Legge di Stefan-Boltzmann

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La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata a volte legge di Boltzmann o anche legge di Stefan, stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura:

dove:

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali:

.

Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo derivazione quantistica.

Derivazione termodinamica[modifica | modifica wikitesto]

La legge può essere dedotta a partire da considerazioni di natura termodinamica, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann. Sono note le relazioni:

e

dove:

  • è la densità di energia,
  • la velocità della luce,
  • il flusso termico di irraggiamento,
  • la pressione esercitata nel lavoro da irraggiamento.

Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

essendo σ una costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di c nel valore di sigma, che veniva ricavata sperimentalmente.

Derivazione quantistica[modifica | modifica wikitesto]

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette della radiazione elettromagnetica, la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura a cui si trova il corpo e secondariamente dalle caratteristiche del corpo stesso:

dove:

  • ν è la frequenza della radiazione elettromagnetica,
  • h è la costante di Planck,
  • T è la temperatura assoluta,
  • è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra e .

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:

dove:

viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

.

Corpo radiante reale[modifica | modifica wikitesto]

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente; al contrario un corpo di un certo colore (diverso da nero) non lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" infatti riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Peter Atkins, Julio De Paula, Chimica Fisica, 4ª ed., Bologna, Zanichelli, settembre 2004, ISBN 88-08-09649-1.

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