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Storia

La meccanica quantistica è sorta unendo ed elaborando un insieme di teorie fisiche, formulate a cavallo del XIX e del XX secolo, di carattere spesso empirico volte ad esprimere le leggi del mondo microscopico. La meccanica classica si dimostrò presto incapace di descrivere il comportamento della materia e della radiazione elettromagnetica a livello microscopico, a scale di lunghezza inferiori o dell'ordine di quelle dell'atomo o ad energie nella scala delle interazioni interatomiche.

Necessità di una nuova teoria

L'atomo, nel modello formulato da Rutheford, è composto da un nucleo positivo con gli elettroni negativi che gli orbitano attorno come i pianeti fanno attorno al Sole.

Gli atomi furono scoperti da Dalton nel 1803 e riconosciuti come i costituenti fondamentali delle molecole e di tutta la materia. Nel 1869 la tavola periodica degli elementi permise di raggruppare gli atomi secondo le loro proprietà chimiche e questo permise di scoprire leggi di carattere periodico, come la regola dell'ottetto, la cui origine era ignota. Gli studi di Avogadro, Dumas e Gauden dimostrarono che gli atomi si compongono fra loro a formare le molecole, strutturandosi e combinandosi secondo leggi di carattere geometrico. Tutte queste nuove scoperte lasciavano non chiariti i motivi per cui gli elementi e le molecole si formassero secondo queste leggi regolari e periodiche. La base della struttura interna dell'atomica venne invece posta con le scoperte dell'elettrone nel 1874 da parte di George Stoney, e del nucleo da parte di Rutheford. In base al modello di Rutheford in un atomo un nucleo centrale di carica positiva agisce sugli elettroni negativi in modo analogo a quello in cui il Sole agisce sui pianeti del sistema solare. Tuttavia, le emissioni radiative previste dalla teoria elettromagnetica di Maxwell per cariche in moto accelerato, avrebbero avuto una grande intensità portando l'atomo a collassare in pochi istanti, in opposizione alla stabilità di tutta la materia osservata.

Un corpo nero, oggetto in grado di assorbire tutta la radiazione incidente, può essere realizzato mediante una cavità nera con un piccolo foro. Secondo la previsione classica, questo corpo avrebbe dovuto emettere una intensità infinita di radiazione elettromagnetica ad alta frequenza.

La radiazione elettromagnetica era stata prevista teoricamente da James Clerk Maxwell nel 1850 e rilevata sperimentalmente da Heinrich Hertz nel 1886. Tuttavia, Wien scoprì che secondo la teoria classica disponibile all'epoca, un corpo nero, in grado di assorbire tutta la radiazione incidente, dovrebbe emettere onde elettromagnetiche con intensità infinita a corta lunghezza d'onda. Questo devastante paradosso fu ritenuto immediatamente di grande importanza e fu chiamato "catastrofe ultravioletta".

Nel 1887 Heinrich Hertz scoprì che le scariche elettriche fra due corpi conduttori carichi sono molto più intense se questi sono esposti a radiazione ultravioletta. Questo fenomeno, dovuto all'interazione fra la radiazione elettromagnetica e la materia, fu chiamato effetto fotoelettrico. Si scoprì che questo fenomeno inspiegabilmente scompariva del tutto per frequenze della radiazione incidente più basse di un valore di soglia, indipendentemente dall'intensità totale di questa. Inoltre, se si verificava l'effetto fotoelettrico, l'energia degli elettroni emessi dalle piastre conduttrici risultava direttamente proporzionale alla frequenza delle radiazione elettromagnetica. Per la spiegazione teorica di queste proprietà contro intuitive, ad Albert Einstein fu assegnato il premio nobel per la fisica nel 1921.

La meccanica quantistica, sviluppandosi con i contributi di numerosi fisici nell'arco di oltre mezzo secolo fu in grado di fornire una spiegazione soddisfacente a tutte queste regole empiriche e contraddizioni.

