Numero di Rayleigh

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il numero di Rayleigh è un gruppo adimensionale utilizzato per lo studio delle forze di galleggiamento.

Prende il nome da John William Strutt Rayleigh.

Definizione matematica[modifica | modifica wikitesto]

Per i fluidi newtoniani e fourieriani, il numero di Rayleigh può essere calcolato attraverso l'approssimazione di Oberbeck-Boussinesq:

 Ra = \frac{\rho_0 \beta_0 g L^3 \nabla^2 T}{\mu\alpha_0}

dove:

Formulazione matematica[modifica | modifica wikitesto]

Si ottiene adimensionalizzando le equazioni di Navier-Stokes della quantità di moto lungo la direzione del campo gravitazionale nell'approssimazione di Boussinesq, inserendole quella della massa e seguendo l'adimensionalizzazione impostata in quella dell'energia ai fluidi fourieriani che porta al numero di Prandtl:

(\frac{L}{\alpha_0}\mathbf v \cdot \nabla' + \frac{\partial}{\partial (\frac{\alpha_0}{L^2} t)}) T' = \nabla'^2 T' + Pr \Phi'.

Quindi partendo da :

  • (\nabla' = L \nabla ),
  • (\frac{D_0'}{D_0't_0'} = \frac{L^2}{\alpha_0}\frac{D}{Dt}),
  • \mathbf v_0' = \frac{L}{\alpha_0}\mathbf v e
  • t_0' = \frac{\alpha_0}{L^2} t ,

li si sostituiscono nell'equazione:

\rho_0(\frac{D}{Dt})\mathbf (v)_g = - (\nabla P_0)_g + \rho_0 \beta_0 g (T-T_0) + \mu \nabla^2 \mathbf (v_0)_g

dove  P_0=p+\rho_0(\mathbf g \cdot \mathbf r) è il carico piezometrico alla densità a temperatura approssimata all'ordine zero T_0:

\rho_0(\frac{\alpha_0}{L^2}\frac{D_0'}{D_0't_0'})\frac{\alpha_0}{L} \mathbf (v'_0)_g = - (\frac{\nabla'}{L} P_0)_g + (\rho_0 \beta_0 g \nabla T) T' + \mu \frac{\nabla'^2}{L^2}\frac{\alpha_0}{L} \mathbf (v'_0)_g.

Si isola quindi il termine viscoso:

\frac{\rho_0 \alpha_0}{\mu}\frac{D_0'}{D_0't_0'}\mathbf (v'_0)_g = - (\nabla' \frac{L^2}{\mu \alpha_0}P_0)_g + \frac{\rho_0 \beta_0 g L^3 \nabla^2 T}{\mu\alpha_0} T'+ \nabla'^2(v'_0)_g

che diventa infine:

\frac{1}{Pr}\frac{D_0'}{D_0't_0'}\mathbf (v'_0)_g = - (\nabla' P'_0)_g + Ra T'+ \nabla'^2(v'_0)_g

Correlazione con altri numeri adimensionali[modifica | modifica wikitesto]

Il numero di Rayleigh è pari al prodotto del numero di Grashof per il numero di Prandtl:[1]

Ra = Gr·Pr

Interpretazione fisica[modifica | modifica wikitesto]

Il numero di Rayleigh può essere interpretato come il rapporto tra forze di galleggiamento e forze d'attrito viscoso.

Il valore del numero di Rayleigh che corrisponde al sopraggiungere delle condizioni di convezione è detto "numero di Rayleigh critico".[1]

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Uno strato fluido alla temperatura di equilibrio T(inf) a contatto con una parete più calda (o più fredda) alla temperatura T(s). La zona di fluido che sta a contatto con la parete si riscalda (o raffredda), e la sua densità varia in modo proporzionale alla differenza di temperatura δT tra fluido e parete.

Il termine che sta al numeratore del numero di Rayleigh quantifica proprio la variazione di peso di un volume cubico di fluido di lato l a causa di tale differenza di temperatura. Tale variazione corrisponde alla forza di galleggiamento.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

Viene spesso adoperato in geofisica poiché permette di determinare le condizioni di innesco dei moti verticali in fluidi viscosi incomprimibili, la cui temperatura cresce con la profondità.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b (EN) scienceworld.wolfram.com, Rayleigh Number

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]