Circuito RLC

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In generale, si dice RLC un circuito che contenga solo resistenze (R), induttori (L) e condensatori (C). Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga anche altri elementi passivi, ma nessun elemento attivo.

I circuiti RLC sono sistemi lineari, per lo più stazionari (ma non necessariamente). In particolare, ciò significa che un circuito RLC non può creare frequenze dal nulla: può eventualmente sopprimerle. Infatti, la nascita di nuove frequenze (distorsione) avviene soltanto negli elementi attivi a semiconduttore e negli elementi non lineari, come diodi e transistor.

[modifica] RLC in serie e in parallelo

Nelle figure a destra sono raffigurati i circuiti RLC in serie e parallelo.

[modifica] RLC in serie

Consideriamo il circuito RLC in serie in figura, con generatore di tensione costante. Applicando la legge di kirchhoff delle tensioni:

v R (t) + v L (t) + v C (t) = e (t)

e sostituiamo le relazioni costitutive degli elementi:

$R \cdot i(t) + L \cdot \frac{di(t)}{dt} + v_C(0) + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i(t) \, dt = e(t)$

derivando una volta rispetto a t e riscrivendo questa equazione in forma differenziale:

(1) $\frac{d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{R}{L} \cdot \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{LC} \cdot i(t) = 0$

cioè la presenza di un generatore costante non influisce sulle equazioni: in pratica la soluzione dell'equazione differenziale è la stessa di quella senza generatore, come se fosse in evoluzione libera. Definiamo due parametri:

$\alpha = \frac{R}{2L}$

detta costante di smorzamento e:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

detta pulsazione di risonanza. Per la soluzione della (1) si rimanda alla relativa sezione.

[modifica] RLC in parallelo

Circuito RLC in parallelo con generatore costante.

Consideriamo il circuito RLC in parallelo in figura, con generatore di corrente costante. Applicando la legge di kirchhoff delle correnti:

i R (t) + i L (t) + i C (t) = i (t)

e sostituiamo le relazioni costitutive degli elementi:

$\frac{v(t)}{R} + C \cdot \frac{dv(t)}{dt} + i_L(0) + \frac{1}{L} \int_{0}^{t} v(t) \, dt = i(t)$

derivando una volta rispetto a t e riscrivendo questa equazione in forma differenziale:

(2) $\frac{d^2 v(t)}{dt^2} + \frac{1}{RC} \cdot \frac{dv(t)}{dt} + \frac{1}{LC} \cdot v(t) = 0$

cioè la presenza di un generatore costante di corrente non influisce sulle equazioni: in pratica la soluzione dell'equazione differenziale è la stessa di quella senza il generatore stesso, come se fosse in evoluzione libera. Definiamo i due parametri:

$\alpha = \frac{1}{2RC}$

detta costante di smorzamento (da notare che è diversa da quella del circuito in serie) e:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

detta pulsazione di risonanza che coincide con quella ottenuta per l'RLC in serie. Per la soluzione della (2) si rimanda alla relativa sezione.

[modifica] Soluzione dell'equazione

Entrambe le equazioni (1) e (2) sono della forma:

(3) $\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + 2\alpha \cdot \frac{dx(t)}{dt} + \omega_{0}^{2} \cdot x(t) = 0$

dove $α$ è diverso dal circuito in serie a quello in parallelo, mentre la $ω 0$ è uguale per entrambe i circuiti. I due circuiti sono duali. Sostituiamo alla (3) la sua equazione caratteristica (vedi Equazioni differenziali) ottenendo un'equazione nella variabile s:

$s^2 + 2 \alpha s + \omega_{0}^{2} = 0$

Le radici di questa equazione sono dette frequenze naturali:

$s_1 = - \alpha + \sqrt{\alpha^2 - \omega_{0}^{2}} \, \, \, s_2 = - \alpha - \sqrt{\alpha^2 - \omega_{0}^{2}}$

e la soluzione della (3) è della forma di combinazioni di esponenziali reali o complessi a seconda dei casi:

Caso $α > ω 0$

In tal caso il circuito si dice sovrasmorzato essendo la costante di smorzamento maggiore della pulsazione di risonanza, le due radici sono reali e distinte, la soluzione prende la forma:

