Funzione di ripartizione: differenze tra le versioni
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In [[statistica]] e [[teoria della probabilità]], la '''funzione di ripartizione''' (o '''funzione cumulativa''') è una [[funzione di variabile reale]] che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione ''prima'' o ''dopo'' un certo punto. |
In [[statistica]] e [[teoria della probabilità]], la '''funzione di ripartizione''' (o '''funzione cumulativa''', '''funzione di probabilità cumulata''') è una [[funzione di variabile reale]] che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione ''prima'' o ''dopo'' un certo punto. |
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== Nel calcolo delle probabilità == |
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{{Vedi anche|Teoria della probabilità}} |
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Nel calcolo delle probabilità la '''funzione di ripartizione''' |
Nel calcolo delle probabilità la '''funzione di ripartizione''' di una [[variabile casuale]] <math>X</math> a valori [[Numero reale|reali]] è la funzione che associa a ciascun valore <math>x</math> la probabilità del seguente [[Evento (teoria della probabilità)|evento]]: "la variabile casuale <math>X</math> assume valori minori o uguali ad <math>x</math>". |
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In altre parole, è la funzione <math>F\colon \R \to [0,1]</math> con [[dominio (matematica)|dominio]] la retta reale e [[immagine (matematica)|immagine]] nell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[0,1]</math> definita da |
In altre parole, è la funzione <math>F\colon \R \to [0,1]</math> con [[dominio (matematica)|dominio]] la retta reale e [[immagine (matematica)|immagine]] nell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[0,1]</math> definita da |
Versione delle 12:44, 13 apr 2024
In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa, funzione di probabilità cumulata) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.
Nel calcolo delle probabilità
Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione di una variabile casuale a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore la probabilità del seguente evento: "la variabile casuale assume valori minori o uguali ad ".
In altre parole, è la funzione con dominio la retta reale e immagine nell'intervallo definita da
Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e
Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se è una variabile casuale discreta e un punto del suo supporto, allora è una funzione a gradino e dunque
(ponendo senza restrizioni di generalità ) poiché è una costante indipendente da , mentre
dunque essendo si ha che non è continua.
Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile associa la probabilità che cada in [1].
Proprietà
Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione :
Se è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di può essere espressa come funzione integrale:
ove è detta funzione di densità di . Si può anche considerare la relazione inversa:
Se è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori )
dove è detta funzione di probabilità di .
Esempi
Se è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha
dove con si indica la parte intera di x.
Se è la variabile casuale uniforme continua in si ha
- .
Funzione di sopravvivenza
In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:
Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:
e
Ogni funzione di sopravvivenza è una funzione monotona decrescente, vale a dire per
Il tempo rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.
Variabili aleatorie multivariate
Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria a valori in è la funzione con dominio e codominio l'intervallo definita da
dove sono le componenti di .
Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:
- Per qualsiasi ,
- è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se ,
- se per semplicità,
- dove è la funzione di ripartizione della variabile -variata .
Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza
e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici .
In statistica descrittiva
In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.
La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore .
Se sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative la funzione di ripartizione ha espressione analitica
Le sono dette frequenze relative cumulate.
Note
- ^ J. Jacod; P. Protter, Pag. 41.
Bibliografia
- Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
- (EN) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8.
Voci correlate
- Distribuzione (statistica)
- Funzione càdlàg
- Funzione di densità di probabilità
- Funzione caratteristica (teoria della probabilità)
- Funzione di probabilità
- Integrale
- Percentile
- Quantile
- Statistica
- Teoria della probabilità
- Variabile casuale
- Histogram matching
Altri progetti
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione di ripartizione
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione di ripartizione, su MathWorld, Wolfram Research.
Controllo di autorità | GND (DE) 4192219-0 |
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