Linea di trasmissione

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In elettronica ed elettrotecnica la linea di trasmissione è il componente elettronico per trasportare segnali (elettronica) ed energia (elettrotecnica) su grandi distanze; nel caso di trasmissione di energia elettrica, le linee sono operate in alta tensione.

Modello generale di linea di trasmissione

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

Nel modello più generale una linea di trasmissione può essere schematizzata come due conduttori paralleli che connettono un generatore V(x,t) ed un carico. In figura è mostrato un modello generale della linea di trasmissione: essa è un tipico elemento a costanti distribuite, perciò si considerano tutti gli elementi per unità di lunghezza, cioè considereremo la lunghezza tra i punti A,A' e i punti B,B' una lunghezza dx. Come si vede dalla figura bisogna tenere in considerazione diversi elementi: intanto i due conduttori paralleli hanno una loro resistenza R_A ed R_B ed una loro induttanza L_A ed L_B che sono responsabili di cadute di potenziale sulla linea. Poi bisogna tenere presente della conduttanza G e della capacità C tra i due conduttori. Tutti questi elementi, normalmente, sono forniti per unità di lunghezza, cioè ad esempio:

R^T_A = R_{A} dx

dove R^T_{A} è la resistenza totale nel tratto  dx .

La linea di trasmissione rappresenta un valido modello teorico di propagazione del segnale elettrico a cui possono essere ricondotte anche alcune strutture di guida d'onda come il cavo coassiale.

Cadute di tensione e di corrente[modifica | modifica wikitesto]

Nel modello della linea di trasmissione vi sono cadute di tensione tra A,A' e tra B,B', dovute alle resistenze ed alle induttanze, che sono quantificabili sempre nel tratto x, x+dx come:

dV_A = V_{A'} (x+dx,t) - V_A (x,t) = - R^T_{A} \cdot I(x,t) - L^T_A \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}
dV_B = V_{B'} (x+dx,t) - V_B (x,t) = R^T_{B} \cdot I(x,t) + L^T_B \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}

per cui la variazione di tensione nel tratto x,x+dx è:

V(x+dx)-V(x) = \left[V_{A'}(x+dx,t)-V_{B'}(x+dx,t) \right] - \left[V_A(x,t) - V_B (x,t) \right]= dV_A-dV_B =

 -(R^T_A+R^T_B)I(x,t) - (L^T_A + L^T_B) \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} =

=-(R_{A}+R_{B})dx \cdot I(x,t) - (L_{A} + L_{B})dx \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t} = - R dx \cdot I(x,t) - L dx \cdot \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}

dove  R = R_{A} + R_{B} ed  L = L_{A} + L_{B} . In definitiva, differenziando (in dx):

\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = - R I(x,t) - L \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}

si nota che la variazione della tensione dovuta al termine resistivo è lineare e decrescente, mentre la variazione della tensione per il termine induttivo dipende dal segno della derivata della corrente, quindi può essere decrescente o crescente.

Per quanto riguarda le perdite di corrente vediamo che sono attribuibili alla presenza di una conduzione (G, conduttanza elettrica è l'inverso della resistenza elettrica) e di una capacità (C) tra i due conduttori della linea. Nel tratto  x,x+dx :

 \ dI_{(G)}(x,t) = - G^T V (x,t)
 \ dI_{(C)} (x,t) = - C^T \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}

per cui la variazione di corrente dipende dal segno di  V(x,t) come si vede in figura:  V_A > V_B quindi la corrente fluisce da  A verso  A' , viceversa fluisce una corrente opposta da  B' a  B . Dunque la perdita di corrente, differenziando, è:

\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = - G V(x,t) - C \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}

Le equazioni generali della linea di trasmissione sono:

(1)\frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = - R I(x,t) - L \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}
(2)\frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = - G V(x,t) - C \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}

dove, come detto, R, G, L, e C sono considerate per unità di lunghezza. Imponendo le opportune condizioni al contorno per queste due equazioni si hanno le soluzioni generali.

