Circuito RLC

In elettronica, un circuito RLC è un circuito elettronico contenente solo resistori, induttori e condensatori. Per estensione, viene spesso definito RLC un circuito che contenga solamente elementi passivi. Il nome del circuito deriva dai simboli delle grandezze fisiche che caratterizzano gli elementi passivi, rispettivamente resistenza elettrica, induttanza e capacità elettrica.

I circuiti RLC sono sistemi dinamici lineari. Un circuito RLC costituisce un oscillatore armonico per la corrente elettrica ed entra in risonanza seguendo le medesime leggi fisiche del circuito LC. La differenza rispetto a quest'ultimo è la presenza del resistore, che smorza le oscillazioni indotte nel circuito qualora non siano sostenute da una sorgente.

RLC in serie e in parallelo

Nelle figure a destra sono raffigurati i circuiti RLC in serie e parallelo.

RLC in serie

Circuito RLC in serie con generatore costante.

Si consideri il circuito RLC in serie in figura, con generatore di tensione costante (cioè con $e(t)=e_0$). Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni si ottiene:

$\emph v_R (t) + v_L (t) + v_C (t) = e(t)$

e, sostituendo le relazioni costitutive degli elementi:

$R \cdot i(t) + L \cdot \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i(t) \, dt = e(t).$

Derivando una volta rispetto a $t$ e dividendo per l'induttanza $L$, si può riscrivere l'equazione in forma differenziale:

$\frac{d^2 i(t)}{dt^2} + \frac{R}{L} \cdot \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{LC} \cdot i(t) = 0.$

Dunque la presenza di un generatore costante non influisce sulle equazioni: la soluzione dell'equazione differenziale è la stessa di quella senza generatore, come se fosse in evoluzione libera. Si definiscono poi due parametri:

$\alpha = \frac{R}{2L}$

detta costante di smorzamento e:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

detta pulsazione di risonanza.

RLC in parallelo

Circuito RLC in parallelo con generatore costante.

Considerato il circuito RLC in parallelo in figura, con generatore di corrente costante, applicando la legge di Kirchhoff delle correnti si ottiene:

$\emph i_R (t) + i_L (t) + i_C (t) = i(t)$

Sostituendo le relazioni costitutive degli elementi:

$\frac{v(t)}{R} + C \cdot \frac{dv(t)}{dt} + \frac{1}{L} \int_{0}^{t} v(t) \, dt = i(t)$

derivando una volta rispetto a t e riscrivendo questa equazione in forma differenziale si ricava:

$\frac{d^2 v(t)}{dt^2} + \frac{1}{RC} \cdot \frac{dv(t)}{dt} + \frac{1}{LC} \cdot v(t) = 0$

La presenza di un generatore costante di corrente non influisce sulle equazioni: la soluzione dell'equazione differenziale è la stessa di quella senza il generatore stesso, come se fosse in evoluzione libera. Si definiscono i due parametri:

$\alpha = \frac{1}{2RC}$

detta costante di smorzamento (da notare che è diversa da quella del circuito in serie) e:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

detta pulsazione di risonanza che coincide con quella ottenuta per l'RLC in serie.

Soluzione dell'equazione

Entrambe le equazioni che governano il circuito RLC in serie e parallelo sono della forma:

$\frac{d^2 x(t)}{dt^2} + 2\alpha \cdot \frac{dx(t)}{dt} + \omega_{0}^{2} \cdot x(t) = 0$

dove $\alpha$ è diverso dal circuito in serie a quello in parallelo, mentre la $\omega_0$ è uguale per entrambe i circuiti. I due circuiti sono duali. Sostituendo alla precedente espressione la sua equazione caratteristica, si ottiene un'equazione nella variabile s:

$s^2 + 2 \alpha s + \omega_{0}^{2} = 0$

Le radici di questa equazione sono dette frequenze naturali:

$s_1 = - \alpha + \sqrt{\alpha^2 - \omega_{0}^{2}}$

$s_2 = - \alpha - \sqrt{\alpha^2 - \omega_{0}^{2}}$

e la soluzione dell'equazione differenziale è della forma di combinazioni di esponenziali reali o complessi a seconda dei casi:

Caso $\alpha > \omega_{0}$

In tal caso, il circuito si dice sovrasmorzato, essendo la costante di smorzamento maggiore della pulsazione di risonanza, e le due radici sono reali e distinte, la soluzione prende la forma:

