Lavoro (fisica)

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In meccanica classica, il lavoro di una forza costante \vec F lungo un percorso rettilineo è definito come il prodotto scalare del vettore forza per il vettore spostamento \vec s:

L = \vec F \cdot \vec s = \left| \vec F \right| \, \left| \vec s \, \right| \, \cos \alpha

dove L è il lavoro e α l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento.

Lavoro con forza e traiettoria costante

Il lavoro può essere sia positivo che negativo, il segno dipende dall'angolo α compreso tra il vettore forza \vec F ed il vettore spostamento \vec s.

Il lavoro svolto dalla forza è positivo se 0 < α < 90° (0 < α < π/2 radianti) ovvero se cosα > 0. Un lavoro positivo è causato da una forza detta motrice, uno negativo (90° < α < 180°), invece, da una forza resistente.

Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente legata all'esperienza quotidiana e si può ricondurre, ad esempio, alla fatica muscolare. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento: se per esempio si spinge contro un muro naturalmente esso rimarrà fermo e non si avrà lavoro.

Casi particolari

Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori:

\alpha = 0^\circ \rightarrow \cos\alpha = 1 \rightarrow L = \left| \vec F \right| \left| \vec s \, \right|.

Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto:

\alpha = 180^\circ \rightarrow \cos\alpha = -1 \rightarrow L = - \left| \vec F \right| \left| \vec s \, \right|.

Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo:

\alpha=90^\circ\rightarrow\cos\alpha=0\rightarrow L=0.


Indice

[modifica] Definizione generale

Si definisce lavoro lineare elementare di una forza \vec F(\vec r) (ovvero di ogni campo vettoriale) associato allo spostamento elementare d\vec s la forma differenziale:

dL = \vec F \cdot d\vec s = \vec F \cdot \vec v dt

che in termini di coordinate cartesiane, si può esprimere come:

dL = F_x dx + F_y dy + F_z dz \,\!

Il lavoro lungo una curva γ è definito come l'integrale di linea di seconda specie della forma differenziale dL:

L = \int_\gamma dL = \int_\gamma {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s

ovvero l'integrale di linea del campo vettoriale \vec F(\vec r) lungo la curva γ.

Nel caso di un corpo che ruota il lavoro può essere espresso in funzione del momento di una forza:

dL = \vec F \cdot d\vec s = \vec F \cdot \vec v \cdot dt = \vec F \cdot \left (\vec{\omega} \times \vec {OP} \right) dt=\vec\omega\cdot\left(\vec{OP}\times\vec F\right)dt=d\vec\theta\cdot\vec M_o

Il lavoro finito del momento corrispondente ai due spostamenti angolari θ1 e θ2 è formalmente uguale all'integrale:

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \vec {M_o} \cdot d\vec {\theta}.

[modifica] Conseguenze della definizione

Immediate, dalla definizione di integrale curvilineo, si hanno:

  • il lavoro lungo una curva "nulla", cioè contratta in un solo punto, è nullo.
  • i lavori dello stesso campo vettoriale lungo la stessa traiettoria, percorsa però in direzioni opposte, sono di segno opposto:
\int_{\gamma^-} {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s = -\int_{\gamma^+} {\vec F(\vec r)} \cdot \operatorname d \vec s

(intendendo con γ + e γ − due parametrizzazioni della stessa curva con orientamenti opposti)

  • il lavoro lungo una traiettoria somma di due curve è la somma dei lavori lungo le due curve:
\int_{\gamma_1+\gamma_2} dL = \int_{\gamma_1} dL + \int_{\gamma_2} dL

(intendendo con γ1 + γ2 la curva ottenuta percorrendo in sequenza γ1 e γ2)

Per la proprietà di linearità dell'operatore integrale si hanno:

  • i lavori compiuti (lungo la stessa traiettoria) da forze opposte sono di segno opposto:
\int -\vec F \cdot d \vec s = -\int \vec F \cdot d \vec s
  • il lavoro compiuto dalla somma di due o più forze è la somma dei lavori compiuti da ognuna forza (si può anche dire, in altri termini, che per il lavoro vale il principio di sovrapposizione degli effetti)
\int \vec (F_1+F_2) \cdot d \vec s = \int \vec F_1 \cdot d \vec s + \int \vec F_2 \cdot d \vec s

Il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica: L= \Delta E_{\operatorname{C}} (Teorema dell'energia cinetica).

