Scambio di materia

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Lo scambio di materia (o trasferimento di materia o ancora trasferimento di massa) è un fenomeno chimico-fisico che consiste nel trasferimento di frazioni di materia di una specie chimica da una fase ad un'altra.

Dal momento che si presta a semplificare il calcolo del contributo dei fenomeni di diffusione molecolare nelle applicazioni pratiche, esso costituisce uno dei più rilevanti principi dell'ingegneria chimica classica. Inoltre, consistendo in un meccanismo di trasporto di una grandezza (in questo caso la materia) a livello molecolare costituisce uno dei tre fenomeni di trasporto.

Espressione dello scambio di materia[modifica | modifica wikitesto]

Lo scambio di materia può avvenire in fase omogenea (ad esempio gas in gas) o eterogenea (ad esempio gas in solido). Il fenomeno discende dalla legge di Fick, la quale afferma che, in presenza di un gradiente di concentrazione, il flusso diffusivo della specie tende a riequilibrare la sua concentrazione nello spazio e nel tempo. Nel caso di un sistema binario, le due specie pure messe a contatto tendono a diffondere l'una nella porzione di spazio occupata dall'altra in modo da rendere omogenea la propria concentrazione nel sistema. In termini matematici si ha:

J=- D \nabla C = -D \cdot \left( {\partial C \over \partial x} + {\partial C \over \partial y} + {\partial C \over \partial z} \right)

in cui:

Lo scambio di materia è soggetto di numerose applicazioni ingegneristiche, in particolare nell'ambito dell'ingegneria chimica, dell'ingegneria ambientale e dell'ingegneria biomedica. È alla base, ad esempio, dei meccanismi di assorbimento e adsorbimento, per la filtrazione di miscele gassose o liquide costituite da frazioni inquinanti: queste trovano applicazione nelle colonne a piatti o nelle colonne a riempimento, oppure costituiscono da catalizzatori per certe reazioni chimiche. A questo fine l'applicazione del modello dato dalla legge di Fick (inquadrato all'interno di un bilancio di materia) risulta di non facile soluzione, pertanto si preferisce esprimere il bilancio di materia nella forma semplificata:

[flusso] = [conduttanza]·[forza motrice]

ovvero:

N_a = \psi \cdot (y_{a_1} - y_{a_2})

essendo:

  • \, N_a: flusso molare o ponderale di specie "a", [mol·m-2 s-1] o [kg·m-2 s-1]
  • \, y_{a_i}: frazione molare o ponderale della specie "a" nel punto i-esimo, adimensionale[1]
  • \, \psi: coefficiente di scambio di materia, [mol·m-2 s-1] o [kg·m-2 s-1].

Il coefficiente di scambio di materia è un coefficiente ingegneristico determinabile, come è descritto nella sezione seguente, anche analiticamente, ma la cui complessità di ricerca dei dati rende preferibile il calcolo per via empirica. La forza motrice, in accordo alla legge di Fick, rimane la differenza di concentrazione tra due punti del sistema: per particolari sistemi geometricamente simmetrici (soprattutto cilindrici), con opportune ipotesi esemplificative, si può assumere come concentrazione quella della specie ad una particolare altezza anziché in uno specifico punto (fatto che di per sé renderebbe impraticabile l'uso della formula).

Il coefficiente di scambio di materia \psi viene solitamente espresso in relazione a frazioni molari, e più spesso indicato con Ky. Valgono le seguenti relazioni:

 \psi = K_y = K_c \cdot C_{tot} = K_p \cdot P

Determinazione del coefficiente di scambio di materia[modifica | modifica wikitesto]

Via analitica[modifica | modifica wikitesto]

La determinazione per via analitica del coefficiente di scambio di materia viene generalmente proposta con un esempio applicativo.

Si consideri un contenitore aperto di sezione S e altezza h, in un sistema di riferimento di coordinate cartesiane, tale che fino a z = z1 sia presente una specie A in fase liquida, e tra z1 e z2 = h sia presente una miscela del componente A e del componente B in fase gas. Lo scopo dell'esempio è quantificare il flusso di A che passa attraverso l'interfaccia liquido-gas in fase gas e tracciare i profili di concentrazione di A tra z1 e z2.

