Triangolo isoscele

Triangolo isoscele

In geometria, si definisce triangolo isoscele un triangolo che possiede due lati congruenti.

Vale il seguente teorema: "Un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti". Questo teorema costituisce la quinta proposizione del Libro I degli Elementi di Euclide ed è noto come pons asinorum.

In un triangolo isoscele la bisettrice relativa all'angolo al vertice coincide con la mediana, l'altezza e l'asse relativi alla base.

Particolari triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli rettangoli isosceli. Esistono anche triangoli isosceli acutangoli e ottusangoli.

I triangoli isosceli rettangoli sono tutti simili tra di loro, come i triangoli equilateri.

Simmetrie

Un triangolo isoscele che non sia equilatero è invariante solo per la riflessione rispetto alla bisettrice dell'angolo diverso dai due rimanenti. Il suo gruppo di simmetria, oltre alla trasformazione identità, comprende solo questa riflessione e quindi è isomorfo al gruppo di due elementi, ovvero al gruppo moltiplicativo sull'insieme $\{1,-1\}$.

Triangoli isosceli in geometria analitica

Teorema 1: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela agli assi sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare opposto.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y=k$
2. $y=mx$
3. $y=-mx$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {k}{m}}\\&y=k\end{array}}\right.$

$A\left({\frac {k}{m}},k\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=k\\&y=-mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x=-{\frac {k}{m}}\\&y=k\end{array}}\right.$

$B\left(-{\frac {k}{m}},k\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=mx\\&y=-mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.$

${\rm {C}}(0,0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti $AC$ e $BC$.

$AC={\sqrt {\left({\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}$

$BC={\sqrt {\left(-{\frac {k}{m}}\right)^{2}+k^{2}}}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base $AB$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse $y$.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela all'asse delle ascisse.

Dati i due punti:

1. ${\rm {A}}(x_{1},k)$
2. ${\rm {B}}(x_{2},k)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},k\right)$

Quindi troviamo $C$, che avrà la stessa ascissa di $M$ e diversa ordinata.

$C\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},h\right)$

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC={\sqrt {\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}$

$BC={\sqrt {\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}\right)^{2}+(k-h)^{2}}}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$mAC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{2}-x_{1}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{2}-x_{1}}}$

$mBC=(h-k)\cdot \left({\frac {2}{x_{1}-x_{2}}}\right)={\frac {2(h-k)}{x_{1}-x_{2}}}$

Teorema 2: Condizione necessaria e sufficiente affinché un triangolo con la base parallela alla bisettrice di due quadranti sia isoscele è che abbia i due lati di coefficiente angolare inverso.

Dimostrazione.

Date le tre rette

1. $y=x+q$
2. $y=mx$
3. $y={\frac {1}{m}}x$

ne calcoliamo l'intersezione.

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y=mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x(m-1)=q\\&y=mx\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {q}{m-1}}\\&y={\frac {mq}{m-1}}\end{array}}\right.$

$A\left({\frac {q}{m-1}},{\frac {mq}{m-1}}\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y=x+q\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x(1-m)=mq\\&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x={\frac {mq}{1-m}}\\&y={\frac {q}{1-m}}\end{array}}\right.$

$B\left({\frac {mq}{1-m}},{\frac {q}{1-m}}\right)$

$\left\{{\begin{array}{rl}&y={\frac {1}{m}}x\end{array}}\right.$

$\left\{{\begin{array}{rl}&x=0\\&y=0\end{array}}\right.$

${\rm {C}}(0,0)$

Ora calcoliamo la distanza dei segmenti $AC$ e $BC$.

$AC={\sqrt {\left({\frac {q}{m-1}}\right)^{2}+\left({\frac {mq}{m-1}}\right)^{2}}}$

$BC={\sqrt {\left({\frac {mq}{1-m}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{1-m}}\right)^{2}}}$

Quindi il triangolo è isoscele sulla base $AB$. In modo analogo si dimostra il caso della base parallela all'asse $y$.

Viceversa costruiamo un triangolo isoscele con la base parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante (lo stesso vale per quella parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).

Dati i due punti:

1. ${\rm {A}}(0,q)$
2. ${\rm {B}}(-q,0)$

poiché il vertice di un triangolo isoscele giace sulla stessa retta del punto medio della base, prima troviamo $M$ e poi $C$.

$M\left(-{\frac {q}{2}},{\frac {q}{2}}\right)$

Quindi troviamo $C$, che si trova sulla retta di equazione $y=-x$ perpendicolare alla base e passante per $M$.

$C(h,-h)$

dove $h$ è un numero reale arbitrario diverso da $0$.

Verifichiamo che il triangolo è isoscele:

$AC={\sqrt {h^{2}+(q+h)^{2}}}$

$BC={\sqrt {(-q-h)^{2}+h^{2}}}$

Ora calcoliamo il coefficiente angolare dei due lati:

$mAC={\frac {-h-q}{h}}=-{\frac {h+q}{h}}$

$mBC={\frac {-h}{h+q}}=-{\frac {h}{h+q}}$

Voci correlate

• Triangolo
• Triangolo equilatero
• Triangolo aureo
• Triangolo scaleno
• Teorema diretto dei triangoli isosceli

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Collegamenti esterni

• triangolo isoscele, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Triangolo isoscele, su MathWorld, Wolfram Research.