Covarianza e controvarianza

Nell'algebra multilineare e nel calcolo tensoriale, covarianza e controvarianza descrivono il modo in cui la descrizione di una data entità geometrica o fisica cambia quando si passa da un sistema di coordinate ad un altro.

• Un vettore è detto controvariante, e le sue componenti contravariano al fine di mantenerne l'invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate avviene in maniera opposta rispetto al cambio di base, il quale rappresenta la rispettiva trasformazione inversa. La notazione di Einstein indica i vettori come:

$\mathbf{v} = v^i \mathbf{e}_i \,$

• Un vettore duale, ovvero appartenente allo spazio duale dello spazio di partenza, è detto covariante, e le sue componenti covariano al fine di mantenerne l'invarianza rispetto al sistema di riferimento: la trasformazione delle coordinate è la stessa del cambio di base. La notazione di Einstein indica i vettori come:

$\mathbf{v} = v_i \mathbf{e}^i \,$

Il concetto di covarianza e controvarianza è di grande importanza nell'ambito dei tensori, oggetti matematici che sono in generale caratterizzati sia da componenti covarianti che controvarianti, e che per tale motivo sono detti avere varianza mista.

Introduzione

Dato uno spazio vettoriale V con una base $\{ \bar{e}_i \}$ e il suo spazio duale V* con la base duale $\{ \bar{e}^i \}$, in relazione a tale dualità gli elementi di V* si dicono covettori in quanto sono dei funzionali lineari sullo spazio V che, grazie al teorema di Riesz, possono essere "combinati" con gli elementi di V, cioè i vettori, per dare uno scalare. Dopodiché i vettori e i covettori restano due oggetti distinti, definiti in spazi distinti, aventi ognuno le proprie componenti rispetto alla base data:

• le componenti del vettore $\bar v$ rispetto a $\{ \bar{e}_i \}$ vengono indicate con vⁱ e si dicono componenti controvarianti;
• le componenti di una applicazione f rispetto a {eⁱ} vengono indicate con f_i e si dicono componenti covarianti.

Secondo questo approccio, dire "componenti controvarianti" è come dire "componenti di un vettore", e dire "componenti covarianti" è come dire "componenti di un covettore". Nonostante ciò si sente anche parlare delle componenti covarianti e controvarianti di certi oggetti geometrici (come, appunto, i vettori, e più in generale i tensori), come se i due tipi di componenti non fossero le componenti di due oggetti diversi, ma due diversi tipi di componenti di un medesimo oggetto.

Questo oggetto suscettibile di avere due tipi di componenti, può essere inteso in diversi modi. In generale lo si può concepire come un oggetto astratto, suscettibile di presentarsi in due forme diverse: nella forma di vettore e in quella di covettore. D'altra parte, come viene spiegato negli articoli sullo spazio duale e sulla base duale affinché un vettore e un covettore possano rappresentare lo stesso oggetto bisogna che esista una qualche corrispondenza fra di essi, ovvero una corrispondenza fra lo spazio dei vettori V e il suo duale V*. Una tale corrispondenza, a sua volta, resta definita quando sullo spazio vettoriale V sia dato un prodotto scalare. Ne viene che per poter concepire un vettore e un covettore come due rappresentazioni diverse di uno stesso oggetto dobbiamo porci in uno spazio di prodotto scalare.

In tal caso, però, come è spiegato nell'articolo sulla base duale, questo oggetto suscettibile di avere componenti covarianti e controvarianti non deve essere considerato necessariamente un oggetto astratto, poiché possiamo pensare ad esso come gli stessi vettori di V, i quali, data una certa base $\{ \bar{e}_i \}$ possono essere descritti da una n-pla di "componenti", in vari modi, a seconda di quali relazioni vengano poste fra il vettore e la base. Nel caso particolare degli spazi euclidei tali possibili relazioni si riconducono ai due tipi principali di proiezioni (quella perpendicolare e quella parallela), oppure possono essere intese come le medesime proiezioni fatte rispetto alla base $\{ \bar{e}_i \}$ ed un'altra base ad essa complementare, che è poi la rappresentazione della base duale nello spazio euclideo stesso.