In generale, a causa della generalità del campo \vec F(\vec r) , che varia da punto a punto, il lavoro dipende dalla traiettoria per andare da A a B. Vi sono però casi di notevole rilevanza fisica nei quali è possile limitarci a forze per le quali il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita ma solo dalle posizioni iniziale e finale della traiettoria.

[modifica] Forze conservative

Se il campo di forze \vec F(\vec r) è tale che il lavoro non dipende dal particolare cammino seguito, ma solo dalla posizione iniziale \vec r_A e dalla posizione finale \vec r_B, allora il campo è detto conservativo.

Una definizione alternativa è:

Il campo è conservativo se il Lavoro lungo una traiettoria chiusa è zero, qualunque traiettoria si segua

Infatti:

\Rightarrow 2) è conseguenza immediata di 1): il lavoro per andare da A ad A lungo qualsiasi traiettoria è uguale a quello per andare da A ad A "rimanendo fermi"; che è 0.
\Leftarrow: per l'implicazione contraria, da 2) a 1), si ragiona così: consideriamo 2 qualsiasi traiettorie da A e B; unendole si ottiene una curva chiusa lungo la quale (per la 2^ definizione) il lavoro è zero. Quindi il lavoro lungo la prima traiettoria da A a B è l'inverso di quello lungo la seconda da B ad A e, poiché i lavori della stessa forza lungo la stessa curva percorsa però nei due sensi contrari sono di segno opposto (come visto sopra), ciò implica che il lavoro lungo le due traiettorie percorse nello stesso verso, da A a B, è uguale. C.V.D.

Per i campi conservativi è possibile definire una funzione scalare, detta energia potenziale, la cui variazione tra i punti \vec r_A e \vec r_B rappresenta il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (per quanto detto prima lungo un qualunque percorso).

L = U ( {\vec r_A}) - U (\vec r_B) = -\Delta U

(si indica − ΔU e non ΔU perché, per convenzione, si considera solitamente la variazione di qualcosa dal punto finale a quello iniziale, cioé \Delta U = U ( {\vec r_B}) - U (\vec r_A))

Il concetto continua a valere se U non dipende dalla "posizione" ma da uno "stato", ovvero da una posizione nello spazio delle fasi del sistema: ovviamente sostituendo \vec r con l'equivalente nel caso in questione. Un esempio è il diagramma Pressione/Volume usato per le macchine termiche.

Considerando campi conservativi, dal Teorema dell'energia cinetica (L = \Delta E_{\operatorname{C}}) , si ha che la variazione di energia potenziale è contraria alla variazione di Energia cinetica:

- \Delta U = U ( {\vec r_A}) - U (\vec r_B) = L = \Delta E_{\operatorname{C}} = \frac {1}{2}m {v_B}^2 - \frac {1}{2}m {v_A}^2

e quindi la somma dell'Energia cinetica e dell'Energia potenziale (detta Energia meccanica) è costante (Teorema dell'Energia meccanica)

E_{\operatorname{mecc}} = E_{\operatorname{C}}+U= \frac {1}{2}m {v_A}^2+ U ( {\vec r_A}) = \frac {1}{2}m {v_B}^2+ U (\vec r_B)

ovvero

\Delta E_{\operatorname{mecc}}=0

[modifica] Campi non conservativi

L'esempio classico di campi non conservativi si ha considerando le forze d'attrito: l'attrito si oppone sempre al moto, quindi lungo qualsiasi traiettoria avremo l'integrale di una funzione costantemente negativa. E il risultato sarà un lavoro costantemente negativo anche lungo traiettorie chiuse.

Avremmo un lavoro pari a zero (e quindi un campo conservativo) solo se l'attrito fosse zero lungo tutto il percorso, solo se, cioé, non avessimo attriti.

