Numero di Froude

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Il numero di Froude, abbreviato come Fr, è un gruppo adimensionale che mette in relazione la forza d'inerzia e la forza peso. Deve il suo nome a quello dell'ingegnere idrodinamico ed architetto navale inglese William Froude.

Il numero di Froude è definito come la radice quadrata del rapporto fra forza d'inerzia e forza peso, ovvero:[1]

\mathrm{Fr} = \sqrt {\frac{V^2_0}{g \, L_0}} = \frac{V_0}{\sqrt{g \, L_0}}

dove:

Il numero di Froude può essere anche espresso in funzione del numero di Richardson (è infatti il reciproco della sua radice quadrata).

Formulazione del numero di Froude[modifica | modifica wikitesto]

Per ricavare l'espressione precedente che definisce il numero di Froude, bisogna anzitutto esprimere il rapporto tra forza d'inerzia e forza peso in termini generali.

La forza d'inerzia (F) può essere scritta, in base al secondo principio della dinamica classica, come prodotto tra massa (m) ed accelerazione (a):

F = ma

In una situazione generica, si considera una massa di riferimento m_0, mentre l'accelerazione a può essere espressa come il rapporto tra una lunghezza di riferimento L_0 e il quadrato di un tempo di riferimento t_0, cioè:

F = \frac {m_0 \, L_0}{t_0^2}

moltiplicando e dividendo per L_0, si ottiene:

F = \frac {m_0 \, L_0^2}{t_0^2 \, L_0}

Si pone \frac {L_0}{t_0} pari ad una velocità di riferimento V_0, per cui:

F = \frac {m_0 \, V_0^2}{L_0}

La forza peso (P) risulta essere il prodotto tra massa di un corpo ed accelerazione di gravità agente su di esso, ovvero:

P = mg

Ricorrendo a delle grandezze di riferimento, possiamo scrivere:

P = m_0 \, g

Dividendo membro a membro le espressioni delle due forze in termini di grandezze di riferimento, abbiamo:

\frac{F}{P} = \frac { \left(\frac {m_0 \, V_0^2}{L_0}\right) }{m_0 \, g} = \frac {V_0^2}{g \, L_0}

a questo punto, mettendo il rapporto delle forze sotto radice, si ottiene l'espressione del numero di Froude:

\sqrt{\frac{F}{P}} = \sqrt{\frac {V_0^2}{g \, L_0}} = \mathrm{Fr}

Adimensionalità del numero di Froude[modifica | modifica wikitesto]

Per verificare l'adimensionalità del numero di Froude bisogna sfruttare l'analisi dimensionale, ovvero esprimere le varie grandezze in termini di grandezze fondamentali.

Considerando l'equazione dimensionale[2]:

[\mathrm{Fr}]={[V]\over[\sqrt {gh}]}={[m \cdot s^{-1}] \over [m \cdot s^{-2} \cdot m]^{1 \over 2}}={{[m] \cdot [s]^{-1}} \over {[m] \cdot [s]^{-1}}}=1

siccome il risultato dell'eguaglianza è un valore numerico privo di unità di misura, ne discende che il numero di Froude è un numero adimensionale.

Significato cinematico del numero di Froude[modifica | modifica wikitesto]

La seguente trattazione parte dall'ipotesi che la perturbazione della velocità sia verticalmente costante. Le comuni onde marine e le onde generate dalle navi col loro moto (cioè le onde a cui Froude era maggiormente interessato) non rientrano tra queste.

Il numero di Froude ha un importante significato cinematico in quanto a seconda del valore che esso assume una corrente può essere di tipo subcritico o supercritico. Inoltre sempre partendo dal numero di Froude si può dimostrare che per i moti di un liquido incomprimibile confinato in un canale la quota del pelo libero dipende dal numero di Froude. Tale relazione può essere agevolmente dimostrata considerando una perturbazione della superficie libera, di ampiezza infinitesima dh che risale la corrente con velocità a, assunta positiva quando il vettore velocità della perturbazione è antiparallelo (stessa direzione, ma verso opposto) al vettore velocità \vec U e negativa quando il vettore \vec a è parallelo al vettore velocità della corrente. Inoltre a causa dell'inalzamento della superficie libera in prossimità della perturbazione si avrà un rallentamento infinitesimo della corrente dU. Al volume di controllo preso in esame si possono quindi applicare i bilanci di massa e di energia.