Quantizzazione del campo elettromagnetico

Una importante quantizzazione di una grandezza fisica fu effettuata da Millikan con la carica elettrica. Egli dimostrò nel 1909 che la carica elettrica di un corpo non può assumere valori arbitrari ma solo multipli interi di una carica fondamentale chiamata elettrone. Questi studi furono rilevanti nella scoperta definitiva dell'elettrone, inizialmente individuato come la "fondamentale unità di elettricità". In questa medesima direzione si collocarono i lavori di Einstein e di Planck, che scoprirono invece che anche il campo elettromagnetico è quantizzato, cioè la luce è costituita da un corpuscolo fondamentale battezzato "fotone". Anche i campi elettrici e magnetici, responsabili delle forze di attrazione/repulsione fra i corpi carichi sono trasportati, o meglio "mediati", dai fotoni.

La nascita della meccanica quantistica

Il primo tentativo di unificare tutte le soluzioni alle incongruenze e le leggi empiriche sotto una teoria globale risale alla quantizzazione di Bohr e Sommerfield attorno al . Secondo la meccanica classica ogni particella è individuata univocamente dalle variabili posizione e velocità, oppure posizione e quantità di moto. Nell'approccio alla meccanica quantistica di Bohr e Sommerfield una particella non può essere individuata con una precisione superiore ad un multiplo di $\hbar$. In altri termini, esiste un volume finito non ulteriormente divisibile di spazio delle fasi, lo spazio costituito da tutti le posizioni e le quantità di moto che una sistema può assumere. L'intero spazio, invece di essere un continuo, fu rappresentato come una entità discreta. Come conseguenza naturale si riuscì a fornire una spiegazione alla evidenza sperimentale che alcune quantità di certi sistemi fisici, come il momento angolare di un elettrone in un atomo, possono assumere solo valori discreti.

Shrodienger, e De broglie, Einstein e Bohr si resero conto che questo tipo di granularità dello spazio delle fasi potevano essere facilmente interpretabili se al posto di considerare particelle o quantità ondulatorie si fossero cosnidearate onde. Shroedinger sulla base di questi ragionamenti ... . La natura di queste onde fu immediato oggetto di grande dibattito, un dibattito che si protrae in una certa misura fino ai giorni nostri. Secondo l'interpretazione di Cophenagehen ogni particella fisica può essere considerata alla stesso tempo sia un onda sia un corpuscolo, a seconda del tipo di esperimento in cui è coinvolta. Heisemberg inoltre fu in grado di osservare come nei sistemi microscopici fosse impossibile determinare con precisione arbitraria contemporanemente . Questa è la base del principio di indeterminazione di Heisemberg che influenzò i lavori di Weyl, E Von Neumann nella definizione formale della meccanica quantistica. Feynmann fu in grado di ricavare una definizione formale alternativa e compatibile con le precedenti. Feynmann stesso, insieme a Dirac e Shrondinger, usò questi risultati per porre le basi della teoria quantistica dei campi.

Meccanica classica e meccanica quantistica

Agli inizi del 1900 si comprese che i nuovi fenomeni scoperti a scale atomiche rendevano necessaria la nascita di una nuova fisica del tutto differente rispetto a quella sviluppata fino ad allora.

Il concetto di "Misura"

