Carta di Smith

In ingegneria elettrica ed elettronica la carta di Smith è un nomogramma che risolve problemi delle linee di trasmissione o circuiti di adattamento nel campo della radiofrequenza (RF). L'uso della carta di Smith è costantemente cresciuto negli anni ed essa è ancora oggi largamente usata, non solo come aiuto nella risoluzione di alcuni problemi, ma anche per mostrare graficamente come alcuni parametri RF si modificano variando la frequenza. La carta di Smith relativa a una serie di dati numerici risulta infatti in molti campi di più immediata comprensione rispetto a una tabella contenente le stesse informazioni.

La carta di Smith può essere usata per rappresentare vari parametri del campo dell'elettronica e dell'elettrotecnica, tra i quali l'impedenza, l'ammettenza, il coefficiente di riflessione, i parametri di scattering $S_{nn}$ (detti anche parametri S), la figura di rumore, curve a guadagno costante e regioni di stabilità incondizionata.

Descrizione generale

Una carta di Smith (senza dati tracciati).

La carta di Smith viene tracciata sul piano complesso del coefficiente di riflessione, e i valori rappresentati sono tipicamente impedenze o ammettenze normalizzate, o in alcuni casi entrambi, che sono rappresentate con colori diversi per permette di distinguerle. Tali grafici sono spesso conosciuti rispettivamente come carte di Smith Z, Y o YZ. La normalizzazione permette di usare la carta di Smith per problemi che riguardano un qualunque valore di impedenza caratteristica o impedenza di sistema, benché tale valore sia in molti casi pari a $50 \Omega$. Con semplici costruzioni grafiche è possibile convertire ammettenze o impedenze normalizzate nel corrispondente coefficiente di riflessione.

La regione della carta di Smith più frequentemente usata è la regione interna o posta sulla circonferenza di raggio unitario, poiché per componenti passivi il modulo del coefficiente di riflessione è al più pari a uno. In ogni caso, la restante zona ha comunque una rilevanza matematica, essendo usata ad esempio nel progetto di oscillatori e nell'analisi della stabilità.

La carta di Smith possiede una scala angolare sia in gradi che in lunghezze d'onda. La scala delle lunghezze d'onda permette di risolvere problemi con componenti distribuiti, e rappresenta la distanza tra la sorgente o generatore e il carico misurata lungo la linea di trasmissione che li connette. La scala in gradi rappresenta invece la fase del coefficiente di riflessione complesso in tale punto. La carta di Smith può essere anche usata per l'adattamento o l'analisi di circuiti a parametri concentrati.

Poiché l'impedenza e l'ammettenza e tutti gli altri parametri elettrici variano con la frequenza, la soluzione che può venire trovata manualmente con la carta di Smith (rappresentata da un punto del piano) vale solo per una frequenza. In molti casi ciò è sufficiente, in quanto si tratta di applicazioni a banda stretta (tipicamente fino al 5-10% della banda), mentre per applicazioni su bande più larghe è necessario utilizzare più volte la carta di Smith. Se la distanza in frequenza tra i punti per i quali si effettua il calcolo è piccola, interpolando le soluzioni trovate si ottiene un luogo geometrico delle soluzioni.

Un luogo di punti che copre una certa banda di frequenza su una carta di Smith può essere usato per rappresentare:

• quanto un carico risulta capacitivo o induttivo;
• a quali frequenze risulta più facile adattare un certo carico;
• la qualità dell'adattamento di un certo carico.

L'accuratezza dei metodi che si basano sulla carta di Smith si riduce ovviamente se si studiano componenti che presentano una grande variabilità statistica dei parametri, benché sia comunque possibile ingrandire la scala del grafico in aree ristrette in modo da diminuire l'errore commesso.

Basi matematiche e fisiche

Un analizzatore di reti (HP 8720A) che mostra una carta di Smith.

Ammettenze ed impedenze reali e normalizzate

Una linea di trasmissione con un'impedenza caratteristica di $Z_0$ può essere sempre pensata caratterizzata da un'ammettenza caratteristica $Y_0$ pari a:

$Y_0 = \frac{1}{Z_0}$

Una qualunque impedenza $Z_T$ espressa in ohm, può essere normalizzata dividendola per l'impedenza caratteristica. Per le impedenze normalizzate viene usata la notazione minuscola $z$. La versione normalizzata di $Z_T$ risulta quindi:

$z_T = \frac{Z_T}{Z_0}$

Dualmente, per l'ammettenza normalizzata si ha:

$y_T = \frac{Y_T}{Y_0}$

Nel Sistema internazionale l'unità di misura per l'impedenza sono gli ohm, rappresentati dalla lettera greca omega (Ω) mentre per l'ammettenza vengono usati i siemens, rappresentati dalla lettera maiuscola S. I parametri normalizzati invece risultano adimensionali, come si può vedere dalla loro definizione. La normalizzazione delle ammettenze e impedenze è necessaria prima di utilizzare la carta di Smith. I risultati andranno poi correttamente denormalizzati moltiplicandoli per l'impedenza o l'ammettenza caratteristica per ottenere il valore reale.