Dal bilancio di massa si ricava:

(U+a)\cdot h = (U+a-dU)\cdot (h+dh)

mentre dal bilancio di energia si ricava,

h+z+\frac{1}{2 \,g} (U+a)^2 = h+dh+z+\frac{1}{2 \,g}(U+a-dU)^2

dove la lettera z indica la quota del fondo del canale. Si noti inoltre che sui vettori velocità è stato tralasciato il segno di vettore in quanto per ipotesi si è assunto il moto unidirezionale rispetto all'asse orizzontale. Dal bilancio di massa trascurando gli infinitesimi di ordine superiore si ricava quindi l'espressione

(U+a)\cdot h = (U+a)\cdot h+(U+a)\cdot dh-dU\cdot h

la quale semplificata equivale a

0 = (U+a)\cdot dh-dU\cdot h.

infine portando il termine con (U + a) a sinistra si ottiene

(U+a)\cdot dh = dU\cdot h.

Sfruttando quindi la seconda equazione con il bilancio di energia e sempre trascurando gli infinitesimi di ordine superiore si ricava la seguente espressione

\frac{1}{2 \,g}(U+a)^2 = dh+\frac{1}{2 \,g}((U+a)^2-2(U+a)dU)

che semplificata equivale a

dh=\frac1 g (U+a)dU.

Inserendo quindi l'espressione precedente ricavata in funzione di dh nell'equazione del bilancio di massa

\frac 1 g(U+a)^2dU = dUh.

e moltiplicando da entrambi i lati con g dopo aver semplificato il termine dU presente da entrambi i lati dell'equazione si ottiene quindi

(U+a)^2 = g\cdot h .

Facendo la radice quadra sempre su entrambi i lati

(U+a) = +\sqrt {gh}
(U+a) = -\sqrt {gh}

si ottengono le seguenti espressioni, dalle quali è immediato verificare che si hanno due soluzioni distinte. Portando quindi in entrambi i casi tutti i termini eccetto il vettore a a destra si ricava

a_1 =-U+\sqrt {gh}
a_2 =-U-\sqrt {gh}

che una delle due onde della perturbazione deve essere sempre di segno negativo e discende quindi la corrente mentre la prima può essere di segno negativo o positivo a seconda che U sia maggiore o minore di \sqrt {gh}. Ricordando quindi la definizione del numero di Froude che nel caso preso in esame si scrive nella seguente maniera

\mathrm{Fr} = \sqrt {\frac{U^2}{g \, h}}

e constatato che g è una costante mentre la velocità U è data dalle condizioni iniziali, si può notare che in condizioni supercritiche, qualora la prima perturbazione non riesca a risalire la corrente, quindi nel caso U fosse maggiore di a e quindi maggiore di \sqrt{gh} il numero di Froude è maggiore ad uno. Inoltre sempre sfruttando le relazioni precedenti è possibile verificare che in condizione subcritiche, quindi nel caso U sia inferiore ad a, il tirante idrico h risulta essere maggiore di quello in condizioni supercritiche.

Nei fiumi[modifica | modifica wikitesto]

Il numero di Froude viene utilizzato nello studio delle correnti fluviali. Da tale numero si può capire rapidamente se la corrente in una certa sezione sarà lenta o veloce, e quando c'è il passaggio da un all'altra si verificano risalto idraulico o un salto diretto. Esattamente:

  • Fr =1 la corrente è nel suo punto critico
  • Fr < 1 la corrente è lenta
  • Fr > 1 la corrente è veloce

Per valutare il raccordo tra corrente lenta e corrente veloce:

  • Fr2 < 2 Salto diretto
  • Fr2 > 2 Risalto idraulico

Si può utilizzare la formula del numero di Froude modificata per i fiumi:

\mathrm{Fr^2} =  {\frac{Q^2}{g b^2 y^3}} =  {\frac{q^2}{g y^3}}

Dove:

  • Q è la portata totale del fiume in m3/s
  • b è la larghezza dell'alveo torrentizio
  • y è l'altezza della corrente
  • q=Q/b è la portata unitaria in m3/s/m oppure in m2/s

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ http://www.tesaf.unipd.it/dmt/MatDidattico/Modulo2/0215b_GREGORETTI_PiccolePerturbazioniCanaliPeloLibero.pdf
  2. ^ Le parentesi quadre attorno ad una grandezza indicano che si stanno considerando le sue unità di misura.
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