Definizione

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo S, e siano f = (X₁,...,X_n) e f' = (Y₁,...,Y_n) basi di V. Sia il cambio di base da f a f′ dato da:

$\mathbf{f}\mapsto \mathbf{f}' = \left(\sum_i a^i_1X_i,\dots,\sum_i a^i_nX_i\right) = \mathbf{f}A$

dove A è la matrice di cambiamento di base, una matrice invertibile di dimensione n×n e di elementi $a^i_j$. Ogni vettore Y_j della base f' è una combinazione lineare dei vettori X_i della base f, sicché:

$Y_j=\sum_i a^i_jX_i.$

Trasformazione controvariante Un vettore v in V è espresso unicamente dalla combinazione lineare degli elementi della base f come: $v = \sum_i v^i[\mathbf{f}]X_i,$ dove v i[f] sono scalari, e rappresentano le coordinate di v nella base f. Detto v[f] il vettore delle componenti di v: $\mathbf{v}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}v^1[\mathbf{f}]\\v^2[\mathbf{f}]\\\vdots\\v^n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}$ si ha: $v = \mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}].$ Il vettore v può essere scritto nella base f': $v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}].$ Ma dal momento che v non dipende dalla base in cui è espresso: $\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = v = \mathbf{f'}\, \mathbf{v}[\mathbf{f'}].$ l'invarianza di v combinata con la relazione tra f e f' implica che: $\mathbf{f}\, \mathbf{v}[\mathbf{f}] = \mathbf{f}A\, \mathbf{v}[\mathbf{f}A],$ da cui si ottiene la regola di trasformazione $\mathbf{v}[\mathbf{f}A] = A^{-1}\mathbf{v}[\mathbf{f}].$ che in termini di componenti diviene: $v^i[\mathbf{f}A] = \sum_j \tilde{a}^i_jv^j[\mathbf{f}]$ dal momento che i coefficienti $\tilde{a}^i_j$ sono le entrate della matrice inversa di A. Dato che le componenti di v si trasformano come l'inversa di A, si dice che esse trasformano in modo controvariante in seguito al cambio di base. Il modo in cui A lega le due coppie si rappresenta attraverso il seguente diagramma: $\mathbf{f}\longrightarrow \mathbf{f'}$ $v[\mathbf{f}]\longleftarrow v[\mathbf{f'}]$

Trasformazione covariante Un funzionale lineare α su V è espresso univocamente in termini delle sue componenti nella base f come: $\alpha_i[\mathbf{f}] = \alpha(X_i), \quad i=1,2,\dots,n.$ Tali componenti sono l'azione di α sui vettori di base Xi della base f. Passando dalla base f alla base f' le componenti si trasformano in modo tale che: $\begin{array} {rcl} \alpha_i[\mathbf{f}A] & = & \alpha(Y_i) \\ & = & \alpha\left(\sum_j a^j_i X_j\right) \\ & = & \sum_j a^j_i \alpha(X_j) \\ & = & \sum_j a^j_i \alpha_j[\mathbf{f}] \end{array}.$ Detto α[f] il vettore delle componenti di α: $\mathbf{\alpha}[\mathbf{f}] = \begin{bmatrix}\alpha_1[\mathbf{f}]&\alpha_2[\mathbf{f}]&\dots&\alpha_n[\mathbf{f}]\end{bmatrix}$ si ha: $\alpha[\mathbf{f}A] = \alpha[\mathbf{f}]A.$ Dal momento che le componenti del funzionale lineare α si trasformano secondo la matrice A, si dice che esse trasformano in modo covariante in seguito al cambio di base. Il modo in cui A lega le due coppie si rappresenta attraverso il seguente diagramma: $\mathbf{f}\longrightarrow \mathbf{f'}$ $\alpha[\mathbf{f}]\longrightarrow \alpha[\mathbf{f'}]$ Se si fosse usata la rappresentazione mediante un vettore colonna, la trasformazione sarebbe stata: $\alpha^\mathrm{T}[\mathbf{f}A] = A^\mathrm{T}\alpha^\mathrm{T}[\mathbf{f}].$

Complementarità delle basi e delle componenti

Le componenti di $\bar{v}$ rispetto ad una generica base $\{ \bar{e}_i \}$ sono le componenti controvarianti di $\bar{v}$, e vengono indicate con gli indici all'apice, mentre quelle rispetto alla base $\{ \bar{e}^i \}$ sono le componenti covarianti di $\bar{v}$, e vengono indicate con gli indici al pedice. Si ha dunque:

$\bar{v} = \sum_{i=1}^n v^i \bar{e}_i = \sum_{i=1}^n v_i \bar{e}^i$

Le relazioni di complementarità fra la base $\{ \bar{e}_i \}$ e la base $\{ \bar{e}^i \}$ possono essere espresse anche in riferimento alle componenti di un vettore. Infatti prendendo il prodotto scalare del vettore $\bar{v}$ con i vettori delle due basi si ha:

$\bar{v} \cdot \bar{e}^k = \sum_{i=1}^n v^i \bar{e}_i \cdot \bar{e}^k = \sum_{i=1}^n v^i \delta_{ik} = v^k$

$\bar{v} \cdot \bar{e}_k = \sum_{i=1}^n v_i \bar{e}^i \cdot \bar{e}_k = \sum_{i=1}^n v_i \delta_{ik} = v_k$

Dunque proiettando il vettore $\bar{v}$ sui vettori della base $\{ \bar{e}^i \}$ si ottengono le componenti di $\bar{v}$ rispetto alla base $\{ \bar{e}_i \}$, e viceversa.

Un altro modo di esprimere questa complementarità è ottenuto calcolando il prodotto scalare di due vettori $\bar{v}$ e $\bar{w}$ in funzione delle componenti dei due vettori. Infatti sviluppando uno dei due vettori rispetto ad una base e l'altro rispetto alla base duale si ha:

$\bar{v} \cdot \bar{w} = \sum_{i,j=1}^n v^i w_j \bar{e}_i \cdot \bar{e}^j = \sum_{i,j=1}^n v^i w_j \delta_{ij} = \sum_{i=1}^n v^i w_i = \sum_{i=1}^n v_i w^i$

Coordinate

La scelta della base f dello spazio vettoriale V definisce univocamente un set di funzioni coordinate su V:

$x^i[\mathbf{f}](v) = v^i[\mathbf{f}].$

Le coordinate su V sono dunque controvarianti:

$x^i[\mathbf{f}A] = \sum_{k=1}^n \tilde{a}^i_kx^k[\mathbf{f}].$

Un sistema di n quantità vⁱ che si trasformano come le coordinate xⁱ su V definisce un vettore controvariante, mentre un sistema che trasforma in maniera opposta è un vettore covariante.
Data una varietà, dati i vettori tangenti e cotangenti alla varietà in un punto nel quale si definisce un sistema di coordinate locale xⁱ, gli assi di riferimento per tale sistema sono i campi vettoriali:

$X_1 = \frac{\partial}{\partial x^1},\dots,X_n=\frac{\partial}{\partial x^n}.$

che danno luogo al sistema di riferimento f = (X₁,...,X_n), che può essere definito in ogni punto della superficie.
Se yⁱ è un differente sistema di coordinate dato da:

$Y_1=\frac{\partial}{\partial y^1},\dots,Y_n=\frac{\partial}{\partial y^n},$

allora il sistema f' è connesso a f dall'inversa della Jacobiana:

$\mathbf{f}' = \mathbf{f}J^{-1},\quad J=\left(\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\right)_{i,j=1}^n.$

ovvero:

$\frac{\partial}{\partial y^i} = \sum_{j=1}^n\frac{\partial x^j}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^j}.$

Un vettore tangente è una combinazione lineare delle coordinate parziali $\partial/\partial x^i$, ed è quindi definito come:

$v = \sum_{i=1}^n v^i[\mathbf{f}] X_i = \mathbf{f}\ \mathbf{v}[\mathbf{f}].$

Tale vettore è covariante rispetto al cambio di sistema di riferimento, mentre rispetto al cambio di coordinate si ha:

$\mathbf{v}[\mathbf{f}'] = \mathbf{v}[\mathbf{f}J^{-1}] = J\, \mathbf{v}[\mathbf{f}].$

Dunque le componenti del vettore tangente si trasformano secondo la legge:

$v^i[\mathbf{f}'] = \sum_{j=1}^n \frac{\partial y^i}{\partial x^j}v^j[\mathbf{f}].$

Un sistema di n quantità vⁱ che dipendono da coordinate che si trasformano in tale maniera è un vettore controvariante.