Linea non dissipativa[modifica | modifica wikitesto]

Il caso di linea non dissipativa implica che R = G = 0 e le equazioni (1) e (2) si riducono a:

(3) \frac{\partial V(x,t)}{\partial x} = - L \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}
(4) \frac{\partial I(x,t)}{\partial x} = - C \frac{\partial V(x,t)}{\partial t}

derivando la (3) rispetto a x e la (4) rispetto a t:

\frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} = - L \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t}
\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x \partial t} = - C \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2}

che uguagliando danno:

(5) \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} - L C \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial t^2} = 0

e analogamente derivando la (3) rispetto a t e la (4) rispetto a x:

(6) \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} - L C \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2} = 0

Le equazioni (5) e (6) sono due tipiche equazioni delle onde unidimensionali, le cui soluzioni sono onde che si propagano con velocità costante pari a:

(7) v = \frac{1}{\sqrt{LC}} .

In generale, per un'onda elettromagnetica all'interno di un mezzo non dissipativo, si ha che:

(8)v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}

che prende il nome di velocità di fase, \mu è la permeabilità magnetica e \varepsilon è la costante dielettrica del mezzo e quindi, confrontando la (7) e la (8):

(9) \ LC = \mu \varepsilon

La soluzione generale delle (5) e (6) è del tipo:

 \ V(x,t) = f(x-vt) + g(x + vt)
I(x,t) = \frac{1}{R_0} [f(x-vt) - g(x + vt)]

cioè in generale possono coesistere onde di tensione e di corrente sia progressive che regressive, è chiaro che la soluzione esplicita dipende dalla forma della tensione d'ingresso V(x,t). Si può ricavare l'espressione esplicita della costante R_0 per confronto delle due soluzioni:

(10)R_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}

che si chiama impedenza caratteristica della linea. Da notare che le soluzioni sono quelle senza dissipazione e quindi nell'approssimazione di linea di lunghezza infinita e i campi sono di tipo TEM (trasversi elettromagnetici).

Linea in regime sinusoidale dissipativa[modifica | modifica wikitesto]

Vediamo il caso notevole di generatore di onda sinusoidale. Per fare ciò trasformiamo le nostre equazioni (1) e (2) in modo da poter usare il metodo simbolico:

(11) \frac{\partial^2 V(x,t)}{\partial x^2} - \delta^2 V(x,t) = 0
(12) \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2} - \delta^2 I(x,t) = 0

dove

(13)  \delta = \sqrt{ Z Y} = \sqrt{(R + j \omega L)(G + j \omega C)} = \sqrt{LC} \sqrt{-\omega^2 + j \omega \left(\frac{R}{L} + \frac{G}{C}\right) + \frac{RG}{LC}}

è il parametro di propagazione, dove  Z = R + j \omega L ed  Y = G + j \omega C sono l'impedenza e l'ammettenza della linea, j è l'unità immaginaria e \omega è la frequenza angolare o pulsazione.

La soluzione generale di queste equazioni dei telegrafisti è:

 \ z(x) = c_1 e^{- \delta x} + c_2 e^{ \delta x}

per esempio per la tensione otteniamo:

 \ V(x) = a_1 e^{- \delta x} + a_2 e^{ \delta x} = a_1 e^{-\alpha x} e^{-j \beta x} + a_2 e^{\alpha x} e^{j \beta x}

dove

 \ \delta = \alpha + j \beta in modo che \alpha rappresenta la costante di attenuazione dell'onda e \beta è la phase-shift cioè la costante di fase. Esplicitando per ottenere la soluzione reale:
(14)  \ V(x,t) = a_1 e^{-\alpha x} \cos (\omega t - \beta x + \phi_1) + a_2 e^{\alpha x} \cos (\omega t + \beta x + \phi_2)

e analogamente:

(14') I(x,t) = \frac{a_1}{Z_0} e^{-\alpha x} \cos (\omega t - \beta x + \phi_1 - \varphi) - \frac{a_2}{Z_0} e^{\alpha x} \cos (\omega t + \beta x + \phi_2 - \varphi)

per l'onda di corrente, dove  Z_0 = \sqrt{\frac{Z}{Y}}, inoltre sussiste una fase \varphi dovuta alla presenza di Z_0. Dalla (14) si vede bene che coesistono due onde, una progressiva e una regressiva, la cui ampiezza si attenua esponenzialmente (per le dissipazioni) come \alpha (analogamente per l'onda di corrente). La velocità di propagazione è la velocità di fase:

(15) v = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{\beta}

con lunghezza d'onda:

\lambda = \frac{2 \pi}{\beta} = \frac{2 \pi v}{\omega} = \frac{v}{\nu} = {v}{T}

utilizzando le quali possiamo dare un'altra forma alla (14):