$x(t) = A_1 \cdot e^{s_1 t} + A_2 \cdot e^{s_2 t}$

dove $A 1, A 2$ sono due costanti che devono essere risolte imponendo le condizioni iniziali. La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali con costanti di tempo $τ 1 = - 1 / s 1$ e $τ 2 = - 1 / s 2$ . Graficando la soluzione si vede che la risposta $x (t)$ non oscilla poiché predomina il termine esponenziale e quindi la risposta si annulla velocemente. Al crescere di $α$ la risposta è dominata dal primo esponenziale. Imponendo le condizioni iniziali:

x (0) = A 1 + A 2

$\frac{dx(0)}{dt} = A_1 s_1 + A_2 s_2$

le costanti $A 1, A 2$ si ottengono risolvendo questo sistema:

$A_1 = \frac{A_1 s_1 + A_2 s_2 - (A_1 + A_2) s_2}{s_1 - s_2} \, \, \, \, A_2 = \frac{A_1 s_1 + A_2 s_2 - (A_1 + A_2) s_1}{s_2 - s_1}$

Caso $α = ω 0$

In tal caso il circuito si dice con smorzamento critico essendo la costante di smorzamento uguale alla pulsazione di risonanza, le due radici sono reali e coincidenti $s 1 = s 2 = - α = - ω 0$ , la soluzione prende la forma:

$x(t) =(A_1 \cdot t + A_2) \cdot e^{-\alpha t}$

dove $A 1, A 2$ devono determinarsi imponendo le condizioni iniziali. La soluzione ha un esponenziale reale e il grafico della risposta presenta un massimo per $t = 1 / α - A 2 / A 1$ dopo il quale tende a zero. Imponendo le condizioni iniziali:

x (0) = A 2

$\frac{dx(0)}{dt} = A_1 - \alpha A_2$

le costanti $A 1, A 2$ si ottengono risolvendo questo sistema:

$A_1 = A_1 -\alpha A_2 + \alpha A_2 \, \, \, \, A_2 = x(0)$

Caso $α < ω 0$

In tal caso il circuito si dice sottosmorzato essendo la costante di smorzamento minore della pulsazione di risonanza, le radici sono complesse e coniugate:

$s_1 = - \alpha + i \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2} \, \, \, s_2 = - \alpha - i \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2}$

con $i$ unità immaginaria $(i 2 = - 1)$ . Definendo:

$\beta = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2}$

la soluzione prende la forma:

$x(t) = \left[A_1 \cos \beta t + A_2 \sin \beta t \right] e^{-\alpha t}$

dove $A 1, A 2$ devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali. Scegliendo:

$A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}} \, \, \, \phi = - \arctan \frac{A_2}{A_1}$

$A_1 = A \cos \phi \, \, \, \, A_2 = -A \sin \phi$

la soluzione può essere posta nella forma:

x (t) = A e - α t cos(β t + φ)

La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali uguali e l'oscillazione della risposta è modulata dal valore di questi esponenziali $\pm A e^{-\alpha t}$ con costanti di tempo uguali $τ = 1 / α$ . Imponendo le condizioni iniziali:

x (0) = A 1

$\frac{dx(0)}{dt} = - \alpha A_1 + A_2 \beta$

le costanti $A 1, A 2$ si ottengono risolvendo questo sistema:

$A_1 = x(0) \, \, \, \, A_2 = \frac{- \alpha A_1 + A_2 \beta + \alpha A_1}{\beta}$

Caso $α = 0$

In tal caso il circuito è senza smorzamento essendo la costante di smorzamento nulla, le radici sono immaginari puri: $s_1 = s_2 = \pm i \omega_{0}$ e la soluzione prende la forma:

x (t) = A 1 cosω 0 t + A 2 sinω 0 t = A cos(ω 0 t + φ)

dove $A 1, A 2$ oppure A devono essere determinati imponendo le condizioni iniziali. Nel circuito in serie $α = 0$ significa $R = 0$ e in quello parallelo $R = \infty$ , in entrambi i casi la soluzione è una sinusoide che non si smorza mai. Anche in questo caso le costanti sono:

$A_1 = x(0) \, \, \, \, A_2 = \frac{dx(0)}{dt}$

[modifica] Considerazioni

Per quanto riguarda le soluzioni del circuito RLC in serie la soluzione permette di trovare a seconda dei casi il valore di $i (t)$ . Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

$v_R(t) = R \cdot i(t)$

$v_L(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt}$

v C (t) = e - v R (t) - v L (t)

Da notare che in questo caso per $t \to \infty$ risulta $v_R (t) \to 0$ , $v_L (t) \to 0$ e $v C (t) = e t$ cioè l'induttore si comporta come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto $v C = e$ .