La meccanica quantistica si è differenziata dalla fisica classica sviluppata fin dai primi lavori di Galileo e di Isaac Newton in primo luogo ridefinendo il concetto di misura. La novità rispetto alla precedenti teorie riguarda l'impossibilità di conoscere lo stato di una particella senza perturbarlo in maniera irreparabile. Al contrario della meccanica classica dove è sempre possibile concepire uno spettatore passivo in grado di conoscere ogni dettaglio di un dato sistema, secondo la meccanica quantistica è perfino privo di senso assegnare un valore ad una qualsiasi proprietà di un dato sistema senza che questa sia stata attivamente misurata da un osservatore. Le leggi quantistiche stabiliscono che il processo di misura non è descrivibile come la semplice evoluzione temporale del sistema, dell'osservatore e degli apparati sperimentali considerati assieme. Questo ha come conseguenza il fatto che in generale una volta misurato e determinato con precisione una quantità di un sistema non si può in alcun modo determinare quale fosse il suo valore prima della misurazione. Per esempio secondo la meccanica classica la conoscenza della posizione e della velocità di una particella in un dato istante permette di determinarne automaticamente la sua traiettoria passata e futura con certezza. In meccanica quantistica viceversa, la conoscenza della velocità di una particella ad un dato istante non è in generale sufficiente a stabilire quale fosse il suo valore nel passato. Inoltre acquisire la stessa conoscenza della velocità della particella distrugge ogni altra informazione sulla posizione rendendo impossibile il calcolo della traiettoria futura.

Il principio di indeterminazione di Heisenberg

Una delle principali peculiarità della meccanica quantistica è data dal fatto che in essa lo stato e l'evoluzione di un sistema fisico vengano descritti in maniera intrinsecamente probabilistica. Spesso si ricorre ad una visualizzazione del comportamento di una particella in termini di "funzione d'onda" o "onda di probabilità". Nei casi più generali, tuttavia, a una tale visione "pittorica" si può dover sostituire una descrizione ancora più "astratta", in cui la fase complessa oscillante (l'"onda di probabilità") è associata a grandezze, come lo spin, senza un equivalente classico, come invece sono la posizione e il momento che caratterizzano l'usuale funzione d'onda.

La natura assolutamente nuova della probabilità che la meccanica quantistica è costretta ad introdurre si rende evidente nella differenza fra una miscela statistica, corrispondente al concetto classico di probabilità, e una sovrapposizione coerente. Uno degli effetti più famosi che questo nuovo concetto di probabilità racchiude è dato dal cosiddetto principio di indeterminazione di Heisenberg: esistono coppie di variabili (dette tra loro non compatibili), come posizione e impulso di una particella, il cui valore non può essere neanche in linea di principio conosciuto simultaneamente con precisione arbitraria, indipendentemente dall'accuratezza sperimentale con cui vengono effettuate le misure. In generale, le coppie di grandezze che in meccanica quantistica risultano non compatibili corrispondono proprio alle coppie di variabili coniugate che in meccanica classica permettevano di predire, attraverso le equazioni del moto, lo stato futuro del sistema con precisione arbitraria. Il carattere probabilistico della meccanica quantistica, cioè, permea questa nuova teoria sin dalle sue fondamenta.

Il dualismo onda-particella

La meccanica quantistica risolve il conflitto fra la natura corpuscolare e ondulatoria della radiazione e della materia. Infatti tra particelle e onde che aveva caratterizzato la fisica del XIX secolo. Da un lato, infatti, l'evoluzione temporale di un sistema quantistico è un'evoluzione deterministica con fasi oscillanti — il carattere ondulatorio — di una distribuzione di probabilità; dall'altro, la risposta alla misura di un'osservabile per un sistema quantistico si presenta in maniera discreta — il carattere corpuscolare. Così, ad esempio, l'evoluzione temporale non solo di un fascio luminoso ma anche di un fascio di elettroni, o addirittura di un solo elettrone, presenta le caratteristiche tipiche delle onde (fenomeni di interferenza e diffrazione). Ma allo stesso tempo, all'atto della misura di grandezze estensive non si ottiene un flusso continuo bensì una sequenza di quanti (dal latino quantum, quantità, da cui il nome della teoria), sia per gli elettroni, che non risultano dunque diffusi in tutto lo spazio come la propria distribuzione di probabilità ondulatoria, e sia per i fotoni, i quanti del fascio luminoso.

A questa doppia natura ci si riferisce con l'espressione dualismo onda-corpuscolo, termine tuttora connotato di quel senso di paradosso con cui era stato coniato prima della formulazione completa della meccanica quantistica, in cui i due aspetti sembravano essere in irriducibile contraddizione fra loro.