Linee di trasmissione

Per approfondire, vedi Linea di trasmissione.

Secondo la teoria delle linee di trasmissione, se una linea di trasmissione viene terminata su un'impedenza $Z_T$ che differisce dall'impedenza caratteristica $Z_0$, si formerà un'onda stazionaria ottenuta dalla risultante dell'onda di tensione incidente $V_F$ e di quella riflessa $V_R$. Usando la rappresentazione esponenziale per i numeri complessi:

Modello circuitale generale di una linea di trasmissione.

$V_F = A \mathrm e^{j \omega t}\mathrm e^{-\gamma l}$ e

$V_R = B \mathrm e^{j \omega t}\mathrm e^{\gamma l}$

dove

$\mathrm e^{j \omega t}$ rappresenta la dipendenza temporale dell'onda ovvero la fase nel tempo,

$\mathrm e^{\pm \gamma l}$ rappresenta la dipendenza spaziale,

$\omega = 2 \pi f$ è la velocità angolare in radianti al secondo (rad/s), dove

$f$ è la frequenza in hertz (Hz),

$t$ è il tempo in secondi (s),

$A$ e $B$ sono costanti dipendenti dalle condizioni al contorno (cioè dalle terminazioni, sorgente e carico),

$l$ è la coordinata spaziale misurata lungo la linea di trasmissione in metri (m). Si noti che tale valore è normalmente negativo in quanto si fa coincidere lo zero dell'asse dello spazio con il carico, e quindi ogni punto della linea si trova a una coordinata negativa.

Inoltre

$\gamma = \alpha + j\beta$ è la costante di propagazione (si misura in 1/m),

con

$\alpha$ è la costante di attenuazione in neper per metro (Np/m),

$\beta$ è la costante di fase in radianti per metro (rad/m),

La carta di Smith può essere usata una frequenza alla volta, quindi la componente temporale della fase ($\mathrm e^{\omega t}$) è fissata, e per questo viene quindi spesso trascurata. Si ricordi che tale termine deve essere tenuto in conto se si vuole ricavare l'andamento temporale della corrente o della tensione. Si ottiene quindi:

$V_F = A \mathrm e^{-\gamma l}$ e

$V_R = B \mathrm e^{\gamma l}$

Andamento del coefficiente di riflessione rispetto alla coordinata spaziale

Il coefficiente di riflessione complesso $\rho$ è definito come il rapporto tra l'onda riflessa e quella incidente (o diretta), cioè:

$\rho = \frac{V_R}{V_F} = \frac{B \mathrm e^{\gamma l}}{A \mathrm e^{-\gamma l}} =C \mathrm e^{2 \gamma l} = C \mathrm e^{2\alpha l}\mathrm e^{j 2\beta l}$

dove C è un'opportuna costante dipendente dalle terminazioni.

Si consideri ora una linea di trasmissione uniforme, cioè nella quale $\gamma$ è una costante. Considerando la formula precedente, il coefficiente di riflessione varia rispetto alla posizione lungo la linea di trasmissione. Se quest'ultima ha delle perdite (cioè $\alpha$ è non nullo), l'andamento di $\rho$ è rappresentato sulla carta di Smith da una curva a spirale. Infatti il termine

$\mathrm e^{2 \alpha l}$,

proporzionale al modulo di $\rho$, decresce esponenzialmente spostandosi dal carico al generatore (in quanto $l$ passa da 0 a un certo valore negativo).

Nella maggior parte dei casi si possono ritenere le perdite nulle o quanto meno trascurabili ($\alpha \approxeq 0$), e ciò semplifica fortemente la risoluzione dei problemi. In assenza di perdite, l'espressione del coefficiente di riflessione diventa:

$\rho = \rho_0 \mathrm e^{2j \beta l}$

La costante di fase $\beta$ può inoltre essere riscritta come

$\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$

dove $\lambda$ è la lunghezza d'onda caratteristica della linea di trasmissione alla frequenza considerata.

