Lagrangiana

In meccanica, la lagrangiana $\mathcal{L}$ di un sistema dinamico è un funzionale scalare che rappresenta la differenza tra l'energia cinetica e l'energia potenziale. Ciò si esprime in coordinate lagrangiane:

$\mathcal{L}_(\dot q, q, t) = T_(\dot q, q, t)- U_(q, t)$

Ha importanza fondamentale in quanto da essa si ricavano le equazioni del moto del sistema (esclusa l'influenza delle forze non conservative) esplicitabili attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange o attraverso il principio di Hamilton nel caso di in un sistema dinamico Lagrangiano, come ad esempio nel problema di Plateau e nel Modello standard.

Un esempio dalla meccanica classica

Il concetto di Lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come meccanica lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale di un sistema meccanico.

Supponiamo di avere uno spazio tridimensionale e la lagrangiana

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2- U(\vec{x})$

dove la derivata rispetto al tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la quantità che viene derivata.

Sfruttando il risultato sopra, possiamo mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale:

$\vec{F}=- \nabla U(x)$

quindi l'equazione risultante è

$\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}$

esattamente la stessa equazione in un approccio newtoniano per un oggetto di massa costante; una deduzione molto simile a questa ci dà l'espressione

$\vec{F}=d\vec{p}/dt$

che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.

Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in coordinate sferiche r, θ, φ; la forma della lagrangiana allora sarà

$\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)$

La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è:

$m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V'=0$

$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0$

$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0$

Qui l'insieme di parametri dinamici s_i sono ridotti al solo tempo t, mentre le variabili dinamiche φ(s) sono le traiettorie $\vec x(t)$ delle particelle scritte in coordinate polari.

Densità di Lagrangiana

In Teoria quantistica dei campi, viene sempre introdotta, al posto della Lagrangiana $\mathcal{L}$, il cui integrale nel tempo è l'azione

$\mathcal{S} = \int{\mathcal{L} \, \mathrm{d}t}$,

la densità di Lagrangiana $\rho_\mathcal{L} = \frac {d \mathcal{L}}{dV}$, dato che nelle teorie relativistiche è quest'ultima un campo scalare locale. L'azione è allora il suo integrale sullo spazio tempo:

$\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\rho_\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}$

Tuttavia specialmente nell'uso moderno $\rho_\mathcal{L}$ è spesso chiamata semplicemente Lagrangiana ed indicata con $\mathcal{L}$; di qui può nascere una confusione.

Formalismo matematico

Supponiamo di avere una varietà n-dimensionale M e una varietà "bersaglio" T. Sia $\mathcal{C}$ lo spazio delle configurazioni delle funzioni regolari da M a T.

Prima di continuare diamo alcuni esempi:

• Nella meccanica classica, M è la varietà monodimensionale $\mathbb{R}$, che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato tangente dello spazio delle posizioni generalizzate.
• Nella teoria dei campi, M è la varietà spaziotempo e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato; per esempio, se ci sono m campi scalari a valori reali, φ₁,...,φ_m, allora la varietà bersaglio è $\mathbb{R}^m$. Se il campo è un campo vettore reale, allora la varietà bersaglio è isomorfa a $\mathbb{R}^n$. Ci sarebbe un modo molto più elegante usando il legamento tangente su M, ma ci atterremo a questa versione.

Ora, supponiamo esista un funzionale, $S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}$, detto azione. Si noti che questo sarebbe una mappatura su $\mathbb{R}$, non su $\mathbb{C}$, per motivi fisici.

Affinché l'azione sia locale, è necessario imporre ulteriori restrizioni sull'azione. Se $\phi\in\mathcal{C}$, noi assumiamo che S(φ) sia l'integrale su M di una funzione di φ, della sua derivata, e che la posizione sia chiamata lagrangiana, $\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)$. In altre parole,

$\forall\phi\in\mathcal{C}\, S[\phi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)$.

La maggior parte delle volte noi assumeremo anche che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, ma non dalle altre: tuttavia questo non è vero in generale, ma solo una questione di convenienza. Manterremo questa assunzione per tutto il resto di questo articolo.

Date le condizioni al contorno, sostanzialmente specificando il valore di φ al bordo di M, se questo è compatto o fornendo alcuni limiti su φ quando x tende all'infinito (questo ci aiuterà nell'integrazione per parti), possiamo denotare il sottoinsieme di $\mathcal{C}$ che consiste di funzioni φ tali che tutte le derivate funzionali di S su φ sono nulle e φ soddisfa le condizioni al contorno date.

La soluzione è fornita dalle equazioni di Eulero-Lagrange (grazie alle condizioni al contorno)

$\partial_\mu \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0$.

Osserviamo che il membro sinistro è la derivata funzionale (cambiata di segno) dell'azione rispetto a φ.

Voci correlate

• Meccanica lagrangiana
• Teorema di Noether
• Equazioni di Eulero-Lagrange
• Lagrangiana di Proca
• Hamiltoniana
• Azione

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