Lo stato fisico

La meccanica quantistica si differenzia in maniera radicale dalla meccanica classica nella definizione dello stato fisico e delle variabili atte a rappresentarlo. In meccanica classica lo stato fisico di una particella puntiforme è definito dalla sua posizione e dalla sua velocità o momento. Questi due vettori possono essere misurati con precisione arbitraria e una volta noti permettono, nei limiti delle incertezze sperimentali, di stabilire tutta l'evoluzione passata e futura della particella.

Lo stato fisico di un sistema quantistico è definito invece dalla funzione d'onda, spesso indicata con la lettera greca $\Psi$ e soluzione dell'equazione temporale di Schrödinger. Molti tentativi sono stati fatti nel tempo per cercare di intuire quale possa essere il suo significato. Nelle prime interpretazioni, la funzione d'onda rappresenta realmente un'onda di materia che si propaga nello spazio. Questa primi approcci sono stati abbandonati e ad oggi, secondo l'interpretazione di Copenhagen, la funzione d'onda deve piuttosto essere considerata piuttosto come un'onda probabilistica.

Ogni comune onda segue il principio di sovrapposizione: la sovrapposizione di due onde, generate per esempio sulla superficie di uno stagno da due sassi lanciati, rappresenta ancora un'onda. Anche per la funzione d'onda è valido il principio di sovrapposizione, in questo contesto chiamato principio di superposizione, e questo ha implicazioni profonde per la struttura meccanica quantistica.

Il celeberrimo paradosso del gatto di Schrödinger con illustrazione schematica del gatto in sovrapposizione tra gli stati "gatto vivo" e "gatto morto".

Schrödinger per spiegare questo punto considerò cosa succede ad un gatto chiuso in una scatola con una trappola mortale che scatta nel momento in cui viene rilevato un miagolio. La scatola isola completamente il gatto dal mondo esterno in modo tale che non sia possibile rilevare i miagolii che fanno scattare la trappola che uccide il gatto. Secondo l'interpretazione probabilistica della funzione d'onda, il gatto chiuso nella scatola sarebbe per metà vivo e per metà morto, sarebbe cioè in uno stato quantico in cui queste due opposte possibilità si sovrappongo in contemporanea. Una volta aperta la scatola, e solo in quel momento, e osservato il gatto a quel punto lo stato del gatto diviene con il 50% di probabilità lo stato di gatto morto e con il 50% delle possibilità lo stato di gatto vivo, con quel processo che viene chiamato "collasso della funzione d'onda". Il punto rivoluzionario rispetto alla meccanica classica consiste nel fatto che, fintanto che la scatola è chiusa, intrinsecamente lo stato del gatto non è solamente uno degli stati classici che è possibile osservare (o vivo o morto), ma si trova in una sovrapposizione dei due (è sia vivo sia morto).

Lo stato 2

Una delle principali peculiarità della meccanica quantistica è data dal fatto che in essa lo stato è definito ed evolve in termini intrinsecamente probabilistici. In meccanica classica lo stato fisico di una particella puntiforme è definito dalla sua posizione e dalla sua velocità o momento. Questi due vettori possono essere misurati con precisione arbitraria e una volta noti permettono, nei limiti delle incertezze sperimentali, di stabilire tutta l'evoluzione passata e futura della particella.

Lo stato fisico di un sistema quantistico è definito invece dalla funzione d'onda, spesso indicata con la lettera greca $\Psi$, soluzione dell'equazione temporale di Schrödinger. Molti tentativi sono stati fatti nel tempo per cercare di intuire quale possa essere il suo significato. Nelle prime interpretazioni, la funzione d'onda rappresenta realmente un'onda di materia che si propaga nello spazio. Questa primi approcci sono stati abbandonati e ad oggi, secondo l'interpretazione di Copenhagen, la funzione d'onda deve piuttosto essere considerata piuttosto come un'onda probabilistica.

