}=F_{i}(\{x_{j}\})$ sono le equazioni di stato del sistema. Nel caso di cui sopra le forze generalizzate sono:

F_{U}=\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V,\{N_{i}\}}={\frac {1}{T}}

F_{V}=\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U,\{N_{i}\}}={\frac {p}{T}}

Talvolta conviene considerare invece i momenti coniugati $\mathbf {p} =\{p_{i}\}$ definiti da:

p_{i}={\frac {F_{i}}{T}}

La relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica, che ne caratterizza completamente le proprietà termodinamiche, è^[2]:

S={\frac {4}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{\frac {1}{4}}

dove la costante è solo: σ

Per esso:

\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)_{V}=\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {1}{4}}V^{-{\frac {1}{4}}}

\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{U}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}

ma siccome queste sono le forze generalizzate viste sopra, si ha che:

{\frac {1}{T}}=\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {1}{4}}V^{-{\frac {1}{4}}}

{\frac {p}{T}}={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}

Queste sono le due equazioni di stato per la radiazione elettromagnetica. La prima relazione è la legge di Stefan-Boltzmann:

U(T,V)=\sigma VT^{4}

ovvero per l'energia interna volumetrica della radiazione vale:

u(T)={\frac {U}{V}}=\sigma T^{4}

quindi il calore specifico isocoro della radiazione è:

c_{v}(T)={\frac {\partial u}{\partial T}}=4\sigma T^{3}

mentre la seconda equazione di stato è la relazione della pressione di radiazione:

p={\frac {1}{3}}\sigma ^{\frac {1}{4}}U^{\frac {3}{4}}V^{-{\frac {3}{4}}}T={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}={\frac {1}{3}}u

Derivazione quantistica

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:

q=\int _{0}^{\infty }I(\nu )~d\nu =\int _{0}^{\infty }I(\lambda )~d\lambda

dove:

$\nu$ è la frequenza della radiazione elettromagnetica;
$h$ è la costante di Planck,
$T$ è la temperatura assoluta,
$I(\nu )d\nu$ è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra $\nu$ e $\nu +d\nu$ .

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:

$I(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}$

dove:

$h$ è la costante di Planck
$k$ è la costante di Boltzmann
$c$ è la velocità della luce nel vuoto
$T$ è la temperatura assoluta
$\lambda$ è la lunghezza d'onda
$e$ è il numero di Eulero

viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:

$q(T)=\int _{0}^{\infty }I(\lambda ,T)\operatorname {d} \lambda ={2\pi hc^{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{{\lambda ^{5}}{\bigl (}e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1{\bigr )}}}\operatorname {d} \lambda ={\frac {2\pi k^{4}T^{4}}{c^{2}h^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n^{4}}}={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}T^{4}$

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}

.

Corpo radiante reale

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente; al contrario un corpo di un certo colore (diverso da nero) non lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" infatti riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha: