Delta di Dirac

Grafico della delta di Dirac

In matematica, la delta di Dirac, anche detta impulso di Dirac o funzione δ, è una distribuzione la cui introduzione formale ha spianato la strada per lo studio della teoria delle distribuzioni.
Introdotta da Paul Dirac, anche se già presente nei lavori di Oliver Heaviside, è una funzione generalizzata che dipende da un parametro reale in modo tale che sia nulla per tutti i valori del parametro ad eccezione dello zero, ed il suo integrale sul parametro tra −∞ e ∞ sia pari a 1.

Viene utilizzata per rappresentare approssimativamente fenomeni come i picchi alti e stretti di alcune funzioni o le loro discontinuità: è lo stesso tipo di astrazione che si fa per la carica puntiforme, la massa puntiforme, l'elettrone puntiforme. L'analogo discreto è la delta di Kronecker.

La definizione di Dirac

Prima ancora della definizione formale di Dirac, i matematici del passato avevano la necessità di definire una funzione di tipo impulsivo, che rappresentasse cioè un fenomeno fisico di durata infinitesima. Inizialmente la delta fu definita come una funzione nulla per $t\neq 0$, con integrale pari a 1 integrando sull'intero asse delle ascisse, ed anche come il limite di opportune successioni.

Formalmente la delta di Dirac viene definita dalla seguente notazione:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\operatorname {\phi } (x)\operatorname {d} x=\operatorname {\phi } (0)$

valida per ogni funzione continua in un intorno dello zero. Questa definizione fu introdotta per la prima volta da Dirac alla fine degli anni venti nelle sue ricerche sulla meccanica quantistica. Si noti che, pur utilizzando il simbolo dell'integrale, l'operazione non è di integrazione, ma di applicazione di un funzionale ($\delta$ appunto) ad una funzione test $\operatorname {\phi }$. La delta di Dirac è dunque la funzione generalizzata (definita con la simbologia di cui sopra) che trasforma la funzione test $\operatorname {\phi } (t)$ nel numero $\operatorname {\phi } (0)$.

Nonostante sia facilmente dimostrabile che non può esistere alcuna funzione con le proprietà della delta di Dirac, questa definizione si rivelò operativamente molto utile e fu presto adottata in molti ambiti della fisica e delle scienze applicate. Anche per Dirac era chiaro che la delta non era una funzione nel senso usuale; la sua idea era che il valore della delta nel punto 0 fosse un infinito di grado "abbastanza elevato" da permettere la proprietà definitoria. Una formalizzazione matematicamente corretta della delta fu possibile solo molti anni dopo nell'ambito della teoria delle distribuzioni.

Definizione rigorosa

Informalmente la delta di Dirac è una distribuzione che soddisfa la proprietà $\delta (x)=0$ per $x\not =0$, e tale che:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x)\operatorname {d} x=1$

Dal punto di vista rigoroso, invece, essa può essere definita sia come distribuzione, sia come misura:

La delta come distribuzione

Formalmente, la delta di Dirac può essere definita come una distribuzione, vale a dire un funzionale lineare continuo su un opportuno spazio di funzioni che è quello di Schwartz.
Sia quindi ${\mathcal {S}}$ lo spazio vettoriale delle funzioni f infinitamente derivabili e a decrescenza rapida, cioè tali che per ogni h, k interi fissati valga

$\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|x^{h}{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}\right|<\infty$.

Si dirà distribuzione temperata una applicazione $T:{\mathcal {S}}\rightarrow \mathbb {C}$ lineare e continua rispetto alla nozione di convergenza in ${\mathcal {S}}$. La continuità significa che se $f_{n}$ è una successione convergente a f in ${\mathcal {S}}$, allora

$T(f_{n})\rightarrow T(f)$.

Spesso invece di T(f) si usa la notazione $\langle T|f\rangle$.
La distribuzione associata a una funzione u di $L^{1}(\mathbb {R} )$ o $L^{2}(\mathbb {R} )$ o anche localmente integrabile è inoltre definita come:

$\langle T_{u}|f\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }u(x)f(x)dx$.

La delta di Dirac nel punto $x_{0}$, indicata con $\delta _{x_{0}}$ o $\delta (x-x_{0})$ è la distribuzione così definita:

$\langle \delta _{x_{0}}|f\rangle =f(x_{0})$.

Per analogia con la definizione di cui sopra, si usa scrivere impropriamente

$\langle \delta _{x_{0}}|f\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-x_{0})f(x)dx=f(x_{0})$.

È facile convincersi che la delta non è una distribuzione regolare, cioè che non può esistere una funzione δ(x) tale che

$\int \delta (x)f(x)\operatorname {d} x=\langle \delta |f\rangle$

tuttavia, principalmente per comodità, la notazione integrale è largamente utilizzata.

La delta come misura

Uno dei modi per definire la delta di Dirac è quello di considerarla una misura che, per ogni sottinsieme A dei numeri reali, ritorna δ(A) = 1 se 0 ∈ A e δ(A) = 0 altrimenti. Se la funzione delta è concepita per modellizzare una massa puntiforme in 0, δ(A) rappresenta la massa contenuta nell'insieme A. L'integrale di Lebesgue permette di definire l'integrale di una funzione rispetto a questa distribuzione di massa. Questo soddisfa:

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0)$

per ogni funzione f continua a supporto compatto. Questa misura è singolare, e non è quindi assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue. Di conseguenza, la delta di Dirac non ha derivata di Radon-Nikodym, ovvero non esiste nessuna funzione f tale che

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0)$

Di conseguenza, l'uso di quest'ultima notazione per la delta non è altro che un abuso di notazione.

Come misura di probabilità sui reali, la delta di Dirac è caratterizzata dalla sua funzione di ripartizione che non è altro che la funzione di Heaviside:

$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$

Ciò sinifica che H(x) è l'integrale della funzione indicatrice di 1_(−∞, x] rispetto alla misura δ. Ovvero:

$H(x)=\int _{\mathbb {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (-\infty ,x].$

Generalizzazioni

La funzione delta può essere definita in uno spazio euclideo Rⁿ di dimensione n come una misura tale che:

$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} )$

per ogni funzione continua ƒ a supporto compatto. Nel caso n-dimensionale la delta è il prodotto delle singole delta in una dimensione, ovvero se x = (x₁,x₂,...,x_n), si ha:

$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\dots \delta (x_{n}).$

Tale scrittura vale anche nella definizione della delta come distribuzione, ma tale prodotto può essere definito solamente sotto determinate e restrittive ipotesi.

Il concetto di misura deltiforme ha invece senso su ogni insieme. Sia X un insieme, sia x₀ ∈ X e Σ una sigma algebra dei sottoinsiemi di X, allora la misura definita sugli insiemi A ∈ Σ dalla relazione:

$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\rm {{se\ }x_{0}\in A}}\\0&{\rm {{se\ }x_{0}\notin A}}\end{cases}}$

è la misura di Dirac in x₀.

Un'altra generalizzazione molto diffusa riguarda infine le varietà differenziabili, in cui molte delle proprietà della delta come distribuzione possono essere sfruttate grazie alla struttura differenziabile. La funzione delta su una varietà M nel punto x₀ ∈ M è definita come la distribuzione:

$\delta _{x_{0}}[\phi ]=\phi (x_{0})$

per ogni funzione φ reale, liscia e a supporto compatto su M. Un caso particolare molto utilizzato è il caso in cui M sia un insieme aperto di Rⁿ.

Proprietà e operazioni della delta di Dirac

Diamo di seguito la definizione delle proprietà principali della Delta e delle operazioni che possiamo effettuare su di essa

Prodotto per uno scalare

Per definizione di distribuzione si ha

$\int _{-\infty }^{+\infty }a\delta (t)\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t=a\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t$

Traslazione

Dalla definizione di distribuzione

$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_{0})\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t=\operatorname {\phi } (t_{0})$

Riscalamento (e riflessione)

Dalla definizione della delta

$\delta (at)={1 \over |a|}\delta (t)$

Diamone la dimostrazione

$\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (at)\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t={1 \over |a|}\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\operatorname {\phi } \left({t \over a}\right)\operatorname {d} t={1 \over |a|}\operatorname {\phi } (0)=\int _{-\infty }^{+\infty }{1 \over |a|}\delta (t)\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t$

Il primo passaggio è lecito se si considerano separatamente $a>0$ e $a<0$, e trovando che il risultato è definito a meno del segno $-$.

