Funzione càdlàg

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Le funzioni di ripartizione sono un esempio di funzioni càdlàg

In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra) o più semplicemente (ma erroneamente) cadlag è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.

Le funzioni càdlàg sono importanti nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazio di Skorokhod[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio a valori nello spazio metrico viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con . Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo con finito e come codominio lo spazio euclideo reale.

Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni , sia

l'oscillazione di su ; per , definiamo allora il modulo càdlàg come

dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni dell'intervallo con mesh minore di . Si può provare che è càdlàg se e solo se quando .

Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come

,

dove è l'identità di , è la norma uniforme e varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su . Si dimostra che effettivamente è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.

Intuitivamente, il termine misura la "distorsione nel tempo" e il termine la "distorsione nello spazio".

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio contiene lo spazio delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.

La metrica non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche ) rende inoltre uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.

Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

con la seconda valida per ogni .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Questo vale se, come largamente in uso, si definisce una funzione di ripartizione mediante la formula . La proprietà cade se si definisce , in quanto essa risulta essere una funzione continua a sinistra e con limite finito a destra.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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