(16) V(x,t) = a_1 e^{-\alpha x} \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t - \frac{2 \pi}{\lambda} x + \phi_1 \right) + a_2 e^{\alpha x} \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t + \frac{2 \pi}{\lambda} x + \phi_2 \right)

Regime sinusoidale non dissipativo[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso non dissipativo, cioè qualora R = G = 0, l'espressione del parametro \delta si riduce a:

 \delta = j \omega \sqrt{LC}

infatti in tal caso \alpha = 0, quindi non vi è attenuazione e \beta = \omega \sqrt{LC}. La velocità di fase diventa:

v = \frac{1}{\sqrt{LC}}

La (16) diventa in questo caso:

V(x,t) = a_1 \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t - \frac{2 \pi}{\lambda} x + \phi_1 \right) + a_2 \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t + \frac{2 \pi}{\lambda} x + \phi_2 \right)

dove al solito \omega = \frac{2 \pi}{T}. Il parametro \tau_0 = \sqrt{LC} rappresenta il ritardo per unità di lunghezza della linea di trasmissione, che ci dice come le linee di trasmissione propaghino i segnali con ritardo, ma senza attenuazione del segnale.

Un caso particolare per l'onda di corrente (14') è quando si annulla la fase \varphi che è l'argomento del numero complesso

Z_0 = \sqrt{\frac{Z}{Y}} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}=\sqrt{\frac{(G - j\omega C)(R + j\omega L)}{G^2 + \omega^2 C^2}}=\sqrt{\frac{(RG + \omega^2 LC)+j\omega (GL - RC)}{G^2 + \omega^2 C^2}}

e vale

\varphi = \frac{1}{2} \arg\frac{(RG + \omega^2 LC)+j\omega (GL - RC)}{G^2 + \omega^2 C^2}= \frac{1}{2} \arg((RG + \omega^2 LC)+j\omega (GL - RC))= \frac{1}{2} \arctan \frac{\omega (G L - R C)}{RG + \omega^2 LC}

Ciò avviene per:

RC = GL

caso generale che affronteremo nel prossimo paragrafo, e in particolare avviene per:

R = G = 0

che corrisponde di nuovo alla condizione non dissipativa. In tal caso Z_0 si riduce ad essere reale:

R_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}

poiché

Z_0 = \sqrt{\frac{Z}{Y}} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}= \sqrt{\frac{j\omega L}{j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}

e l'onda di corrente si riduce a:

I(x,t) = \frac{a_1}{R_0} \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t - \frac{2 \pi}{\lambda} x + \phi_1 \right) - \frac{a_2}{R_0} \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t + \frac{2 \pi}{\lambda} x + \phi_2 \right)

Caso non distorcente[modifica | modifica wikitesto]

Dalla (13):

\delta = \sqrt{LC} \sqrt{-\omega^2 + j \omega \left(\frac{R}{L} + \frac{G}{C}\right) + \frac{RG}{LC}}

si vede che nel caso in cui è verificata la condizione:

(17) \frac{R}{L} = \frac{G}{C} \, \, \, \Leftrightarrow \, \, \, RC = GL

si ha:

\delta = \alpha + j \beta = \sqrt{LC} \left(\frac{R}{L} + j \omega \right)

con:

\alpha = R \sqrt{\frac{C}{L}}

e

\beta = \omega \sqrt{LC}

in tal caso \alpha non dipende più dalla frequenza, e \beta è linearmente crescente con la frequenza, mentre la velocità di propagazione non dipende dalla frequenza:

v = \frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

Tutto ciò ci dice che la condizione (17) è la condizione di non distorsione, cioè che il segnale che si propaga entro la linea può essere attenuato ma mantiene la stessa forma originaria.

Per quanto riguarda l'onda di corrente (14') la condizione di non distorsione è sempre:

RC = GL

ed anche in tal caso la fase \varphi si annulla

\varphi = \frac{1}{2} \arctan \frac{\omega (G L - R C)}{RG + \omega^2 LC} = 0

e Z_0 diviene un numero reale perché

Z_0 =\sqrt{\frac{(RG + \omega^2 LC)+j\omega (GL - RC)}{G^2 + \omega^2 C^2}} = \sqrt{\frac{RG + \omega^2 LC}{G^2 + \omega^2 C^2}}

(che, nel caso della linea di trasmissione non dissipativa, ossia R = G =0, dà nuovamente \sqrt{\frac{L}{C}}.)