Si ricava quindi:

$\rho = \rho_0 \mathrm e^{\frac{4 j \pi}{\lambda}l}$

Questa equazione mostra che, per un'onda stazionaria, il coefficiente di riflessione ha una periodicità pari a metà della lunghezza d'onda della linea di trasmissione. Per questo, la scala in lunghezze d'onda sulla ghiera esterna della carta di Smith che rappresenta la distanza del carico dal generatore ha come estremi 0 e 0.5, in quanto all'esterno di tale intervallo il comportamento è periodico.

Andamento dell'impedenza normalizzata rispetto alla coordinata spaziale

Se $V$ e $I$ sono rispettivamente la tensione ai capi della linea di trasmissione e la corrente entrante nel carico in fondo alla linea di trasmissione, si può scrivere:

$V_F + V_R = V$

$V_F - V_R = Z_0I$

Dividendo tra loro queste equazioni:

$\frac{V}{Z_0I} = \frac{Z_T}{Z_0} = z_T$

si ricava proprio l'impedenza normalizzata. Inserendo al posto di $V_F$ e $V_R$ il coefficiente di riflessione $\rho$ si ottiene:

$z_T=\frac{1+\rho}{1-\rho}$

Invertendo la formula:

$\rho=\frac{z_T-1}{z_T+1}$.

Queste sono le equazioni utilizzate per costruire la carte di Smith Z (o delle impedenze). Da un punto di vista matematico, $\rho$ e $z_T$ sono legati da una trasformazione di Möbius. Si noti che sia $\rho$ che $z_T$ sono numeri complessi adimensionali, dipendenti dalla frequenza, perciò per ogni misurazione di essi bisogna anche tener conto della banda in cui tale misurazione è stata effettuata.

$\rho$ può essere espresso in modulo e fase sul diagramma polare, ed è proprio quello che viene fatto sulla carta di Smith. Come detto in precedenza, nei dispositivi passivi ogni coefficiente di riflessione deve avere un modulo minore o uguale a uno, e quindi $\rho$ può essere rappresentato con un punto interno alla circonferenza di raggio unitario. Il principale vantaggio della carta di Smith è che presenta diverse scale che permettono di convertire un generico valore del coefficiente di riflessione nel corrispondente valore di impedenza e viceversa. In sostanza, disegnando sulla carta di Smith come se fosse un generico diagramma polare un punto rappresentante un certo coefficiente di riflessione è possibile leggere sulle scale l'impedenza ad esso associata. Viceversa, data una certa impedenza normalizzata, questa può essere disegnata sulla carta di Smith mediante delle apposite scale e ricavare così graficamente il valore di $\rho$. Questa tecnica in sostanza sostituisce l'utilizzo di equazioni per passare da $\rho$ a $z_T$.

Sostituendo l'espressione della variazione del coefficiente di riflessione lungo una linea di trasmissione senza perdite non adattata:

$\rho = \frac{B \mathrm e^{\gamma l}}{A \mathrm e^{-\gamma l}} =\frac{B \mathrm e^{j \beta l}}{A \mathrm e^{-j \beta l}}$

nell'equazione dell'impedenza normalizzata in funzione del coefficiente di riflessione

$z_T=\frac{1+\rho}{1-\rho}$

e usando la formula di Eulero:

$\mathrm e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$

si ottiene l'equazione per l'impedenza in una linea di trasmissione senza perdite:

$Z_{IN} = Z_0 \frac{Z_L + j Z_0 \tan (\beta l)}{Z_0 + j Z_L \tan (\beta l)}$

dove $Z_{IN}$ è l'impedenza vista all'ingresso della linea di trasmissione senza perdite di lunghezza l, terminata con un'impedenza pari a $Z_L$.

L'equivalente grafico sulla carta di Smith di usare l'equazione appena ricavata è normalizzare $Z_L$, tracciare il punto risultante su una carta di Smith delle impedenze e tracciare una circonferenza che passa per tale punto centrata nel centro del grafico. Il percorso lungo l'arco della circonferenza rappresenta come cambia l'impedenza muovendosi lungo la linea di trasmissione. In tal caso, risulta utile usare la ghiera esterna scalata in lunghezze d'onda, ricordando che la lunghezza d'onda della linea di trasmissione può differire da quella nello spazio libero.

Impedenze

Circonferenze a resistenza o reattanza costante

Nel piano del coefficiente di riflessione la carta di Smith occupa come detto un cerchio di raggio unitario centrato nell'origine. In coordinate cartesiane perciò la circonferenza passerà per i punti (1,0) e (-1,0) sull'asse x e i punti (0,1) e (0,-1) sull'asse y.