$x(t) = A_1 \cdot e^{s_1 t} + A_2 \cdot e^{s_2 t}$

dove $A_1,\, A_2$ sono due costanti che devono essere risolte imponendo le condizioni iniziali. La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali con costanti di tempo $\tau_1 = -1/s_1$ e $\tau_2 = -1 /s_2$. Dal grafico della soluzione si vede che la risposta $\emph x(t)$ non oscilla poiché predomina il termine esponenziale e quindi la risposta si annulla velocemente. Al crescere di $\alpha$ la risposta è dominata dal primo esponenziale. Imponendo le condizioni iniziali:

$\emph x(0) = A_1 + A_2$

$\frac{dx(0)}{dt} = A_1 s_1 + A_2 s_2$

le costanti $A_1,\, A_2$ si ottengono risolvendo questo sistema:

$A_1 = \frac{A_1 s_1 + A_2 s_2 - (A_1 + A_2) s_2}{s_1 - s_2} \, \, \, \, A_2 = \frac{A_1 s_1 + A_2 s_2 - (A_1 + A_2) s_1}{s_2 - s_1}$

Caso $\alpha = \omega_{0}$

In tal caso, il circuito si dice con smorzamento critico, essendo la costante di smorzamento uguale alla pulsazione di risonanza, e le due radici sono reali e coincidenti $\emph s_1 = s_2 = - \alpha = - \omega_0$, la soluzione prende la forma:

$x(t) =(A_1 \cdot t + A_2) \cdot e^{-\alpha t}$

dove $A_1,\, A_2$ devono determinarsi imponendo le condizioni iniziali. La soluzione ha un esponenziale reale e il grafico della risposta presenta un massimo per $\emph t = 1/ \alpha - A_2/A_1$ dopo il quale tende a zero. Imponendo le condizioni iniziali:

$\emph x(0) = A_2$

$\frac{dx(0)}{dt} = A_1 - \alpha A_2$

le costanti $A_1,\, A_2$ si ottengono risolvendo questo sistema:

$A_1 = A_1 -\alpha A_2 + \alpha A_2 \, \, \, \, A_2 = x(0)$

Caso $\alpha < \omega_{0}$

In tal caso, il circuito si dice sottosmorzato, essendo la costante di smorzamento minore della pulsazione di risonanza, e le radici sono complesse e coniugate:

$s_1 = - \alpha + i \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2} \, \, \, s_2 = - \alpha - i \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2}$

con $\emph i$ unità immaginaria $\emph (i^2=-1)$. Definendo:

$\beta = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^2}$

la soluzione prende la forma:

$x(t) = \left[A_1 \cos \beta t + A_2 \sin \beta t \right] e^{-\alpha t}$

dove $A_1,\, A_2$ devono essere determinate imponendo le condizioni iniziali. Scegliendo:

$A = \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2}} \, \, \, \phi = - \arctan \frac{A_2}{A_1}$

$A_1 = A \cos \phi \, \, \, \, A_2 = -A \sin \phi$

la soluzione può essere posta nella forma:

$\emph x(t) = A e^{-\alpha t} \cos \ (\beta t + \phi)$

La soluzione è una combinazione di due esponenziali reali uguali e l'oscillazione della risposta è modulata dal valore di questi esponenziali $\pm A e^{-\alpha t}$ con costanti di tempo uguali $\tau = 1/\alpha$. Imponendo le condizioni iniziali:

$\emph x(0) = A_1$

$\frac{dx(0)}{dt} = - \alpha A_1 + A_2 \beta$

le costanti $A_1,\, A_2$ si ottengono risolvendo questo sistema:

$A_1 = x(0) \, \, \, \, A_2 = \frac{- \alpha A_1 + A_2 \beta + \alpha A_1}{\beta}$

Caso $\alpha =0$

In tal caso il circuito è senza smorzamento essendo la costante di smorzamento nulla, le radici sono immaginari puri: $\emph s_1 = s_2 = \pm i \omega_{0}$ e la soluzione prende la forma:

$\emph x(t) = A_1 \cos \omega_0 t + A_2 \sin \omega_0 t = A \cos (\omega_0 t + \phi)$

dove $A_1,\, A_2$ oppure $A$ devono essere determinati imponendo le condizioni iniziali. Nel circuito in serie $\alpha = 0$ significa $\emph R = 0$ e in quello parallelo $\emph R = \infty$, in entrambi i casi la soluzione è una sinusoide che non si smorza mai. Anche in questo caso le costanti sono:

$A_1 = x(0) \, \, \, \, A_2 = \frac{dx(0)}{dt}$

Considerazioni

Per quanto riguarda le soluzioni del circuito RLC in serie la soluzione permette di trovare a seconda dei casi il valore di $i(t)$. Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

$v_R(t) = R \cdot i(t)$

$v_L(t) = L \cdot \frac{di(t)}{dt}$

$\emph v_C (t) = e - v_R(t) - v_L (t)$

Da notare che in questo caso per $\emph t \to \infty$ risulta $\emph v_R (t) \to 0$, $\emph v_L (t) \to 0$ e $\emph v_C (t) = e$ cioè l'induttore si comporta come un corto circuito e il condensatore come un circuito aperto $\emph v_C = e$.

