Trapezio

Trapezio

In geometria un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli.

Caratteristiche

Trapezio

Facendo riferimento alla figura a fianco del teorema, i due lati paralleli $a$ e $c$ sono detti basi del trapezio, rispettivamente "base maggiore" e "base minore", mentre gli altri due lati $b$ e $d$ sono detti lati obliqui del trapezio.

La distanza $h$ fra i due lati paralleli, lunghezza di ogni segmento ortogonale che collega le basi o i loro prolungamenti, fornisce l'altezza del trapezio.

Nel caso particolare in cui anche i due lati obliqui siano paralleli si ha un parallelogramma. Se poi ha pure gli angoli retti si ha un rettangolo; se invece ha tutti i lati lunghi uguali si ha il rombo; se ha entrambe queste caratteristiche si ha il quadrato. Tutte queste figure sono trapezi, poiché hanno una coppia di lati paralleli.

Triangolo circoscritto al trapezio

Se i lati obliqui non sono paralleli, essi possono essere prolungati fino ad incontrarsi in un punto, in modo da formare un triangolo che contiene il trapezio: questo è il più piccolo triangolo circoscritto al trapezio che contiene il trapezio stesso ed è unico.

Proprietà

1. Un quadrilatero è un trapezio se e solo se i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono supplementari, tali cioè che la somma delle loro ampiezze equivalga a 180°. In questo caso anche i due angoli rimanenti sono supplementari. Tradotto in formule:

   $\alpha$ + $\delta$ = 180°

   $\beta$ + $\gamma$ = 180°

2. Consideriamo il quadrilatero $ABCD$ e denotiamo con $AB$ e $DC$ i suoi lati paralleli; denotiamo inoltre con $M$ il punto in cui si intersecano le due diagonali $AC$ e $DB$. Tale quadrilatero è un trapezio se e solo se

   ${\overline {AM}}:{\overline {CM}}={\overline {BM}}:{\overline {DM}},$

   o equivalentemente se e solo se i triangoli $ABM$ e $CDM$ sono simili.

Area del trapezio

Spiegazione della formula dell'area

L'area $A$ del trapezio si può calcolare facendo la somma delle basi per l'altezza il tutto diviso due.

$A={\frac {h\cdot (B+b)}{2}}$

Tale formula può essere spiegata se si fa riferimento alla figura a fianco: se al trapezio originario si affianca un altro trapezio ad esso congruente ottenuto tramite una rotazione di un angolo piatto, si nota che la figura così ottenuta è un parallelogramma la cui area è data dal prodotto della somma delle basi per l'altezza. Poiché essa è il doppio di quella voluta, ossia di quella del trapezio, ne va presa la metà.

Classificazione dei trapezi

Trapezio rettangolo

Si definisce trapezio rettangolo un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad un lato obliquo sono angoli congruenti e quindi retti, poiché sono supplementari. Un trapezio, dunque, è rettangolo se e solo se ha un lato obliquo perpendicolare alle basi.

Trapezio isoscele

Si definisce trapezio isoscele un trapezio nel quale i due angoli adiacenti ad una base siano congruenti. Di conseguenza i lati obliqui sono anch'essi congruenti.

Trapezio ottusangolo

Si definisce trapezio ottusangolo un trapezio che presenta un angolo ottuso adiacente alla base di lunghezza maggiore. Un trapezio è ottusangolo se e solo se il corrispondente triangolo circoscritto è un triangolo ottusangolo. Un trapezio ottusangolo non può essere isoscele ma può essere scaleno.

Trapezio scaleno

Si definisce trapezio scaleno un trapezio con i lati di diversa lunghezza e gli angoli di diversa ampiezza: può essere fatto derivare dall'intersezione di un rettangolo con un triangolo scaleno. Alcune fonti definiscono il trapezio scaleno richiedendo solamente che i lati obliqui siano diversi fra loro.

Trapezio e trapezoide

Talvolta viene impropriamente usato il termine trapezoide al posto di trapezio: tale uso improprio sembra derivare dal fatto che in negli Stati Uniti e in Canada il trapezio viene chiamato trapezoid (a differenza della Gran Bretagna dove viene chiamato trapezium).

Il termine appropriato è invece trapezio: infatti in italiano con "trapezoide" si intende, più genericamente, un semplice quadrilatero.

Con il termine trapezoide si intende anche un trapezio il cui lato obliquo è una curva; è utilizzato nelle funzioni.

Voci correlate

• Regola del trapezio
• Formule di Newton-Cotes

Altri progetti

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• Wikizionario
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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Trapezio, su MathWorld, Wolfram Research.