Circuito RL

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Un circuito RL è un circuito elettrico del primo ordine basato su una resistenza e sulla presenza di un elemento dinamico, l'induttore.

Circuito RL in evoluzione libera[modifica | modifica wikitesto]

Circuito RL in evoluzione libera
Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL in evoluzione libera

Si chiama circuito RL in evoluzione libera il circuito mostrato in figura composto da una resistenza e da un induttore percorso da corrente. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di tensione o di corrente, e questi funziona con corrente alternata

Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente.

Al tempo t_0 = 0 la corrente ai capi di L è i_L(0) \neq 0, questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti, l'equazione del circuito è:

\;\; i(t) + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \frac{v(t)}{R} + i_L(t) = 0

dove i(t) è la corrente elettrica circolante. La relazione caratteristica dell'induttore è ben nota:

\;\;v(t) = L \cdot \frac{d i_L(t)}{dt}

allora l'equazione del circuito diventa un'equazione differenziale omogenea del primo ordine:

\;\;\frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{R}{L} i_L(t) = 0

Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

\;\;i_L(t) = i_L(0) \cdot e^{-t R/L}

La tensione segue la:

\;\;v(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot i_L(0) \cdot e^{-t R/L}

Al rapporto \frac{L}{R} = \tau \, [s] viene dato il nome di costante di tempo del circuito ed una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la tensione immagazzinata nell'induttore, espressa dalla relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: ciò produce una corrente elettrica, che dissipa completamente nella resistenza R l'energia che era immagazzinata nell'induttore; la corrente evolve secondo la legge data dalla soluzione dell'equazione del circuito: essa tende esponenzialmente a zero per t \to \infty. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

i(\tau) = \frac{1}{e}

Circuito RL con generatore di corrente costante[modifica | modifica wikitesto]

Circuito RL con generatore di corrente costante
Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL con generatore di corrente costante

Ipotizziamo che il generatore di corrente I_0 costante nel tempo, possiamo scrivere l'equazione di Kirchhoff delle correnti:

\quad I_0 = i(t) + i_L(t) = \frac{v(t)}{R} + i_L(t)

dove v(t) è la tensione. Sostituendo nella precedente relazione l'equazione caratteristica dell'induttore si ottiene un'equazione differenziale non omogenea del primo ordine:

\quad I_0 = \frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} i_L(t) = \frac{I_0}{\tau}

dove \tau = \frac{L}{R} è la costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

\;\; i_L(t) = \left(i_L(0) - I_0 \right) \cdot e^{-t /\tau} + I_0

La tensione segue la:

\;\;v(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot (i_L(0) - I_0) \cdot e^{-t / \tau}

Fisicamente la presenza della corrente costante del generatore induce che la corrente ai capi di L i_L(t) cresca esponenzialmente partendo da i_L(t=0) = i_L(0) fino a tendere al valore della corrente costante del generatore. Dunque per t \to \infty si ha che i_L(t) \to I_0. Viceversa la tensione indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale R \cdot i_L(0) fino a tendere al valore costante V_0 = R I_0.

Quando al tendere di t \to \infty la corrente i_L(t) \to I_0 = cost, il circuito si comporta come un corto circuito. A regime di corrente costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di corrente costanti e da un induttore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza dell'induttore sia in corto circuito.

In particolare la risposta del circuito RL ad una corrente costante è composta di due parti: il termine

\left(i_L(0) - I_0 \right) e^{-t/ \tau}

è detto risposta transitoria o transiente del circuito, mentre il termine I_0 è la risposta permanente o a regime del circuito.

Circuito RL con generatore di corrente costante a tratti[modifica | modifica wikitesto]

Risposta del circuito RL al gradino[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Funzione gradino.

Prendiamo un segnale a gradino del tipo:

u(t) = \begin{cases}0 & \mbox{per } t < 0 \\ 1 & \mbox{per } t > 0 \end{cases}

come in figura. Il calcolo della corrente ai capi di L è data per t > 0:

i_L (t) = I_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)

Ovviamente invece che a t = 0 si può scegliere qualsiasi istante t_0 con le modifiche conseguenti:

u(t - t_0) = \begin{cases}0 & \mbox{per } t < t_0 \\ 1 & \mbox{per } t > t_0 \end{cases}

Il calcolo della corrente ai capi di L è data per t > t_0:

i_L (t) = I_0 \left(1 - e^{-\frac{t-t_0}{\tau}} \right) \cdot u(t-t_0)

Si vede dalla seconda figura che la corrente ai capi di L per t < t_0 è nulla, per t > t_0 cresce esponenzialmente esattamente come se vi fosse un generatore costante:

I_0 = u(t > t_0) = 1 \cdot I_0

Nella figura si mostra il valore u(t - t_0) poiché è immediato che si può applicare il gradino a qualsiasi I_0.

Risposta del circuito RL all'onda quadra[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Onda quadra.

Applicando un segnale periodico a gradino si ha un'onda quadra:

i(t) = I_0 [u(t_i) - u(t_j)] \

la risposta del circuito RL è:

i_L (t) = I_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)

ma bisogna distinguere i casi in cui t < t_0 e t > t_0, cioè bisogna distinguere tra quando la durata dell'impulso (t-t_0) è abbastanza lunga da permettere all'induttore di caricarsi quasi totalmente e quando invece questo non avviene. In pratica, poiché la costante di tempo determina tutte le caratteristiche del circuito, bisogna verificare se \tau << t_0 oppure \tau >> t_0, come nella figura a lato.