La carta di Smith delle impedenze contiene al suo interno due diverse famiglie di curve:

• circonferenze a resistenza costante;
• archi di circonferenza a reattanza costante.

Ognuna di queste curve è contraddistinta da un numero, che rappresenta la resistenza (o la reattanza) normalizzata dei punti giacenti su di essa.

Per capire l'origine di tali curve, si esprima $\rho$ che $z$ con la notazione cartesiana:

$z = r + jx$

$\rho = u + jw$

Sostituendo tali equazioni in quella che descrive la relazione tra l'impedenza normalizzata e il coefficiente di riflessione, cioè:

$z=\frac{1+\rho}{1-\rho}$

si ottiene

$z = r + jx = \frac{1-u^2-w^2}{(1-u)^2+w^2} + j \left(\frac{2w}{(1-u)^2+w^2}\right)$

Questa equazione descrive come il coefficiente di riflessione varia cambiando l'impedenza normalizzata e può essere usata per costruire le curve a parte reale e immaginaria costante. Infatti, se $r = r_0$ costante, si ottiene:

$\left(u-\frac{r_0}{1+r_0}\right)^2+w^2 = \left(\frac{1}{1+r_0}\right)^2$

che è l'equazione di una circonferenza di raggio $1/(1+r_0)$ e centro $(r_0/(1+r_0), 0)$. Ad esempio, i punti caratterizzati da $r = 1$ si trovano sulla circonferenza centrata in $(1/2, 0)$ e di raggio 1/2.

Un calcolo analogo può essere fatto anche per i punti a parte immaginaria costante $x = x_0$, ottenendo l'equazione:

$\left(u-1\right)^2+\left(w-\frac{1}{x_0}\right)^2 = \frac{1}{x^2_0}$

che rappresenta circonferenze di raggio $1/|x_0|$ e centro $(1, 1/x_0)$. I punti a parte immaginaria nulla collassano quindi sull'asse x della carta di Smith.

Visualizzazione grafica di come il piano complesso delle impedenze normalizzate sia mappato sulla carta di Smith.

Regioni

Quando viene mappato un diagramma polare in un sistema di coordinate cartesiane generalmente si misurano gli angoli rispetto al semiasse positivo delle x considerando positiva la direzione antioraria. Il modulo del numero complesso è la lunghezza della linea retta tracciata tra l'origine e il punto considerato. La carta di Smith usa appunto questa convenzione. Si noti che il semiasse delle x positive della carta di Smith mappa quindi le impedenze normalizzate che vanno da $z_T = 1 \pm j0$ (origine della carta di Smith) a $z_T = \infty \pm j\infty$, corrispondente al punto (1, 0).

La regione che si estende al di sopra dell'asse x della carta di Smith corrisponde a reattanze di tipo induttivo, cioè maggiori di zero. Infatti contiene le curve a reattanza costante che hanno centro $(1, 1/x_0)$ con $x_0$ positivo. Dualmente, la parte della carta al di sotto dell'asse x contiene le reattanze di tipo capacitivo.

Se la terminazione è perfettamente adattata, il coefficiente di riflessione è pari a zero, ed è rappresentato da una circonferenza di raggio nullo, corrispondente all'origine della carta di Smith. Se la terminazione è un perfetto circuito aperto oppure un cortocircuito il modulo del coefficiente di riflessione sarà unitario, tutta la potenza viene riflessa e il punto giace sulla circonferenza di raggio unitario. In particolare, un perfetto circuito aperto ha $\rho = 1$, e quindi è rappresentato dal punto (1, 0), mentre un perfetto cortocircuito ha $\rho = -1$, e sulla carta di Smith giace alle coordinate (-1, 0).

Ammettenze

La carta di Smith delle ammettenze viene costruita in maniera del tutto simile a quella delle impedenze. L'ammettenza normalizzata $y_T$ è il reciproco dell'impedenza normalizzata $z_T$, perciò:

$y_T=\frac{1}{z_T}$

Inoltre,

$y_T = \frac{1-\rho}{1+\rho}$

quindi:

$\rho = \frac{1-y_T}{1+y_T}$

Circonferenze a conduttanza o suscettanza costante

In maniera del tutto equivalente a quanto fatto per la carta delle impedenze, è possibile anche per la carta delle ammettenze ottenere due diverse famiglie di curve:

• circonferenze a conduttanza costante;
• archi di circonferenza a suscettanza costante.

Anche in questo caso ogni curva è contrassegnata dal valore di conduttanza o suscettanza normalizzata che la contraddistingue.

