Numero di Rayleigh

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Il numero di Rayleigh è il gruppo adimensionale delle forze di galleggiamento. Viene spesso adoperato in geofisica poiché permette di determinare le condizioni di innesco dei moti verticali in fluidi viscosi incomprimibili, la cui temperatura cresce con la profondità.

Per i fluidi newtoniani e fourieriani nell'approssimazione di Oberbeck-Boussinesq:  Ra = \frac{\rho_0 \beta_0 g L^3 \nabla^2 T}{\mu\alpha_0} dove:

Si ottiene adimensionalizzando le equazioni di Navier-Stokes della quantità di moto lungo la direzione del campo gravitazionale nell'approssimazione di Boussinesque, inserendole quella della massa e seguendo l'adimensionalizzazione impostata in quella dell'energia ai fluidi fourieriani che porta al numero di Prandtl: (\frac{L}{\alpha_0}\mathbf v \cdot \nabla' + \frac{\partial}{\partial (\frac{\alpha_0}{L^2} t)}) T' = \nabla'^2 T' + Pr \Phi'.

Quindi partendo da

  • (\nabla' = L \nabla ),
  • (\frac{D_0'}{D_0't_0'} = \frac{L^2}{\alpha_0}\frac{D}{Dt}),
  • \mathbf v_0' = \frac{L}{\alpha_0}\mathbf v e
  • t_0' = \frac{\alpha_0}{L^2} t ,

li si sostituiscono nell'equazione \rho_0(\frac{D}{Dt})\mathbf (v)_g = - (\nabla P_0)_g + \rho_0 \beta_0 g (T-T_0) + \mu \nabla^2 \mathbf (v_0)_g, dove  P_0=p+\rho_0(\mathbf g \cdot \mathbf r) è il carico piezometrico alla densità a temperatura approssimata all'ordine zero T_0:

\rho_0(\frac{\alpha_0}{L^2}\frac{D_0'}{D_0't_0'})\frac{\alpha_0}{L} \mathbf (v'_0)_g = - (\frac{\nabla'}{L} P_0)_g + (\rho_0 \beta_0 g \nabla T) T' + \mu \frac{\nabla'^2}{L^2}\frac{\alpha_0}{L} \mathbf (v'_0)_g.

Si isola quindi il termine viscoso: \frac{\rho_0 \alpha_0}{\mu}\frac{D_0'}{D_0't_0'}\mathbf (v'_0)_g = - (\nabla' \frac{L^2}{\mu \alpha_0}P_0)_g + \frac{\rho_0 \beta_0 g L^3 \nabla^2 T}{\mu\alpha_0} T'+ \nabla'^2(v'_0)_g, che diventa infine:

\frac{1}{Pr}\frac{D_0'}{D_0't_0'}\mathbf (v'_0)_g = - (\nabla' P'_0)_g + Ra T'+ \nabla'^2(v'_0)_g

Il numero di Rayleigh può perciò essere interpretato come il rapporto tra forze di galleggiamento e forze d'attrito viscoso: a tal fine conviene considerare un esempio pratico: uno strato fluido alla temperatura di equilibrio T(inf) a contatto con una parete più calda (o più fredda) alla temperatura T(s). La zona di fluido che sta a contatto con la parete si riscalda (o raffredda), e la sua densità varia in modo proporzionale alla differenza di temperatura δT tra fluido e parete. Il termine che sta al numeratore del numero di Rayleigh quantifica proprio la variazione di peso di un volume cubico di fluido di lato l a causa di tale differenza di temperatura. Tale variazione viene anche chiamata, appunto, forza di galleggiamento.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]