Risposta della linea di trasmissione[modifica | modifica wikitesto]

Segnali impulsivi[modifica | modifica wikitesto]

Caratteristiche di alcune linee di trasmissione[modifica | modifica wikitesto]

Cavo coassiale[modifica | modifica wikitesto]

Il cavo coassiale è una linea costituita da un conduttore interno centrale e da un conduttore esterno che fa da schermo. Tra i due conduttori, disposti in modo da essere concentrici, è posto un dielettrico, cioè un materiale isolante. Indicando con r_1 il raggio del conduttore interno centrale, con r_2 il raggio interno del conduttore esterno che fa da schermo, con \varepsilon e \mu, rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del dielettrico posto tra i due, si ha:

C= \frac{2 \pi \varepsilon}{ \ln \frac{r_2}{r_1}}

L=\frac{\mu}{2\pi}\ln \frac{r_2}{r_1}

e supponendo valida l'ipotesi di linea non dissipativa:

v=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\approx\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_r\varepsilon_0\mu_0}}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}

R_0=\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\ln \frac{r_2}{r_1}\approx\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_r\varepsilon_0}}\ln \frac{r_2}{r_1}

dove \varepsilon_0 e \mu_0 sono la costante dielettrica e la permeabilità magnetica nel vuoto e \varepsilon_r e \mu_r (generalmente uguale ad 1) sono i valori di costante dielettrica relativa e permeabilità magnetica relativa nel dielettrico; c la velocità della luce nel vuoto. Come si può notare, la velocità di propagazione all'interno del cavo dipende, in sostanza, solo da \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_r}} e, poiché per i cavi solitamente in commercio \varepsilon_r \approx 2, si ha che v \approx 0.7 c.

Se nella precedente espressione di R_0 andiamo a scrivere \varepsilon come \varepsilon_r\varepsilon_0 e \mu come \mu_r\mu_0 in modo che compaia l'impedenza caratteristica del vuoto \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} pari, come è noto, a 377 ohm, allora l'impedenza caratteristica R_0 di un cavo coassiale, espressa in ohm, diventa:

R_0(ohm)=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_r\mu_0}{\varepsilon_r\varepsilon_0}}\ln \frac{r_2}{r_1}=\frac{1}{2\pi}377\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\ln \frac{r_2}{r_1}=\frac{377\ln 10}{2\pi}\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\frac{\ln \frac{r_2}{r_1}}{\ln 10}=138 \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\log_{10} \frac{r_2}{r_1}\approx 138 \sqrt{\frac{1}{\varepsilon_r}}\log_{10} \frac{r_2}{r_1}

Linea bifilare (doppino)[modifica | modifica wikitesto]

La linea bilifalare, o piattina bifilare, o doppino, è costituita da due fili paralleli, ciascuno di raggio r e posti a distanza d. Indicando con \varepsilon e \mu, rispettivamente, la costante dielettrica e la permeabilità magnetica del dielettrico, di solito l'aria, in cui i due fili sono immerisi, si ha:

C=\frac{\pi\varepsilon}{ln\frac{d}{r}}\approx\frac{\pi\varepsilon_0}{ln\frac{d}{r}}

L=\frac{\mu}{\pi}\ln\frac{d}{r}\approx\frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{d}{r}

e supponendo valida l'ipotesi di linea non dissipativa:

v=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\approx\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}=c

R_0=\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\ln \frac{d}{r}\approx\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\ln \frac{d}{r}

poiché per l'aria si ha \varepsilon\approx\varepsilon_0 ossia \varepsilon_r\approx 1 e \mu\approx\mu_0 ossia \mu_r\approx 1.

Da ciò, se andiamo a scrivere \varepsilon come \varepsilon_r\varepsilon_0 e \mu come \mu_r\mu_0 in modo che compaia l'impedenza caratteristica del vuoto, segue che l'impedenza caratteristica della linea bifilare, espressa in ohm, vale:

R_0(ohm)=\frac{1}{\pi}\sqrt{\frac{\mu_r\mu_0}{\varepsilon_r\varepsilon_0}}\ln \frac{d}{r}=\frac{1}{\pi}377\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\ln \frac{d}{r}=\frac{377\ln 10}{\pi}\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\frac{\ln \frac{d}{r}}{\ln 10}=276 \sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}\log_{10} \frac{d}{r}\approx 276 \log_{10} \frac{d}{r}

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