Segue come caso particolare la prossima proprietà:

Parità

Vista come una funzione, delta è pari in quanto

$\operatorname {\delta } (t)=\operatorname {\delta } (-t)$

Composizione con una funzione

Se f è una funzione derivabile e x_i sono gli zeri della funzione, allora:

$\delta (f(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|f'(x_{i})|}}$

Prodotto per una funzione

Data una funzione $\operatorname {\alpha } (t)$ di classe $C^{\infty }$, si ha

$\operatorname {\alpha } (t)\operatorname {\delta } (t-t_{0})=\operatorname {\alpha } (t_{0})\operatorname {\delta } (t-t_{0})$

Diamone la dimostrazione

$\int _{-\infty }^{+\infty }(\alpha (t)\delta (t-t_{0}))\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_{0})(\alpha (t)\operatorname {\phi } (t))\operatorname {d} t=$

$\operatorname {\alpha } (t_{0})\operatorname {\phi } (t_{0})=\int _{-\infty }^{+\infty }(\alpha (t_{0})\delta (t-t_{0}))\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t$

Derivata del gradino

La funzione delta è la derivata della funzione gradino $\operatorname {u} (t)$ (a volte indicata, con abuso di notazione, $\operatorname {1} (t)$). Tale funzione viene anche chiamata funzione di Heaviside e in questo caso viene indicata con il simbolo $\operatorname {H} (x)$. Il valore della funzione gradino è 0 per x<0 e 1 per x>0.

Diamone la dimostrazione eseguendo una integrazione per parti, e applicando quindi le proprietà degli integrali e del gradino

$\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {u} '(t)\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t=\operatorname {-} \int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {u} (t)\operatorname {\phi } '(t)\operatorname {d} t=\operatorname {-} \int _{0}^{+\infty }\operatorname {\phi } '(t)\operatorname {d} t=\operatorname {-} [\operatorname {\phi } (t)]_{0}^{\infty }=\operatorname {\phi } (0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {\delta } (t)\operatorname {\phi } (t)\operatorname {d} t$

La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

Tale definizione è il punto di partenza per calcolare la derivata distribuzionale di una funzione, ossia la sua derivata nel senso delle distribuzioni. Tale calcolo si effettua addizionando alla derivata ordinaria della funzione gli impulsi concentrati nei punti di discontinuità della funzione, con area pari al salto della funzione nei punti stessi. Tale approccio è fondamentale nello studio dei segnali.

Possiamo effettuare la dimostrazione inversa, ossia dimostrare che $\operatorname {u} (t)$ è primitiva di $\operatorname {\delta } (t)$ osservando che

$\int _{a}^{b}\operatorname {\delta } (t)dt=\left\{{\begin{matrix}1,\,{\mbox{se }}a<0<b\\0,\,{\mbox{se }}0\notin [a,b]\end{matrix}}\right.$

Dalle proprietà dell'integrale di Riemann sappiamo che

$\int _{a}^{b}\operatorname {f} '(t)=[\operatorname {f} (t)]_{a}^{b}=\operatorname {f} (b)-\operatorname {f} (a)$

L'unica funzione che soddisfa tale vincolo è il gradino.

Convoluzione

Il prodotto di convoluzione di una funzione per la delta è uguale a

$\operatorname {x} (t)*\operatorname {\delta } (t)=\operatorname {x} (t)$

$\operatorname {x} (t)*\operatorname {\delta } (t-t_{0})=\operatorname {x} (t-t_{0})$

Derivate distribuzionali della delta

La derivata distribuzionale della delta è la distribuzione δ′ definita a partire da una funzione di test φ liscia e a supporto compatto:

$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$

In modo equivalente:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx.$

Infatti, integrando per parti:

