Funzione càdlàg

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Le funzioni di ripartizione sono un esempio di funzioni càdlàg

In matematica, una funzione càdlàg (acronimo dal francese continue à droite, limitée à gauche, che significa continua a destra, limitata a sinistra) o più semplicemente (ma erroneamente) cadlag è una funzione di variabile reale che sia in ogni punto continua da destra e possegga limite sinistro finito.

Le funzioni càdlàg sono importanti nello studio dei processi stocastici che ammettono traiettorie con discontinuità di prima specie.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Spazio di Skorokhod[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio di tutte le funzioni càdlàg su un certo dominio E a valori nello spazio metrico M viene detto spazio di Skorokhod. Esso si denota con D(E;M). Tale spazio può essere munito di una topologia. Per semplicità, consideriamo come dominio l'intervallo [0,T] con T finito e come codominio lo spazio euclideo reale.

Dobbiamo prima definire un analogo del modulo di continuità. Per ogni F \subseteq E, sia

w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |

l'oscillazione di f su F; per \delta > 0, definiamo allora il modulo càdlàg come

\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),

dove l'estremo inferiore è fatto su tutte le partizioni \Pi dell'intervallo E con mesh minore di \delta. Si può provare che f è càdlàg se e solo se \varpi'_{f} (\delta) \to 0 quando \delta \to 0.

Definiamo dunque la distanza di Skorokhod come

\sigma (f, g) := \inf_\lambda \max \{ \| \lambda - id_E \|_\infty, \| f - g \circ \lambda \|_\infty \},

dove id_E è l'identità di E, \|\cdot\|_\infty è la norma uniforme e \lambda varia sull'insieme di tutte le biiezioni continue strettamente monotone su E. Si dimostra che effettivamente \sigma è una metrica. La topologia indotta è detta topologia di Skorokhod.

Intuitivamente, il termine \|\lambda-id_E\|_\infty misura la "distorsione nel tempo" e il termine \|f-g\circ\lambda\|_\infty la "distorsione nello spazio".

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Lo spazio D(E;M) contiene lo spazio C(E;M) delle funzioni continue. Su tale sottospazio la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.

La metrica \sigma non rende lo spazio di Skorokhod completo; tuttavia esiste una metrica equivalente a \sigma per cui ciò è vero. Tale metrica (e dunque anche \sigma) rende inoltre D(E;M) uno spazio separabile e quindi uno spazio polacco.

Come applicazione del teorema di Ascoli, si può mostrare che una successione di misure di probabilità su D è tight se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:

  • \lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \| f \| \geq a \} = 0,
  • \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} = 0

con la seconda valida per ogni \varepsilon > 0.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Questo vale se, come largamente in uso, si definisce una funzione di ripartizione mediante la formula F(x)=P(x\leq x). La proprietà cade se si definisce F(x)=P(X<x), in quanto essa risulta essere una funzione continua a sinistra e con limite finito a destra.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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