Nel caso del circuito RLC in parallelo le soluzione permette di ricavare a seconda dei casi la $v(t)$. Una volta trovato tale valore, possiamo ricavare le altre grandezze:

$\emph i_R(t) = v(t)$

$\emph i_C(t) = \frac{dv(t)}{dt}$

$\emph i_L(t) = i(t) - i_R(t) - i_C (t)$

RLC in regime sinusoidale

Per approfondire, vedi Circuito risonante.

Il circuito RLC in serie e in parallelo risulta semplificato se si studia in regime sinusoidale, per il quale si utilizza il metodo simbolico.

RLC serie in regime sinusoidale

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in serie e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni:

$\mathbf{Z}_R (i \omega) = R$

$\mathbf{Z}_L (i \omega) = i \omega L$

$\mathbf{Z}_C (i \omega) = \frac{1}{i \omega C}$

con $\emph i$ sempre unità immaginaria. Possiamo dunque calcolare l'impedenza del circuito:

$\mathbf{Z} (i \omega) = R + i \omega L + \frac{1}{i \omega C} = R + i \left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right)$

in questa forma abbiamo una resistenza $\emph R$ ed una reattanza $\emph X = \omega L - \frac{1}{\omega C}$. Vediamo allora che la reattanza si annulla per:

$\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0 \, \, \Rightarrow \, \, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

per la frequenza $\omega_0$ detta frequenza di risonanza. L'ammettenza per questa frequenza

$\mathbf{Y} (i \omega_0) = \frac{1}{R}$

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

RLC parallelo in regime sinusoidale

Prendiamo come riferimento la figura dell'RLC in parallelo e, come vuole il metodo simbolico, sostituiamo agli elementi le loro rispettive relazioni, tenendo conto del generatore $\emph i(t) \Rightarrow \mathbf{I}_s$:

$\mathbf{Z}_R (i \omega) = R$

$\mathbf{Z}_L (i \omega) = i \omega L$

$\mathbf{Z}_C (i \omega) = \frac{1}{i \omega C}$

È conveniente in questo caso calcolare l'ammettenza:

$\mathbf{Y} (i \omega) = \frac{1}{R} + \frac{1}{i \omega L} + i \omega C = \frac{1}{R} + i \left(\omega C - \frac{1}{\omega L} \right)$

in questa forma abbiamo una conduttanza $G = \frac{1}{R}$ ed una suscettanza $B = \omega C - \frac{1}{\omega L}$. Vediamo allora che la suscettanza si annulla per:

$\omega C - \frac{1}{\omega L} = 0 \, \, \Rightarrow \, \, \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

per la frequenza $\omega_0$ detta frequenza di risonanza. L'impedenza per questa frequenza

$\mathbf{Z} (i \omega_0) = R$

ha modulo che presenta un picco e ha quindi modulo massimo: si ha perciò il fenomeno della risonanza.

Oscillatore ideale

Per approfondire, vedi Sistema dinamico.

Supponiamo $\emph R=0$: questo significa trascurare le perdite energetiche nel circuito, cioè immaginare che la quantità di energia fornita inizialmente al circuito non si disperda col passare del tempo. Questo ci porta a scrivere:

$H(s)=\frac{sC}{s^2LC+1}$.

Si nota facilmente che la funzione di trasferimento ha una coppia di poli complessi coniugati (il polo di una funzione complessa è il punto in cui il suo denominatore si annulla), che valgono

$p_1=i\frac{1}{\sqrt{LC}}$, $p_2=-i\frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Tale punto rappresenta la pulsazione di risonanza dell'oscillatore. Ciò significa che a quella pulsazione e alla relativa frequenza $\emph f=\frac{Im\{p\}}{2\pi}$ il circuito è in grado di auto-alimentarsi: se il generatore viene spento, l'energia accumulata nel condensatore e nell'induttore continua a circolare nel circuito, generando un'oscillazione quasi perfettamente sinusoidale caratterizzata dalla frequenza $\emph f$.

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• Analisi di un sistemi del secondo ordine Circuito RLC
• Applet con un circuito oscillante RLC
• Transitorio RLC - Esercitazioni
• Circuiti risonanti (RLC parallelo)

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