Scomponendo, nel Teorema dell'energia cinetica, il lavoro in due addendi: L = L_{\operatorname{cons}}+L_{\operatorname{nc}} quello derivante da forze conservative (uguale alla variazione di Energia meccanica) e quello dervante da forze non conservative abbiamo:

\Delta E_{\operatorname{C}}= L = L_{\operatorname{cons}} + L_{\operatorname{nc}} = - \Delta U + L_{\operatorname{nc}}

e quindi:

\Delta E_{\operatorname{mecc}} = \Delta(E_{\operatorname{C}}+U) = L_{\operatorname{nc}}

cioé la variazione dell'energia meccanica (la somma cioè di energia cinetica e potenziale) è uguale al lavoro compiuto dalla forze non conservative.

[modifica] Unità di misura

Nel Sistema Internazionale l'unità di misura per il lavoro è il joule che corrisponde allo spostamento di 1 metro di una forza di 1 newton:

\mathrm{J}=\mathrm{N}\mathrm{m}=\mathrm{kg\, m^2s^{-2}}\,\!

Tra le altre unità di misura del lavoro ricordiamo:

  • il chilogrammetro: lavoro necessario per alzare di 1 metro un peso di 1 kg. Poiché l'accelerazione di gravità al suolo è, in media, circa 9,81 m/s2 (e dunque la forza di gravità, al suolo, agente su un peso di 1 kg, circa 9,81 m/s2 * 1 kg = 9,81 N):
1 \mathrm{\operatorname{kgm}} = 9,81\, \mathrm{N} \cdot 1\,\mathrm{m} =9,81 \mathrm{J} (circa)

[modifica] Esempi

[modifica] Lavoro in termodinamica

In termodinamica, il lavoro viene scomposto per comodità in due contributi: un contributo relativo alla variazione di volume (lavoro di volume) e un contributo indipendente dalla variazione di volume (lavoro isocoro).

[modifica] Lavoro di volume

Per approfondire, vedi la voce Lavoro di volume.

In termodinamica un gas esercita una pressione P interna sulle pareti del contenitore in cui viene contenuto. Se una di queste pareti (di area A) è mobile e si sposta di una quantità infinitesima dl sotto l'azione di questa pressione allora il lavoro infinitesimo compiuto dal gas è dato da

\delta L= P A dl = P \cdot dV.

dove dV = A dl è la variazione del volume corrispondente. Questo è vero se la trasformazione è reversibile, infatti solo se il sistema è in equilibrio è possibile conoscere il valore della pressione P interna al contenitore. La notazione δL è usata per denotare che il lavoro in fisica non è una funzione di stato, cioè esso dipende dalla particolare trasformazione eseguita sul sistema: in termini matematici si dice che il lavoro non è, in generale, esprimibile come un differenziale esatto.

Infine se il sistema termodinamico subisce una trasformazione generica, quindi per lo più irreversibile, allora possiamo ancora quantificare il lavoro fatto dal gas o dal sistema:

\delta L= P_e A dl = P_e \cdot dV

contro la pressione esterna Pe.

[modifica] Lavoro isocoro

Sotto il termine di lavoro isocoro si annoverano tutti i tipi di lavoro che non si riflettono in una variazione d volume, ad esempio: il lavoro elettrico, il lavoro di un campo magnetico, oppure il lavoro svolto da una girante.

[modifica] Lavoro elettrico

In un circuito elettrico il lavoro infinitesimo compiuto dalla batteria che genera la differenza di potenziale per far circolare una corrente elettrica I per un tempo infinitesimo dt è data da dL = EIdt, il segno di tale lavoro sarà positivo o negativo a seconda che rispettivamente la pila eroghi o assorba corrente.

[modifica] Forza di Lorentz

La forza di Lorentz, ossia la forza che agisce su una particella carica in movimento se è immersa in un campo magnetico, possiede sempre lavoro nullo, in quanto è ortogonale allo spostamento. Infatti, la forza di Lorentz è definita:

\vec F= q \vec v \wedge \vec B

dove q è la carica della particella, v è la sua velocità e B è il vettore di induzione magnetica che definisce punto per punto il campo magnetico. Il lavoro elementare della forza di Lorentz è dato da:

\mbox{d}L= q \vec v \wedge \vec B \cdot \vec{\mbox{d} s} = q \vec B \cdot (\vec {\mbox{d}s} \wedge \vec v)=0

che è identicamente nullo perché i vettori ds e v sono paralleli.

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Lavoro_(fisica)"
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