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\delta (t)\phi (t)\mathrm {d} t=\left.\delta (t)\phi (t)\right|_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t)\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\phi (t)\mathrm {d} t$

ed il termine valutato si annulla grazie alla definizione della delta.
La derivata k-esima è la distribuzione definita in modo analogo:

$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$

La derivata prima della delta è il limite del rapporto incrementale:

$\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}$

e più precisamente si ha:

$\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$

dove τ_h è l'operatore di traslazione, definito su una funzione da τ_hφ(x) = φ(x+h) e su una distribuzione da:

$(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$

La derivata della delta soddisfa diverse proprietà, tra cui:

${\frac {d}{dx}}\delta (-x)=-{\frac {d}{dx}}\delta (x)$

$x\delta '(x)=-\delta (x)\$

Inoltre, la convoluzione di δ' una funzione f liscia e a supporto compatto è:

$\delta '*f=\delta *f'=f'\$

esplicitamente:

$(\delta '*f)(a)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta '(a-x)f(x)dx=f'(a)$

che segue direttamente dalle proprietà della derivata di una convoluzione nel senso delle distribuzioni.

La delta come limite di una successione

La funzione delta può essere considerata come il limite di alcune particolari successioni

${\operatorname {\delta } _{n}(x)}\to \operatorname {\delta } (x)$

ossia che la successione degli integrali tenda a $f(0)$

${\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {\delta } _{n}(x)\operatorname {f} (x)dx}\to \operatorname {f} (0)\$

per tutte le funzioni continue $f$. La successione ${\operatorname {\delta } _{n}}$ si dice allora successione di approssimanti della ${\operatorname {\delta } }$. È da tener presente che si tratta di convergenza debole nel senso della teoria delle distribuzioni, cioè valida in senso ordinario solo per la successione degli integrali. Di fatto molte delle successioni di approssimanti non sono convergenti in senso ordinario.
È possibile dare un criterio generale per le approssimanti della delta: una successione di funzioni ${\operatorname {\delta } _{n}}$ localmente integrabili reali convergono (in senso debole) alla delta, se

• $\forall \epsilon >0$, le successioni:

$\int _{-\infty }^{-a}\delta _{n}(x)dx\qquad \int _{a}^{\infty }\delta _{n}(x)dx$

convergono uniformemente a 0 $\forall a\in [\epsilon ,{+\infty }]$

• $\lim _{n\to \infty }\,\int _{-\infty }^{+\infty }\delta _{n}(x)dx=1$

• $|\int _{-\infty }^{a}\delta _{n}(x)dx|<K$

$\forall n\in \mathbb {N}$, dove K è un numero reale positivo indipendente da n.

La delta e la trasformata di Fourier

Rappresentazione di Fourier della delta

Ogni funzione appartenente ad $L^{1}(\mathbb {R} )$ può essere scritta come:

$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk\int _{-\infty }^{\infty }e^{-iky}f(y)\,dy$

Non è possibile scambiare l'ordine di integrazione, tuttavia è possibile scrivere:

$f(x)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-N}^{N}e^{ikx}dk\int _{-\infty }^{\infty }e^{-iky}f(y)\,dy$

Il primo termine dell'integrale equivale alla successione:

$\operatorname {\delta } _{n}(t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\sin Nt}{t}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-N}^{N}e^{ikt}dk$

Si nota che tale successione gode delle proprietà:

$\lim _{N\to {\pm \infty }}\operatorname {\delta } _{n}(t)=0\qquad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {\delta } _{n}(t)dt=1$

che sono le proprietà richieste alla delta di Dirac.
Inserendo tale rappresentazione nella precedente scrittura, e sapendo che il teorema di Fubini Tonelli permette di scambiare l'ordine di integrazione, si ottiene infatti:

$f(x)=\lim _{N\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {\delta } _{n}(y-x)f(y)dy$

Ovvero la delta di Dirac è definita come il limite della successione:

$\delta (t)=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{\pi }}{\frac {\sin Nt}{t}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-N}^{N}e^{ikt}dk$

e dunque la rappresentazione di Fourier della delta è:

$\delta (t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikt}dk$

La trasformata della delta

La rappresentazione di Fourier rende evidente che la delta è l'antitrasformata della funzione costante $f(x)=1$:

$\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ixk}\,dk=\delta (x)$

e dunque:

${\hat {\delta }}(k)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ixk}\delta (x)\,dx=1.$

La dimostrazione si può ottenere anche a partire dalla definizione di trasformata di Fourier delle distribuzioni:

$({\mathfrak {F}}[\delta ],\phi )=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mathfrak {F}}[\operatorname {\delta } ](\omega )\operatorname {\phi } (\omega )d\omega =\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {\delta } (\omega ){\mathfrak {F}}[\operatorname {\phi } ](\omega )d\omega ={\mathfrak {F}}[\operatorname {\phi } ](0)=$

$=\left[\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {\phi } (t)e^{-j\omega t}dt\right]_{\omega =0}=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {\phi } (t)dt=(1,\phi )$

e la trasformata ${\hat {\delta }}$ della delta è definita come l'unica distribuzione temperata tale che:

$\langle {\hat {\delta }},\phi \rangle =\langle \delta ,{\hat {\phi }}\rangle$

per ogni funzione di Schwartz φ.
Segue inoltre che la delta fornisce la condizione di ortogonalizzazzione delle autofunzioni degli operatori di derivazione e integrazione, che costituiscono il nucleo della trasformata integrale di Fourier su R:

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).$

Tramite prolungamento analitico è anche possibile definire la trasformata di Laplace della delta nel seguente modo:

$\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.$

Significato fisico

La funzione delta può essere pensata come la densità di un punto. Consideriamo, ad esempio, un corpo con massa M finita, esteso in una certa regione V dello spazio tridimensionale. Possiamo associare ad ogni punto x dello spazio una quantità f(x) che rappresenti la densità del corpo. La funzione f sarà nulla al di fuori della regione V e, all'interno, assumerà valori tali che l'integrale

$\int _{V}f(x)\operatorname {d} x$

converga ad M. Essendo f(x) = 0 al di fuori di V l'integrale può essere esteso a tutto lo spazio e si può quindi scrivere:

$\int f(x)\operatorname {d} x=M$

Ora, se immaginiamo di restringere la regione V senza variare la massa del corpo, la densità di questo dovrà conseguentemente aumentare e tenderà all'infinito al tendere di V al singolo punto: vogliamo, quindi, trovare un'espressione come densità limite per la densità del corpo puntiforme.

Per semplicità consideriamo un corpo con densità costante e a una regione V sferica con raggio R; il volume di V sarà

${\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

e la corrispondente densità

$f_{R}(x)={\frac {M}{V}}={\frac {3M}{4\pi R^{3}}}$

e in questo modo

$\int f_{R}(x)dx=M,\forall R$

Se si considera il limite

$f(x)=\lim _{R\to 0}f_{R}(x)$

avverrà che $f(x)=$∞ per $x=0$, $f(x)=0$ per x≠0, da cui

$\int f(x)\operatorname {d} x=0$

e questo vuol dire che f(x) non è assimilabile alla densità di un punto di massa M.

Consideriamo allora un diverso tipo di limite per le densità f_R: il cosiddetto limite debole. Con pochi calcoli si nota che per ogni funzione continua h

$\lim _{R\to 0}\int f_{R}(x)h(x)\operatorname {d} x=Mh(0)$.

Questa formula mostra che il limite debole della successione f_R, è il funzionale che associa alla funzione h il valore M h(0), questo limite, che indichiamo simbolicamente M δ(x), è la densità cercata; infatti, posto h(x)=1, abbiamo

$\int M\delta (x)\operatorname {d} x=\lim _{R\to 0}\int f_{R}(x)\operatorname {d} x=M$

dove il primo integrale è un'espressione simbolica con cui si sottointende il passaggio al limite.

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Collegamenti esterni

• The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
• Video Lectures - Lecture 23, a lecture by Arthur Mattuck.
• Dirac Delta Function on PlanetMath
• The Dirac delta measure is a hyperfunction
• We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
• Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure.

Voci correlate

• Delta di Kronecker
• Distribuzione (matematica)
• Trasformata di Fourier