La funzione d'onda associa ad ogni punto dello spazio $x$ un numero complesso $\Psi (x)\equiv a(x)+ib(x)$. Essa non ha direttamente un proprio significato fisico, mentre lo ha il suo modulo quadro:

$|\Psi (x)|^{2}=a(x)^{2}+b(x)^{2}$

che fornisce la probabilità di trovare la particella nell'intorno infinitesimo del punto $x$, quando si misura la sua posizione. Questo significa che avendo a disposizione infiniti sistemi identici ed effettuando la stessa misura su tutti i sistemi contemporaneamente, la distribuzione dei valori ottenuti è proprio il modulo quadro della funzione d'onda. Similmente, il modulo quadro della trasformata di Fourier della funzione d'onda fornisce la distribuzione di probabilità dell'impulso della particella stessa.

Ogni comune onda segue il principio di sovrapposizione: la sovrapposizione di due onde, generate per esempio sulla superficie di uno stagno da due sassi lanciati in due punti differenti, rappresenta ancora un'onda. Anche per la funzione d'onda è valido il principio di sovrapposizione, in questo contesto chiamato principio di superposizione, e questo ha implicazioni profonde per la struttura meccanica quantistica.

L'equazione di Schrödinger

Schrödinger scrisse nel 1926 una serie di quattro articoli intitolati "Quantizzazione come problema agli autovalori" in cui mostrò che una meccanica ondulatoria possa spiegare l'emergere di numeri interi e dei quanti, insiemi di valori discreti anziché continui permessi per alcune quantità fisiche di certi sistemi, come l'energia degli elettroni nell'atomo di idrogeno. In particolare, basandosi sui lavori di De Broglie, osservò che le onde stazionarie soddisfano vincoli simili a quelli imposti dalle condizioni di quantizzazione di Bohr:

(DE)

«[...] die übliche Quantisierungsvorschrift sich durch eine andere Forderung ersetzen läßt, in der kein Wort von „ganzen Zahlen“ mehr vorkommt. Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselbe natürliche Art, wie etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer sehwingenden Saite. Die neue Auffassung ist verallgemeinerungsiähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief an das wahre Wesen der Quantenvorschriften.»

(IT)

«[...] si può sostituire la regola di quantizzazione usuale con un altro requisito dove non appare più la parola "numeri interi". Piuttosto, gli stessi numeri interi si rivelano naturalmente dello stesso tipo dei numeri interi associati al numero di nodi di una stringa vibrante. Il nuovo punto di vista è generalizzabile e tocca, come credo, molto profondamente la vera natura delle regole quantistiche.»

(Erwin Schrödinger)

In un'onda stazionaria, i nodi sono punti che non sono coinvolti dall'oscillazione, in rosso nella figura. Il numero di nodi è quindi sempre intero.

Il numero di nodi in una normale stringa vibrante stazionaria è intero, se questi sono associati alle quantità fisiche come l'energia e il momento angolare allora ne consegue che anche queste devono essere multipli interi di una grandezza fondamentale. Affinché questa equivalenza sia possibile, lo stato fisico deve essere associato ad un'onda che vibra e si evolve secondo le condizioni di stazionarietà.

In questa onda stazionaria circolare, la circonferenza ondeggia esattamente in otto lunghezze d'onda. Un'onda stazionaria come questa può avere 0, 1, 2 o qualsiasi numero intero di lunghezze d'onda attorno al cerchio, ma non un numero non intero come 4.7. Con un meccanismo simile, il momento angolare di un elettrone in un atomo di idrogeno, classicamente proporzionale alla velocità angolare, può assumere solo valori discreti quantizzati.

Come Schrödinger stesso osservò, condizioni di tipo ondulatorio sono presenti ed era già state scoperte anche per la meccanica classica di tipo newtoniano. Nell'ottica geometrica, il limite delle leggi dell'ottica in cui la lunghezza d'onda della luce tende a zero, i raggi di luce si propagano seguendo percorsi che minimizzano il cammino ottico, come stabilito dal principio di Fermat. Allo stesso modo, secondo il principio di Hamilton, le traiettorie classiche sono soluzioni stazionarie o di minimo dell'azione, che per una particella libera è semplicemente legata all'energia cinetica lungo la curva.