Risposta in frequenza del circuito RL[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Risposta in frequenza.

Vediamo come si comporta il circuito RL applicando un generatore di onda sinusoidale. In questo caso possiamo applicare la legge di Kirchhoff per il circuito:

I_0 \sin (\omega t) = \frac{v(t)}{R} + i_L (t)

con gli stessi ragionamenti fatti all'inizio possiamo riscrivere l'equazione come:

I_0 \sin (\omega t) = \frac{L}{R} \frac{di_L (t)}{dt} + i_L(t)

e quindi risolvere l'equazione differenziale a coefficienti costanti con termine noto:

\frac{di_L (t)}{dt} + \frac{1}{\tau} i_L(t) = \frac{I_0 \sin (\omega t)}{\tau}

nella quale \tau = \frac{L}{R} è ancora la costante di tempo del circuito. La soluzione generale è data dalla somma della soluzione dell'omogenea associata:

i_L(t) = i_L(0) e^{-\frac{t}{\tau}}

e una soluzione particolare:

K \sin (\omega t + \theta) \

dove K è una costante. Dunque:

i_L(t) = i_L(0) e^{-\frac{t}{\tau}} + K \sin (\omega t + \theta)

Anche in questo caso abbiamo una risposta transitoria data dall'esponenziale, la quale in un primo tempo, prevale sulla risposta permanente, data da un'altra sinusoide. Perciò per la durata del periodo di transizione la corrente ai capi di L prevale l'esponenziale e quindi essa si discosta dalla corrente sinusoidale di ingresso, dopo la fase transitoria la corrente ritorna ad essere una sinusoide con uguale pulsazione della corrente di ingresso. L'analisi di questo circuito può anche essere fatta per mezzo del metodo simbolico utilizzando i fasori, sostituendo alle grandezze sinusoidali il loro corrispondente fasore: i risultati sono identici, in quanto vige la legge di Ohm simbolica anche per regimi sinusoidali. In alternativa si può usare il metodo operatoriale più generale della trasformata di Laplace.

Metodo simbolico per la risposta in frequenza[modifica | modifica wikitesto]

Utilizzando il metodo simbolico:

\frac{\mathbf{I}_L}{j \omega L} + \frac{1}{\tau} \mathbf{I}_L = \frac{1}{\tau} I_0

da cui si ricava subito la corrente di uscita ai capi dell'induttore:

\mathbf{I}_L = \frac{I_0 j \omega \tau}{1 + j \omega \tau}

Poiché generalmente questa è una grandezza complessa, essa varia in modulo e argomento:

|\mathbf{I}_L| = \frac{I_0 \omega \tau}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}
arg \mathbf{I}_L = ...

Per ritornare all'analisi nel tempo dobbiamo risostituire il modulo e l'argomento:

i_L(t) = |\mathbf{I}_L| \cdot arg \mathbf{I}_L = \frac{I_0 \omega \tau}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)

Da questa ricaviamo le altre informazioni sul circuito:

v_L(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - \frac{\omega L I_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)
i_R(t)= \frac{v_L(t)}{R} = \frac{R I_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)

Si vede che il legame tra la corrente di uscita e quella di ingresso è del tipo:

\mathbf{I}_u = \mathbf{H}(j\omega) \cdot \mathbf{I}_i

in generale \mathbf{H} è chiamata funzione di rete o di trasferimento ed è sempre una funzione reale di variabile complessa j \omega. La sola funzione di rete permette di riconoscere per mezzo del modulo di \mathbf{H} e del suo argomento, la risposta del circuito in regime variabile sinusoidale (o periodico in generale). Nel circuito RL in questione l'andamento del modulo e dell'argomento della funzione di rete è in figura (??). Il valore per cui:

|\mathbf{H}| = \frac{1}{\sqrt{2}} = ...

cioè:

\omega_t = \frac{1}{\tau}

è chiamata pulsazione di taglio (a volte anche detta frequenza di taglio impropriamente ma intuitivamente poiché \omega = 2 \pi f) del circuito: dalla quale si possono dedurre le proprietà filtranti del circuito. Infatti per \omega = \omega_t il modulo e l'argomento di \mathbf{H} sono:

|\mathbf{H}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \mbox{ e } arg \mathbf{H} = - 45

al di sotto di questa frequenza cioè per \omega < \omega_t:

|\mathbf{H}| \approx 0 \mbox{ e } arg \mathbf{H} \approx -90

ciò indica che la risposta è praticamente azzerata con sfasamento massimo. Per w \to \infty, cioè per tutte le frequenze al di sopra della frequenza di taglio:

|\mathbf{H}| \approx 1 \mbox{ e } arg \mathbf{H} \approx 0

quindi il segnale di uscita viene trasmesso pressoché identico a quello di ingresso con sfasamento nullo. Il circuito RL è un filtro passa alto, per questo motivo.

Un altro modo è quello di usare la metodo operatoriale al circuito RL che trasforma le equazioni differenziali (e integrali) in equazioni algebriche.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]