Nel caso del circuito RLC in parallelo le soluzione permette di ricavare a seconda dei casi la $v (t)$ . Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

i R (t) = v (t)

$i_C(t) = \frac{dv(t)}{dt}$

i L (t) = i (t) - i R (t) - i C (t)

[modifica] RLC in regime sinusoidale

Per approfondire, vedi la voce Circuito risonante.

In questa sezione studiamo il circuito RLC in serie come quello in parallelo in regime sinusoidale, utilizzando il metodo simbolico.

[modifica] RLC serie in regime sinusoidale

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in serie e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni:

$\mathbf{Z}_R (i \omega) = R$

$\mathbf{Z}_L (i \omega) = i \omega L$

$\mathbf{Z}_C (i \omega) = \frac{1}{i \omega C}$

con $i$ sempre unità immaginaria. Possiamo dunque calcolare l'impedenza del circuito:

$\mathbf{Z} (i \omega) = R + i \omega L + \frac{1}{i \omega C} = R + i \left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right)$

in questa forma abbiamo una resistenza $R$ ed una reattanza $X = \omega L - \frac{1}{\omega C}$ . Vediamo allora che la reattanza si annulla per:

$\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \, \, \Rightarrow \, \, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

per la frequenza $ω 0$ detta frequenza di risonanza. L'ammettenza per questa frequenza

$\mathbf{Y} (i \omega_0) = \frac{1}{R}$

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

[modifica] RLC parallelo in regime sinusoidale

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in parallelo e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni, tenendo conto del generatore $i(t) \Rightarrow \mathbf{I}_s$ :

$\mathbf{Z}_R (i \omega) = R$

$\mathbf{Z}_L (i \omega) = i \omega L$

$\mathbf{Z}_C (i \omega) = \frac{1}{i \omega C}$

È conveniente in questo caso calcolare l'ammettenza:

$\mathbf{Y} (i \omega) = \frac{1}{R} + \frac{1}{i \omega L} + i \omega C = \frac{1}{R} + i \left(\omega C - \frac{1}{\omega L} \right)$

in questa forma abbiamo una conduttanza $G = \frac{1}{R}$ ed una suscettanza $B = \omega C - \frac{1}{\omega L}$ . Vediamo allora che la suscettanza si annulla per:

$\omega C - \frac{1}{\omega L} = 0 \, \, \Rightarrow \, \, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

per la frequenza $ω 0$ detta frequenza di risonanza. L'impedenza per questa frequenza

$\mathbf{Z} (i \omega_0) = R$

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

[modifica] Oscillatore ideale

Supponiamo $R = 0$ : questo significa trascurare le perdite energetiche nel circuito, cioè immaginare che la quantità di energia fornita inizialmente al circuito non si disperda col passare del tempo. Questo ci porta a scrivere:

$H(s)=\frac{sC}{s^2LC+1}$ .

Si nota facilmente che la funzione di trasferimento ha una coppia di poli complessi coniugati (il polo di una funzione complessa è il punto in cui il suo denominatore si annulla), che valgono

$p_1=i\frac{1}{\sqrt{LC}}$ , $p_2=-i\frac{1}{\sqrt{LC}}$ .

Tale punto rappresenta la pulsazione di risonanza dell'oscillatore. Ciò significa che a quella pulsazione (e alla relativa frequenza $f=\frac{Im\{p\}}{2\pi}$ ) il circuito è in grado di auto-alimentarsi: se il generatore viene spento, l'energia accumulata nel condensatore e nell'induttore continua a circolare nel circuito, generando un'oscillazione quasi perfettamente sinusoidale caratterizzata dalla frequenza $f$ . Per informazioni più dettagliate sulla risonanza di un circuito elettrico, si veda sistema dinamico.

[modifica] Collegamenti esterni

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Indice

[modifica] RLC in serie e in parallelo

[modifica] RLC in serie

[modifica] RLC in parallelo

[modifica] Soluzione dell'equazione

[modifica] Considerazioni

[modifica] RLC in regime sinusoidale

[modifica] RLC serie in regime sinusoidale

[modifica] RLC parallelo in regime sinusoidale

[modifica] Oscillatore ideale

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