Tuttavia l'ottica geometrica non considera gli effetti che si hanno quando la lunghezza d'onda della luce non è trascurabile, come l'interferenza e la diffrazione. Guidato da questa analogia, Schrödinger suppose che le leggi della meccanica classica di Newton siano solamente una approssimazione delle leggi seguite dalle particelle, una approssimazione valida per grandi energie e grandi scale come per le leggi dell'ottica geometrica, ma non in grado di catturare tutti la realtà fisica, in particolare a piccole lunghezze, dove come per la luce, fenomeni come l'interferenza e la diffrazione diventano dominanti. Schrödinger postulò quindi una equazione di stazionarietà per un'onda $\Psi (x)$ del tipo:

$\nabla ^{2}\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}E\Psi (x)=0$

dove $V(x)$ è il potenziale classico ed $E$ è un parametro reale corrispondente all'energia. Per alcuni sistemi fisici, questa equazione non ammette soluzioni per $E$ arbitrario, ma solo per alcuni suoi valori discreti. In questo modo Schrödinger riuscì a spiegare la natura delle condizioni di quantizzazione di Bohr. Se si considera anche la dinamica delle soluzioni d'onda, cioè si considera la dipendenza temporale della funzione d'onda:

$\Psi (x)\rightarrow \Psi (x,t)$

si può ottenere l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

$\nabla ^{2}\Psi (x,t)-{\frac {8\pi ^{2}}{h^{2}}}V(x)\Psi (x,t)-{\frac {4\pi i}{h}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=0$

supponendo che l'energia sia proporzionale alla derivata temporale della funzione d'onda:

${\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {2\pi i}{h}}\Psi (x,t)$

Questa equivalenza fra la derivata temporale e energia della funzione d'onda fu il primo esempio di come nella meccanica quantistica alle osservabili classiche corrispondano operatori differenziali.

Formulazioni della meccanica quantistica

Formulazione Hamiltoniana della meccanica quantistica

La formulazione hamiltoniana della meccanica quantistica si basa principalmente sui lavori dei fisici Paul Dirac, Hermann Weyl e John von Neumann. Il suo nome è dovuto al fatto che l'evoluzione temporale degli stati è formulata in funzione dell'Hamiltoniana del sistema, descritto con le variabili canoniche coniugate di posizione e impulso.

Questa formulazione, nel quadro dell'interpretazione di Copenhagen, si basa su quattro postulati, detti anche principi, la cui validità deve essere verificata direttamente in base al confronto delle previsioni con gli esperimenti:

• Lo stato fisico di un sistema ${\mathcal {S}}$ è rappresentato un raggio vettore unitario di uno spazio di Hilbert ${\mathcal {H}}$. Nella notazione di Dirac un vettore è indicato con un ket, ad esempio come $|\Psi \rangle$, mentre il prodotto scalare fra due vettori $|\Psi \rangle$ e $|\Phi \rangle$ è indicato con $\langle \Phi |\Psi \rangle$. In questo modo, uno stato $|\Psi \rangle$ è definito a meno di una fase complessa inosservabile in modo che:

$\langle \Psi |\Psi \rangle =1$

• Per ogni osservabile fisica ${\mathcal {V}}$ riferita al sistema ${\mathcal {S}}$ esiste un operatore hermitiano lineare $O$ che agisce sui vettori che rappresentano ${\mathcal {S}}$.
• Gli autovalori $\lambda _{i}$ associati all'autovettore $|\Psi _{i}\rangle$ dell'operatore $O$, che soddisfano quindi:

$O|\Psi _{i}\rangle =\lambda _{i}|\Psi _{i}\rangle$

corrispondono ai possibili risultati della misura dell'osservabile fisica ${\mathcal {V}}$. La probabilità $P(\lambda _{i};{\mathcal {V}})$ che la misura di ${\mathcal {V}}$ sul sistema nello stato $|\Phi \rangle$ dia come risultato un qualsiasi autovalore $\lambda _{i}$ vale:

$P(\lambda _{i};V)=\langle \Psi _{i}|\Phi \rangle$

Questa legge sulla probabilità è nota come regola di Born. I vettori $|\Psi _{i}\rangle$ sono scelti in modo tale da formare una base ortonormale dello spazio di Hilbert, cioè soddisfano:

$\langle \Psi _{i}|\Psi _{j}\rangle =\delta _{ij}$

• Se non è effettuata alcuna misura sul sistema ${\mathcal {S}}$ rappresentato da $|\Phi (t_{0})\rangle$ ad un dato istante $t_{0}$, allora ${\mathcal {S}}$ evolve ad un altro istante $t\geq t_{0}$ in maniera deterministica e dipendente solo dalle proprietà energetiche del sistema in base all'equazione lineare di Schrödinger:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Phi (t)\rangle =H(t)|\Phi (t)\rangle$

dove $H(t)$ è l'operatore hamiltoniano che corrisponde all'osservabile energia.

Se invece è effettuata una misura di una osservabile ${\mathcal {V}}$ sul sistema ${\mathcal {S}}$, allora questo collassa in modo casuale nell'autovettore $|\Psi _{i}\rangle$ corrispondente all'autovalore $\lambda _{i}$ osservato. La probabilità che a seguito di una misura lo stato $|\Phi \rangle$ collassi in $|\Psi _{i}\rangle$ è data dalla regola di Born.

L'interpretazione di Copenaghen descrive il processo di misura in termini probabilistici. Questo significa che il risultato di una misura in generale non può essere previsto con certezza nemmeno se si dispone di una completa conoscenza dello stato che viene misurato.

L'evoluzione degli stati nella meccanica quantistica obbedisce a leggi di tipo deterministico finché non sono effettuate misure. Al contrario in generale la misura di una qualsiasi proprietà di un sistema è descritta da un processo casuale. Il collasso della funzione d'onda non permette di stabilire in modo univoco lo stato del sistema antecedente alla misura. Questo differenza profonda di comportamenti dei sistemi, quando sono sotto osservazione rispetto a quando non lo sono, è stata spesso oggetto di ampi dibattiti anche di carattere filosofico ed è chiamata come "Problema della Misura".

Il problema della quantizzazione

I postulati della meccanica quantistica stabiliscono che ogni stato è rappresentato da un vettore dello spazio di Hilbert, ma fra tutti i possibili spazi di Hilbert non indicano quale bisogna scegliere. Inoltre non viene stabilita una precisa mappa che ad ogni osservabile associ un rispettivo operatore che agisca sullo spazio Hilbert degli stati, i postulati si limitano semplicemente ad affermare che questa mappa esiste. Fissare lo spazio di Hilbert degli stati e stabilire la corrispondenza osservabile-operatore determina il "problema della quantizzazione", che ammette diverse possibili soluzioni. Alcune di queste sono completamente equivalenti dal punto di vista fisico e sono legate fra loro solo attraverso trasformazioni dello spazio di Hilbert. Per scegliere una quantizzazione, oltre a considerare il sistema fisico da descrivere, si possono imporre condizioni di compatibilità aggiuntive fra le strutture algebriche della meccanica classica e quelle quantistiche. Nella quantizzazione canonica ad esempio tutti gli stati sono funzioni quadrato sommabili delle coordinate:

${\mathcal {H}}=L^{2}(-\infty ,\infty )$

All'osservabile momento può essere associato l'operatore:

${\hat {p}}_{i}=i\hbar {\frac {d}{dx_{i}}}$

che a meno di costanti dimensionali deriva la funzione d'onda, mentre all'osservabile posizione:

${\hat {x}}_{i}=x_{i}$

che moltiplica la funzione d'onda per la coordinata $x_{i}$. Ogni altra osservabile delle coordinate e degli impulsi $f(x_{i},p_{i})$ sarà ottenuta mediante sostituzione $(x_{i},p_{i})\rightarrow ({\hat {x}}_{i},{\hat {p}}_{i})$ e simmetrizzazione.

