Funzione sigma

I primi 250 valori della funzione σ

La funzione $\sigma\left(n\right)$ è una funzione aritmetica, definita come la somma di tutti i divisori positivi di un numero naturale n:

$\sigma\left(n\right)=\sum_{d|n}d$

La funzione sigma generalizzata è invece definita come la somma delle $\alpha$-esime potenze dei divisori di n:

$\sigma_\alpha\left(n\right)=\sum_{d|n}d^\alpha$

Valori della funzione

Il valore di $\sigma(n)$ è sempre maggiore del numero n stesso, perché ogni numero è un divisore di se stesso. Si ha $\sigma(n)=n+1$ se e solo se n è un numero primo. Se invece n è composto, vale la disuguaglianza più forte $\sigma(n)>n+\sqrt{n}$.

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
σ(n)	1	3	4	7	6	12	8	15	13	18
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
σ(n)	12	28	14	24	24	31	18	39	20	42

Proprietà

La funzione sigma è una funzione moltiplicativa, ma non completamente moltiplicativa; da questo si può ricavare una formula compatta per il calcolo di questa funzione. Sia $n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_k^{q_k}$.

$\sigma(p_i^{q_i})=1+p_i+p_i^2+p_i^3+\cdots+p_i^{q_i}=\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}$

essendo una serie geometrica, e quindi

$\sigma(n)=\frac{p_1^{q_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{q_2+1}-1}{p_2-1}\cdots\frac{p_k^{q_k+1}-1}{p_k-1}=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}$

Soddisfa l'identità

$\sigma_\alpha\left(n\right)=\prod_{p^m|n}\frac{p^{\alpha\left(m+1\right)}-1}{p^\alpha-1}$

Altre due notevoli identità che riguardano la funzione sigma sono

$-\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1-x^n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{-1}\left(n\right)x^n$

e

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_\alpha\left(n\right)}{n^s}=\zeta\left(s\right)\zeta\left(s-\alpha\right)$

dove $\zeta\left(s\right)$ è la funzione zeta di Riemann.

La funzione $\sigma_0(n)$ è anche nota come funzione tau.

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