Interpretazione di Bohm

David Bohm

L'interpretazione di Bohm (detta anche interpretazione causale o meccanica bohmiana) è un'interpretazione della meccanica quantistica formulata da David Bohm nel 1952. È un esempio di teoria a variabili nascoste, con la quale s'intende ottenere una descrizione deterministica della realtà, in modo da risolvere molti dei problemi aperti della meccanica quantistica nella interpretazione di Copenaghen, quali l'istantaneo collasso della funzione d'onda e la sovrapposizione di stati nel mondo macroscopico (Paradosso del gatto di Schrödinger).

Nell'interpretazione di Bohm si assume, a differenza della interpretazione di Copenaghen, l'incompletezza della funzione d'onda che descrive un sistema quantistico. Secondo Bohm, per fornire una descrizione deterministica e causale di un sistema, oltre alla funzione d'onda $\psi$ si dovrebbero conoscere le coordinate delle particelle del sistema all'istante iniziale (variabili nascoste). L'ontologia primitiva di Bohm è classica: postula una realtà fisica costituita da onde e particelle. L'ente centrale dell'interpretazione di Bohm è il potenziale quantico Q. Ad esso vanno ascritte le differenze tra meccanica classica

$F=m\,{\ddot {x}}=-\nabla V$

(con V potenziale classico) e meccanica quantistica, in cui agiscono sia il potenziale classico V, sia quello quantico Q:

$F=m\,{\ddot {x}}=-\nabla (V+Q).$

Precursori e successori

« "La versione di Bohm della meccanica quantistica è praticamente la teoria dell'onda pilota di de Broglie,

teoria portata alla sua logica conclusione.  L'intuizione essenziale del lavoro di Bohm è 
l'interpretazione della meccanica quantistica come teoria delle particelle in movimento: in
aggiunta alla funzione d'onda, la descrizione di un sistema quantistico include anche la sua
configurazione, vale a dire, le posizioni precise di tutte le particelle del sistema in cui è
sempre.  È proprio per questo motivo che la teoria di Bohm è spesso chiamata 
teoria delle variabili nascoste: si basa sull'idea che la meccanica quantistica non è completa
e deve essere completata aggiungendo parametri supplementari al formalismo.»

(Licata e D. Fiscaletti, 'Quantum potential: Physics, Geometry and Algebra' SpringerBriefs in Physics, DOI: 10.1007/978-3-319-00333-7_1)

L'interpretazione di Bohm riprende la teoria dell’onda pilota di Louis de Broglie del 1927. De Broglie enfatizza la coesistenza tra onda fisica e particella, controllata dalla condizione di guida di de Broglie

$v={\dot {x}}={\frac {\nabla S}{m}}$

dove $v$ ed $m$ sono la velocità e la massa della particella, $S$ la fase dell'onda.

L'ente centrale dell'interpretazione di Bohm è invece il potenziale quantico Q. Inoltre, mentre la teoria dell'onda pilota prevede una dinamica del primo ordine ($v={\dot {x}}$), nell'interpretazione di Bohm si ricava una dinamica del secondo ordine ($F=m\,{\ddot {x}}$), analoga a quella newtoniana. Per queste sostanziali differenze tra le due è impropria la definizione, piuttosto diffusa, di interpretazione di de Broglie-Bohm per indicare quella di Bohm.

Tale interpretazione non va, d'altro canto, confusa con l'omonima meccanica bohmiana, teoria proposta da Detlef Dürr, Sheldon Goldstein e Nino Zanghì alla fine degli anni '80 del Novecento. Anche nella teoria bohmiana - come in quella di de Broglie e nell'interpretazione di Bohm - si assume l'incompletezza della funzione d'onda: oltre alla $\psi$ si devono specificare le coordinate delle particelle del sistema ad un dato istante di tempo. La teoria bohmiana si discosta dall'interpretazione di Bohm in quanto non ricorre più al concetto di potenziale quantico Q, ma torna ad una dinamica del primo ordine ($v={\dot {x}}$) mediante l'introduzione della condizione di guida di Madelung

$v={\dot {x}}={\frac {\hbar }{m}}\,\operatorname {Im} \,{\frac {\psi ^{*}\nabla \psi }{|\psi |^{2}}}$.

