Numero di Prandtl

Il numero di Prandtl (abbreviato spesso con $Pr$) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.

Il suo analogo per lo scambio materiale è il numero di Schmidt.

Definizione matematica

È definito come:

$Pr={\nu \over \alpha }={\mu c_{p} \over k}$

dove (relativamente al fluido in esame):

• $v$ è la diffusività cinematica;
• $\alpha$ è la diffusività termica;
• $\mu$ è la viscosità dinamica, misurata nel Sistema Internazionale (SI) in $\mathrm {Pa} \cdot s={\frac {kg}{m\cdot s}}$;
• $c_{p}$ è il calore specifico a pressione costante, misurato nel SI in ${\frac {\mathrm {J} }{kg\cdot \mathrm {K} }}={\frac {m^{2}}{\mathrm {K} \cdot s^{2}}}$;
• $k$ è la conducibilità termica, misurata nel Si in ${\frac {\mathrm {W} }{m\cdot \mathrm {K} }}={\frac {kg\cdot m}{\mathrm {K} \cdot s^{3}}}$.

Formulazione della definizione matematica

L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

$\rho D_{t}h=-\nabla \cdot \mathbf {q} +\tau :\nabla u$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• $D_{t}h$ è la derivata materiale temporale dell'entalpia specifica $\left({\frac {\mathrm {J} }{kg}}={\frac {m^{2}}{s^{3}}}\right)$
• $\mathbf {q}$ è il flusso termico $\left({\frac {\mathrm {W} }{m^{2}}}={\frac {kg}{s^{3}}}\right)$
• $\tau :\nabla u$ è la dissipazione $(\mathrm {W} )$
• $\tau$ è il tensore dello sforzo di taglio $(\mathrm {Pa} )$
• $\nabla u$ è il gradiente della velocità di flusso $(s^{-1})$.

Le unità di misura sono tutte intese nel Sistema Internazionale.

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando l'equazione dell'energia di Navier Stokes, ovvero quella per un fluido viscoso. Il corpo continuo che segue la legge di Stokes e la legge di Fourier:

$\rho c_{p}D_{t}T=\nabla \cdot (k\nabla T)+\mu \nabla ^{2}u$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• $k$ è la conducibilità termica $\left({\frac {\mathrm {W} }{m\cdot \mathrm {K} }}\right)$
• $\mu$ è la viscosità dinamica $(\mathrm {Pa} \cdot s)$
• $T$ è la temperatura $(\mathrm {K} )$.

Nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

$\rho c_{p}D_{t}T=k\nabla ^{2}T+\mu \nabla ^{2}u$,

ovvero:

$D_{t}T=\alpha \nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$,

in cui (relativamente al fluido in esame):

• $\alpha$ è la diffusività termica;
• $\nu$ è la diffusività cinematica.

Adimensionalizzando ora $T'={\frac {T-T_{0}}{\nabla ^{2}T}}$ e $\nabla '=L\nabla$ risulta che:

$\left(\mathbf {u} \cdot {\frac {\nabla '}{L}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)T'\nabla ^{2}T=\alpha {\frac {\nabla '^{2}}{L^{2}}}T'\nabla ^{2}T+{\frac {\nu }{c_{p}}}\nabla ^{2}v$,

perciò:

$\left({\frac {L}{\alpha }}\mathbf {u} \cdot \nabla '+{\frac {\partial }{\partial \left({\frac {\alpha }{L^{2}}}t\right)}}\right)T'=\nabla '^{2}T'+{\frac {\nu }{\alpha }}{\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\Phi$,

ora $(\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} )'={\frac {L^{2}}{c_{p}\nabla ^{2}T}}\nabla ^{2}u$ è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione dell'energia di Navier Stokes diventa:

$D_{t}'T'=\nabla '^{2}T'+Pr\nabla '^{2}u'$

Interpretazione fisica

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

• circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
• tra 100 e 40000 nel caso degli oli motore;
• circa 0,015 per il mercurio.
• circa 7 per l'acqua (a 20 °C).

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, ha viscosità e conducibilità termica nulle, per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

Voci correlate

• Numero di Sherwood
• Numero di Eckert
• Numero di Lewis
• Numero di Schmidt