Per semplicità, si assuma che le specie in fase gas si comportino come gas ideali e che la diffusione di B in A sia trascurabile (ovvero che il trasporto di materia avvenga in "condizioni stagnanti"), cioè mentre A passa tra l'estremità inferiore e superiore del contenitore, B si comporta da inerte. Inoltre si accetta come approssimazione che il gas A si muova con moto "a pistone" fino a z2, dove la sua concentrazione è nota, e qui venga trascinato via da una corrente gassosa. La temperatura e la pressione si assumono note e costanti. Per la risoluzione del problema si ricorre ad un bilancio di specie chimica in fase gas relativo alla specie A in un volume di riferimento (detto anche volume di controllo) infinitesimo alto dz e di sezione S:

Variazione = Trasporto + Sorgente

Esplicitando i vari termini, abbiamo:

{\partial C_a \over \partial t} = - \nabla C_a v - \nabla J + R_a

dove:

  • {\partial C_a \over \partial t} è la variazione della concentrazione di A nel tempo
  • - \nabla C_a v è il trasporto di materia (in particolare del componente A) per convezione
  • - \nabla J + R_a rappresenta la sorgente di A (ovvero la velocità di reazione).

Si assume che non vi sia consumo o produzione per reazione di A e che dopo un breve periodo di messa in regime (chiamato "periodo di transitorio"), il processo sia stazionario, ovvero nel volume di riferimento la concentrazione di A non varia col tempo. Passando ad un modello a gradiente massimo, ovvero passando allo studio lungo l'unica coordinata controllante del processo, cioè z, segue che:

- {\partial C_a v \over \partial z} - {\partial J \over \partial z} = - {\partial N_a \over \partial z} = 0

dove con Na si indica complessivamente il flusso di specie A nel volume di riferimento. Da quanto scritto si evince che il flusso è invariante lungo z. Ricordando l'espressione della leggi di Fick e che la specie A si muove a pistone (ovvero la velocità non dipende dalla posizione assiale) si verifica che:


\left\{\begin{align} &- \left( {\partial N_a \over \partial z} \right) = - v C_{tot} \left( {\partial y_A \over \partial z} \right) - D C_{tot} \left( {\partial^2 y_A \over \partial^2 z} \right) = 0
\\
\\ &(z = z_1)\quad y_A = y_{A_1}
\\ &(z = z_2)\quad y_A = y_{A_2}
\end{align}\right.


\frac {1-y_A}{1-y_{A_1}} = \left( {\frac {1-y_{A_2}}{1-y_{A_1}}}\right) ^\left( {\frac {z - z_1}{z_2 - z_1}} \right) = \frac {y_B}{y_{B_1}} = \left( {\frac {y_{B_2}}{y_{B_1}}}\right) ^\left( {\frac {z - z_1}{z_2 - z_1}} \right)

da cui si deducono i profili della concentrazione di A lungo z (che non sono rettilinei, perché tengono conto del contributo di convezione).

Il coefficiente di scambio di materia può anche essere calcolato a partire dalle seguenti teorie:[2]

Via empirica[modifica | modifica wikitesto]

Attraverso la teoria della similitudine estesa con l'ausilio dell'analisi dimensionale si può dimostrare che il fenomeno dello scambio di materia è completamente descritto nel caso di convenzione forzata in tubi lisci orizzontali da una legge di potenza tra i seguenti gruppi adimensionali: numero di Reynolds, numero di Schmidt e numero di Sherwood. La relazione che li lega è stata determinata sperimentalmente:

\mathit{Sh} = 0,023 \mathit{Re}^{0,8} \mathit{Sc}^{0,33} \; in regime turbolento (Re > 2100)

da cui segue che il coefficiente di scambio di materia vale:

K_c = \frac{Sh \mathcal{D}}{l}

con \; \mathcal{D} diffusività di materia e \; l lunghezza caratteristica (diametro per i tubi).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ la frazione molare o ponderale \, y_{a_i} è pari al rapporto tra le moli della specie "a" e le moli totali
  2. ^ Teorie per il calcolo dei coefficienti di trasporto di materia

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Robert Byron, Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena, 2ª ed., New York, Wiley, 2005, ISBN 0-470-11539-4.
  • (EN) Frank P. Incropera, David P. DeWitt; Theodore L. Bergman; Adrienne S. Lavine, Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6ª ed., Wiley, 2006, ISBN 0-471-45728-0.

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