Numero di Froude

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Il numero di Froude (abbreviato come o ) è un gruppo adimensionale che mette in relazione la forza d'inerzia e la forza peso; deve il suo nome a quello dell'ingegnere idrodinamico ed architetto navale inglese William Froude.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Il numero di Froude è definito come la radice quadrata del rapporto fra forza d'inerzia e forza peso, ovvero:[1]

dove:

  • 0 è una lunghezza di riferimento [m];
  • è il modulo di una velocità di riferimento [m/s];
  • è il modulo dell'accelerazione di gravità [m/s²].

Il numero di Froude può essere anche espresso in funzione del numero di Richardson (è infatti il reciproco della sua radice quadrata).

L'inverso del numero di Froude è pari al numero di Reech.[2]

Origine[modifica | modifica wikitesto]

Per ricavare l'espressione del numero di Froude, si esprime il rapporto tra forza d'inerzia e forza peso in termini generali.

La forza d'inerzia () può essere scritta, in base al secondo principio della dinamica classica, come prodotto tra massa () ed accelerazione ():

In una situazione generica, considerando l'equazione in termini di modulo dei vettori, si considera una massa di riferimento , mentre l'accelerazione può essere espressa come il rapporto tra una lunghezza di riferimento e il quadrato di un tempo di riferimento , cioè:

moltiplicando e dividendo per , si ottiene:

Si pone pari ad una velocità di riferimento , per cui:

La forza peso risulta essere il prodotto tra massa di un corpo ed accelerazione di gravità agente su di esso, ovvero:

Ricorrendo a delle grandezze di riferimento, possiamo scrivere:

Dividendo membro a membro le espressioni delle due forze in termini di grandezze di riferimento, abbiamo:

a questo punto, mettendo il rapporto delle forze sotto radice, si ottiene l'espressione del numero di Froude:

Adimensionalità[modifica | modifica wikitesto]

Per verificare l'adimensionalità del numero di Froude si sfrutta l'analisi dimensionale, cioè si esprimono i parametri in termini di grandezze fondamentali nel sistema internazionale di unità di misura.

Considerando l'equazione dimensionale[3]:

Siccome il risultato dell'eguaglianza è un valore numerico privo di unità di misura, ne discende che il numero di Froude è un numero adimensionale.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Correnti fluviali a pelo libero[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Correnti a pelo libero.

Per lo studio delle correnti a pelo libero, la lunghezza caratteristica del numero di Froude assume il valore dell'altezza del tirante idrico della sezione trasversale fluviale rettangolare di area uguale a quella della sezione trasversale considerata, quindi:[4]

dove:

  • è la velocità media della corrente nella sezione trasversale del fiume, in m/s;
  • è l'area bagnata nella sezione, in m²;
  • è la larghezza del pelo libero in superficie nella sezione, in m;
  • è l'altezza del tirante idrico della sezione rettangolare di area uguale a quella della sezione considerata, in m.

Dal numero di Froude si può determinare:

  • se la corrente in una certa sezione trasversale sarà subcritica (lenta), critica o supercritica (veloce);
  • se quando c'è il passaggio della corrente attraverso l'altezza critica si verifica un risalto idraulico o un salto diretto[non chiaro];
  • il tipo di risalto idraulico che si verifica.

Corrente subcritica, critica e supercritica[modifica | modifica wikitesto]

La seguente trattazione parte dall'ipotesi che il vettore velocità della perturbazione abbia una componente verticale costante, perciò non rientrano tra queste le comuni onde marine e le onde generate dalle navi con il loro moto (le onde a cui Froude era maggiormente interessato).

Il numero di Froude ha un significato cinematico correlato alla tipologia di regime di moto di una corrente a pelo libero, che può essere di tipo subcritico, critico o supercritico. Inoltre, si può dimostrare che per un liquido incomprimibile confinato inferiormente in un canale, la quota del pelo libero dipende dal numero di Froude.

A tal fine, si consideri una perturbazione della superficie libera di ampiezza infinitesima che risale la corrente con velocità di modulo , assunto positivo quando il vettore velocità della perturbazione è di verso opposto al vettore velocità della corrente e negativo quando il vettore ha lo stesso verso del vettore . A causa dell'innalzamento della superficie libera in prossimità della perturbazione si ha un rallentamento infinitesimo della corrente .