Componenti covarianti e controvarianti di un vettore

Nello spazio euclideo V c'è una sottile distinzione tra vettori covarianti e controvarianti, dal momento che il prodotto scalare standard consente di identificare i vettori come covettori e viceversa. Dunque, il vettore v determina univocamente il covettore α:

$\alpha(w) = v\cdot w \,$

e viceversa. Data una base f = (X₁,...,X_n) di V, esiste un'unica base reciproca f^# = (Y¹,...,Yⁿ) di V determinata richiedendo che:

$Y^i \cdot X_j = \delta^i_j,$

ed gni vettore v può essere scritto in due modi differenti:

$\begin{align} v &= \sum_i v^i[\mathbf{f}]X_i = \mathbf{f}\,\mathbf{v}[\mathbf{f}]\\ &=\sum_i v_i[\mathbf{f}]Y^i = \mathbf{f}^\sharp\mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}]. \end{align}$

Le componenti vⁱ[f] sono controvarianti, e sono relative alla base f, mentre le componenti v_i[f] sono covarianti, e relative alla base f. Il cambio di base comporta infatti che:

$\mathbf{v}[\mathbf{f}A] = A^{-1}\mathbf{v}[\mathbf{f}],\quad \mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}A] = A^T\mathbf{v}^\sharp[\mathbf{f}].$

Collocazione degli indici

La combinazione di due serie "complementari" di oggetti, una covariante ed una controvariante, è definita dalla relazione:

$C = \sum_{i=1}^n A_i B^i = \sum_{i=1}^n A^i B_i$

dove C è un oggetto che è definito in modo indipendente dalla scelta della base. Gli indici delle due serie che vengono combinate possono essere inoltre scambiati, spostando all'apice quelli che erano al pedice e viceversa, e ancora si ottiene lo stesso risultato. Inoltre, combinando indici all'apice e al pedice si ha una "eliminazione" dell'indice, propriamente detta contrazione. Se si ha un prodotto scalare, che corrisponde geometricamente ad una proiezione ortogonale, allora il prodotto con indici all'apice produce indici all'apice e il prodotto con indici al pedice produce indici al pedice.

Nel caso in cui la serie che viene combinata sia una base di vettori, per spostare gli indici dal pedice all'apice e viceversa (operazioni dette di "alzamento" e "abbassamento" degli indici) è necessario costruire la base duale della base considerata.

Se invece se la serie che viene combinata è costituita dalle componenti di un vettore, allora per alzare ed abbassare gli indici è necessario ricavare le componenti controvarianti da quelle covarianti e viceversa:

$v^k = \bar{v} \cdot \bar{e}^k = \sum_{i=1}^n v_i \bar{e}^i \cdot e^k$

$v_k = \bar{v} \cdot \bar{e}_k = \sum_{i=1}^n v^i \bar{e}_i \cdot e_k$

Introducendo due matrici complementari di componenti:

$g_{ik} \equiv \bar{e}_i \cdot \bar{e}_k$

$g^{ik} \equiv \bar{e}^i \cdot \bar{e}^k$

le precedenti relazioni diventano:

$v^k = \bar{v} \cdot \bar{e}^k = \sum_{i=1}^n v_i g^{ik}$

$v_k = \bar{v} \cdot \bar{e}_k = \sum_{i=1}^n v^i g_{ik}$

Le matrici g_ik e g^ik sono le matrici che rappresentano il prodotto scalare dei vettori, e permettono il passaggio dalla formulazione covariante e controvariante di un vettore.

Bibliografia

• Artin, Emil, Geometric Algebra, New York, Wiley, 1957. ISBN 0-471-60839-4 See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
• Carmeli, Moshe, Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field, McGraw-Hill, New York, 1977. ISBN 0-07-009986-3 A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore, The Geometry of Physics (2nd Ed.), Cambridge, Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-53927-7 An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Template:Fulton-Harris See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Hall, G. S., Symmetries and Curvature Structure in General Relativity, Singapore, World Scientific, 2004. ISBN 981-02-1051-5 See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0 See also the online version. URL consultato il July 3. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Naber, Gregory, The Geometry of Minkowski Spacetime, New York, Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition) An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristam, Visual Complex Analysis, Oxford, Oxford University Press, 1997. ISBN 0-19-853446-9 See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Covarianza e controvarianza su MathWorld.
• (EN) Eric W. Weisstein, Covarianza e controvarianza su MathWorld.
• Invariance, Contravariance, and Covariance

Voci correlate

• Geometria
• Spazio vettoriale
• Spazio euclideo
• Base duale

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Portale Matematica