Triangolo equilatero

Triangolo equilatero

Un triangolo equilatero è un triangolo con tutti i lati congruenti e dunque è il poligono regolare con tre lati. Gli angoli sono tutti uguali e pari a 60° = ${\frac {\pi }{3}}$rad .

I triangoli equilateri sono particolari triangoli isosceli. Tutti i triangoli equilateri sono simili tra di loro: per caratterizzare metricamente un triangolo equilatero, ovvero per caratterizzare la classe dei triangoli equilateri nel piano ottenibili gli uni dagli altri mediante traslazioni e rotazioni, serve e basta un parametro estensivo; tipicamente si usa la lunghezza dei suoi lati.

Nei triangoli equilateri, le bisettrici, le mediane, le altezze e gli assi si sovrappongono cosicché lo stesso punto rappresenta l'ortocentro, il baricentro, l'incentro e il circocentro.

Il gruppo delle simmetrie del triangolo equilatero è costituito dall'identità, dalle rotazioni intorno al suo centro di 120° e di 240° e dalle riflessioni rispetto alle bisettrici degli angoli. Tale gruppo è isomorfo al gruppo simmetrico di 3 oggetti S₃.

Costruzione

Costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso

Come mostra Euclide in Elementi I, 1 (è la prima proposizione di tutta l'opera), il triangolo equilatero dato il lato AB si può costruire con riga e compasso in questo modo:

• Si punta il compasso in A con apertura AB e si traccia una circonferenza;
• Si punta il compasso in B con apertura BA e si traccia una circonferenza;
• Il punto d'incontro delle circonferenze C è il terzo punto cercato;
• Unendo A, B e C si ottiene un triangolo equilatero.

La dimostrazione è semplice: essendo, per definizione, tutti i punti della circonferenza equidistanti dal centro, il segmento AB è congruente ad AC, e AB è congruente a BC. Ma allora per la proprietà transitiva della congruenza, AB = AC = BC e il triangolo è equilatero.

Formule

Indicando con $l$ il lato del triangolo, con $P$ il perimetro, con $A$ l'area, con $b$ la base e con $h$ l'altezza si ha:

Perimetro

$P=l\cdot 3$

$l={\frac {P}{3}}$

Area

$A={\frac {b\cdot h}{2}}={\frac {{\sqrt {3}}l^{2}}{4}}$

$h={\frac {A\cdot 2}{b}}$

$b={\frac {A\cdot 2}{h}}$

Applicazioni del Teorema di Pitagora

$h={\sqrt {l^{2}-\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {l^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {\frac {4l^{2}-l^{2}}{4}}}={\sqrt {\frac {3l^{2}}{4}}}={\frac {{\sqrt {l^{2}}}\times {\sqrt {3}}}{\sqrt {4}}}={\frac {{l}\times {\sqrt {3}}}{2}}={\frac {l}{2}}{\sqrt {3}}$

$l={\frac {2h}{\sqrt {3}}}$

Voci correlate

• Criteri di congruenza dei triangoli
• Triangolo
• Triangolo isoscele
• Triangolo scaleno