Si applicano i bilanci di massa e di energia al volume di controllo in esame[non chiaro], assunto il moto unidirezionale rispetto all'asse orizzontale e quindi considerando solo i moduli dei vettori velocità, per e per .

  • dal bilancio di massa si ricava:
  • dal bilancio di energia si ricava:
    dove indica la quota del fondo del canale.

Dal bilancio di massa, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente l'espressione:

la quale semplificata equivale a:

.

Riarrangiando i termini si ottiene:

.

Sfruttando l'equazione del bilancio di energia e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente espressione:

che semplificata equivale a:

.

Inserendo tale espressione di nell'equazione del bilancio di massa, si ottiene:

Semplificato il termine e moltiplicando entrambi i membri dell'equazioni per , si ottiene:

.

Applicando la radice quadra ad entrambi i membri dell'equazione si ottengono le seguenti due soluzioni distinte e :

Esplicitando nelle due equazioni si ha:

La velocità di un lato del fronte d'onda della perturbazione () è sempre di segno negativo, essendo dato dalla somma cambiata di segno di due quantità sempre positive, e quindi discende sempre la corrente; la velocità dell'altro lato della perturbazione (), invece, può essere di segno negativo o positivo a seconda che sia rispettivamente maggiore o minore di .

Perciò, qualora il fronte d'onda di monte della perturbazione non riesca a risalire la corrente, cioè nel caso sia maggiore di e quindi maggiore di , il numero di Froude è maggiore di 1, e si è in condizioni supercritiche[5]; nel caso in cui il fronte d'onda di monte della perturbazione riesca a risalire la corrente, cioè nel caso sia inferiore di e quindi inferiore di , il numero di Froude è minore di 1, e si dice che si è in condizioni subcritiche[6].

Ricapitolando si ha che:[4]

  • se la corrente è subcritica (lenta);
  • se la corrente è nel suo punto critico;
  • se la corrente è supercritica (veloce).

A parità di condizioni al contorno, il tirante idrico in regime di moto subcritico risulta essere maggiore di quello in regime di moto supercritico.

Risalto idraulico[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Risalto idraulico.
Risalto idraulico lungo un fiume

Per valutare il raccordo tra corrente lenta e corrente veloce si ha che:

  • se si è in presenza di un salto diretto;
  • se si è in presenza di un risalto idraulico.[senza fonte]

Per conoscere il tipo di risalto idraulico che si verifica si fa riferimento al valore del numero di Froude nella sezione di monte al passaggio dalla corrente veloce alla corrente lenta; in particolare si hanno i seguenti intervalli di valori:[7]

  • se si ha un risalto ondulato, con onde stazionarie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è di poco maggiore a quella di monte;
  • se si ha un risalto debole, con piccole ondulazioni della superficie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è due o tre volte quella di monte;
  • se si ha un risalto oscillante, con pulsazioni intense che possono danneggiare i canali in terra;
  • se si ha un risalto stazionario, con onde stabili e grandi dissipazioni di energia;
  • se si ha un risalto impetuoso, con onde violente e intermittenti e l'altezza coniugata nel risalto di valle è maggiore di dodici volte quella di monte.

Idrodinamica navale[modifica | modifica wikitesto]

Tipo di moto ondoso e velocità per valori differenti del numero di Froude.

Nelle applicazioni idrodinamiche marine, il numero di Froude viene solitamente indicato con la notazione ed è definito come:[8]

dove:

  • è la velocità di flusso relativa tra mare e nave;
  • è l'accelerazione di gravità;
  • è la lunghezza della nave al livello della linea di galleggiamento, o in alcune notazioni.

È un parametro importante rispetto alla resistenza al moto della nave, specialmente in termini di resistenza d'onda.

Nel caso di imbarcazioni plananti, dove la lunghezza della linea di galleggiamento è troppo dipendente dalla velocità per essere significativa, il numero di Froude è meglio definito come "numero di Froude volumetrico" e la lunghezza di riferimento è considerata come la radice cubica dello spostamento volumetrico dello scafo:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Weisstein (1).
  2. ^ Weisstein (2).
  3. ^ Le parentesi quadre attorno ad una grandezza indicano che si stanno considerando le sue unità di misura.
  4. ^ a b Çengel et al. (2007), p. 436.
  5. ^ essendo maggiore della velocità critica
  6. ^ essendo minore della velocità critica
  7. ^ Çengel et al. (2007), p. 472.
  8. ^ Newman (1977), p. 28.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti[modifica | modifica wikitesto]