Analogamente a prima, si esprime sia $\rho$ che $y$ con la notazione cartesiana:

$y = g + jb$

$\rho = u + jw$

Utilizzando la relazione:

$y=\frac{1+\rho}{1-\rho}$

si ricava

$y = g + jb = \frac{1-u^2-w^2}{(1+u)^2+w^2} - j \left(\frac{2w}{(1+u)^2+w^2}\right)$

Se $g = g_0$ costante, si ottiene:

$\left(u+\frac{g_0}{1+g_0}\right)^2+w^2 = \left(\frac{1}{1+g_0}\right)^2$

che è l'equazione di una circonferenza di raggio $1/(1+g_0)$ e centro $(-g_0/(1+g_0), 0)$. Ad esempio, i punti caratterizzati da $r = 1$ si trovano sulla circonferenza centrata in $(-1/2, 0)$ e di raggio 1/2.

Per i punti a parte immaginaria costante $b = b_0$ invece si ottiene l'equazione:

$\left(u+1\right)^2+\left(w+\frac{1}{b_0}\right)^2 = \frac{1}{b^2_0}$

che rappresenta circonferenze di raggio $1/|b_0|$ e centro $(-1, -1/b_0)$. Anche per la carta delle Y i punti a parte immaginaria nulla si trovano quindi sull'asse x della carta di Smith.

La carta di Smith delle ammettenze è quindi identica a quella delle impedenze solo che risulta ruotata di $180^\circ$.

Regioni

Anche nella carta di Smith delle ammettenze la regione al di sopra dell'asse x rappresenta suscettanze induttive, in quanto contiene le curve a suscettanza costante negativa. Al di sotto dell'asse delle x ci sono invece i punti che rappresentano suscettanze capacitive.

Anche in questo caso, se la terminazione è perfettamente adattata, il coefficiente di riflessione sarà pari a zero, rappresentato da una circonferenza di raggio nullo, cioè il punto al centro della carta di Smith. In caso di circuito aperto o corto circuito, il modulo del coefficiente di riflessione sarà unitario, tutta la potenza sarà riflessa e il punto giacerà sulla circonferenza di raggio unitario. In particolare, anche in questo caso il circuito aperto ($y = 0$) viene mappato nel punto (1, 0), mentre un cortocircuito ($y = \infty$) è rappresentato dal punto (-1, 0).

Voci correlate

• Insertion loss
• Return loss
• Parametri S
• Adattamento di impedenza
• Telecomunicazioni
• Linea di trasmissione

Bibliografia

• (EN) Smith, P.H. (gennaio 1939). Transmission Line Calculator. Electronics 12 (1): 29-31.
• (EN) Smith, P.H. (gennaio 1944). An Improved Transmission Line Calculator. Electronics 17 (1): 130.
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• (EN) C. W. Davidson, Transmission Lines for Communications with CAD Programs, Basingstoke, Macmillan, 1989. ISBN 0-333-47398-1
• (EN) Simon Ramo; John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, Fields and Waves in Communications Electronics, John Wiley & Sons, 1994. ISBN 0-471-58551-3
• (EN) Guillermo Gonzalez, Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design, Prentice Hall, 1997. ISBN 0-13-254335-4
• (EN) Philip H. Smith, Electronic Applications of the Smith Chart, Noble Publishing Corporation, 2000. ISBN 1-884932-39-8
• (EN) David M. Pozar, Microwave Engineering, John Wiley & Sons, 2005. ISBN 0-471-44878-8
• Michele Midrio, Propagazione guidata, SGEditoriali, 2006. ISBN 88-86281-86-2

Altri progetti

• Commons

• Commons contiene immagini o altri file su Carta di Smith

Collegamenti esterni

• Flash tutorial per la carta di Smith Tutorial interattivo per la carta di Smith
• Risorse sulla carta di Smith Tutorial, grafici e altre informazioni sulla carta di Smith
• linSmith Un programma per tracciare carte di Smith con Linux.
• SuperSmith di Tonne Software Programma per tracciare carte di Smith con Windows2000 e versioni successive.
• Carta di Smith Stampa di carte di Smith dal proprio computer
• Black Magic Carta di Smith in grafica vettoriale (infinitamente scalabile).
• Carta di Smith con Excel grafici del coefficiente di riflessione in parte reale e immaginaria.
• http://www.nikeserver.net/gian.leonardo.solazzi/smith.html Funzioni Postscript] Funzioni per tracciare punti, linee, curve a parte reale e immaginaria costante in formato Postscript per creare immagini vettoriali.
• [1].
• Funzione MATLAB per generate una carta di Smith a colori standard.
• QuickSmith Utility per l'adattamento con la carta di Smith.

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