Numero di Prandtl

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Il numero di Prandtl (abbreviato spesso con Pr) è un gruppo adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.

Il suo analogo per lo scambio materiale è il numero di Schmidt.

Definizione matematica

È definito come:

$Pr={\nu \over \alpha }={\mu c_{p} \over k}$

dove (relativamente al fluido in esame):

• ν è la diffusività cinematica;
• α è la diffusività termica;
• μ è la viscosità dinamica (misurata in [Pa s] = [kg/(m s)] nel SI);
• $c_{p}$ è il calore specifico a pressione costante (misurato in [J/(kg K)] = [m²/(K s²)] nel SI);
• k è la conducibilità termica (misurata in [W/(m K)] = [kg m/(K s³)] nel SI).

Formulazione della definizione matematica

L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

$\rho D_{t}h=-\nabla \cdot \mathbf {q} +\tau :\nabla u$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• $D_{t}h$ è la derivata materiale temporale dell'entalpia specifica ( nel SI in [J/kg] = [m^2/s^3] )
• $\mathbf {q}$ è il flusso termico ( nel SI in [W/(m ^ 2)] = [Kg /(s^3)] )
• τ : ∇u è la dissipazione ( nel SI in [W] )
• τ è il tensore dello sforzo di taglio ( nel SI in [Pa] )
• ∇u è il gradiente della velocità di flusso ( nel SI in [s]^-1 )

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando l'equazione dell'energia di Navier Stokes, ovvero quella per un fluido viscoso. Il corpo continuo che segue la legge di Stokes e la legge di Fourier:

$\rho c_{p}D_{t}T=\nabla \cdot (k\nabla T)+\mu \nabla ^{2}u$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• k è la conducibilità termica( nel SI in [W/m K] )
• μ è la viscosità dinamica ( nel SI in [Pa s] )
• T è la temperatura ( dimensionalmente [K] )

nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

$\rho c_{p}D_{t}T=k\nabla ^{2}T+\mu \nabla ^{2}u$,

ovvero:

$D_{t}T=\alpha \nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$,

in cui (relativamente al fluido in esame):

• α è la diffusività termica;
• ν è la diffusività cinematica.

Adimensionalizzando ora $T'={\frac {T-T_{0}}{\nabla ^{2}T}}$ e $\nabla '=L\nabla$ risulta che:

$(\mathbf {u} \cdot {\frac {\nabla '}{L}}+{\frac {\partial }{\partial t}})T'\nabla ^{2}T=\alpha {\frac {\nabla '^{2}}{L^{2}}}T'\nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$,

perciò:

$({\frac {L}{\alpha }}\mathbf {u} \cdot \nabla '+{\frac {\partial }{\partial ({\frac {\alpha }{L^{2}}}t)}})T'=\nabla '^{2}T'+{\frac {\nu }{\alpha }}{\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\Phi$,

ora $(\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} )'={\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\nabla ^{2}u$ è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione dell'energia di Navier Stokes diventa:

$D_{t}'T'=\nabla '^{2}T'+Pr\nabla '^{2}u'$

Interpretazione fisica

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

• circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
• tra 100 e 40.000 nel caso degli oli motore;
• circa 0,015 per il mercurio.
• circa 7 per l'acqua (a 20 °C).

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle, per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

Voci correlate

• Numero di Sherwood
• Numero di Eckert
• Numero di Lewis
• Numero di Schmidt