Formalmente, ciò equivale a dire che per la descrizione di un sistema non basta la equazione di Schrödinger, ma va aggiunta una condizione di guida di Madelung per ogni particella del sistema quantistico.

Interpretazione / Teoria	Caratterizzata da
Interpretazione di Copenaghen	$\psi$ (completezza della funzione d'onda)
Teoria dell'onda pilota	$\psi$ + condizione di guida di de Broglie
Interpretazione di Bohm	$\psi$ + potenziale quantico Q
Meccanica bohmiana	$\psi$ + condizione di guida di Madelung

Formalismo matematico

Generalizzando l'espressione dell'equazione di Schrödinger per un sistema a molte particelle, si ottiene la forma

${i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)}{\partial t}}=\sum _{i}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}\psi (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)+V(\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } )\psi (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)}$.

La densità di probabilità $\rho (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)$ è una funzione reale definita da

$\rho (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)=R(\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)^{2}=|\psi (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)|^{2}=\psi ^{*}(\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)\psi (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)$.

La fase (che è una variabile reale) $S(\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)$ associata alla funzione d'onda risulta definita tramite l'usuale relazione valida per ogni numero complesso,

$\psi (\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)=R(\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)\;e^{iS(\mathbf {x_{1},x_{2},\dots } ,t)/\hbar }$.

L'equazione di Schrödinger può essere suddivisa in due equazioni accoppiate che prendono in considerazione i termini reali e immaginari:

$-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\sum _{i}\nabla _{i}\cdot \left(\rho {\frac {\nabla _{i}S}{m_{i}}}\right)\qquad$

$-{\frac {\partial S}{\partial t}}=V+Q+\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}(\nabla _{i}S)^{2}\qquad$

dove la prima relazione è una equazione di continuità che esprime la probabilità mentre l'ultima relazione che esprime l'energia totale come somma dell'energia potenziale, del potenziale quantistico e delle energie cinetiche.

Q è il potenziale quantistico ed è ricavabile dalla relazione

$Q=-\sum _{i}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}{\frac {\nabla _{i}^{2}R}{R}}=-\sum _{i}{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\left({\frac {\nabla _{i}^{2}\rho }{2\rho }}-\left({\frac {\nabla _{i}\rho }{2\rho }}\right)^{2}\right)$.

Bibliografia

• David Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden" Variables. I, in Physics Review, vol. 85, 1952, pp. 166-179.

• David Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden" Variables. II, in Physics Review, vol. 85, 1952, pp. 180-193.

• Robert Dabin, De Broglie-Bohm Theory: A Hidden Variables Approach to Quantum Mechanics (PDF), su imperial.ac.uk, 2009. URL consultato il 4 giugno 2022.

• Sheldon Goldstein, Bohmian Mechanics, su plato.stanford.edu, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2021. URL consultato il 17 maggio 2022.

• Basil J. Hiley, Bohm Interpretation of Quantum Mechanics, in Daniel Greenberger, Klaus Hentschel e Friedel Weinert (a cura di), Compendium of Quantum Physics, Springer, 2009, pp. 43-47.

• Peter R. Holland, The Quantum Theory of Motion: An Account of the de Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 1993.

Collegamenti esterni

• Robert Dabin, De Broglie-Bohm Theory: A Hidden Variables Approach to Quantum Mechanics (PDF), su imperial.ac.uk, 2009. URL consultato il 4 giugno 2022.

• Sheldon Goldstein, Bohmian Mechanics, su plato.stanford.edu, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2021. URL consultato il 17 maggio 2022.

Voci correlate

• Determinismo
• Dualismo onda-particella
• Indeterminismo
• Interpretazione della meccanica quantistica
• Interpretazione di Copenaghen
• Ipotesi di de Broglie
• Meccanica quantistica
• Ontologia (fisica)
• Postulati della meccanica quantistica
• Teorie delle variabili nascoste

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