Sistemi quantistici

Pacchetto d'onda gaussiano

Una particella nello spazio monodimensionale localizzata attorno al punto $x_{0}$ potrà essere rappresentata dalla funzione d'onda:

$\psi (x)={\frac {1}{(\pi \sigma )^{(1/4)}}}\exp {\left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

La probabilità $P(a,b)$ di trovare una particella nella regione compresa fra $(a,b)$ sarà quindi:

$P(a,b)=\int _{a}^{b}\psi (x)\psi ^{*}(x)dx$

Il valore medio, o il valore di aspettazione, dell'osservabile posizione $\langle x\rangle$ sarà:

$\langle x\rangle =\langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }x\psi (x)\psi ^{*}(x)dx=x_{0}$

cioè ripetendo molte misure della posizione su molti sistemi rappresentati dalla funzione d'onda $\psi (x)$ in media si troverà $x_{0}$, la particella è effettivamente localizzata attorno a questo punto. Il valor medio dell'osservabile impulso $\langle p\rangle$:

$\langle p\rangle =\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\psi (x)dx=x_{0}$

Formulazione Lagrangiana della meccanica quantistica

Questi sono solamente tre degli infiniti cammini che contribuiscono all'ampiezza quantistica di una particella che si muove dal punto A al tempo t₀ fino al punto B al tempo t₁. Nessuna particolare richiesta viene fatta in merito alle proprietà dei cammini fatta salvo la continuità: una curva possibile potrebbe anche essere non differenziabile.

La formulazione lagragiana della meccanica quantistica e' dovuta principalmente sui lavori di Feynman, che la introdusse negli anni '40 e che ne dimostro' l'equivalenza con la formulazione Hamiltoniana. Le variabili posizione e velocità sono usate in questa formulazione per la descrizione dello stato e l'evoluzione temporale e' legata invece alla lagrangiana del sistema.

L'idea fondamentale che ebbe Feynman fu considerare la meccanica quantistica come una propagazione su tutti i cammini possibili per una particella.

L'intera formulazione e' basata su tre postulati:

1. Esiste un funzione complessa $K(x,t_{0};y,t_{1})$, chiamata propagatore, il cui modulo quadro e' proporzionale alla probabilita' $P(x\rightarrow y)$ che una particella localizzata al punto x all'istante $t_{0}$ si trovi localizzata al punto y all'istante $t_{1}$:

   $P(x\rightarrow y)\propto |K(x,t_{0};y,t_{1})|^{2}$
   

   In questo modo, lo stato descritto dalla funzione d'onda $\Psi (x;t_{0})$ all'istante $t_{0}$ si evolverà all'istante $t_{1}$ fino allo stato $\Psi (x;t_{1})$ definito da:

   $\Psi (x,t_{1})=\int K(x,t_{1};y,t_{0})\Psi (y,t_{0})dy$

2. Il propagatore $K(x,t_{0};y,t_{1})$ può essere scritto come una somma di contributi $\phi$ definiti lungo tutti i percorsi continui $\gamma$, detti cammini, che congiungono il punto x con il punto y:

   $K(x,t_{0};y,t_{1})=\sum _{\gamma }\phi [\gamma ]\,\!$

3. Il contributo $\phi [\gamma ]$ di un singolo cammino vale:

   $\phi [\gamma ]=C\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}S_{classica}[\gamma ]\right)}$

   dove la costante C e' definita in modo che la somma su tutti i cammini del propagatore converga nel limite $t_{1}\rightarrow t_{0}$. $S_{classica}[\gamma ]$ indica invece l'azione classica associata alla curva $\gamma$.

Le curve $\gamma$ che contribuiscono al propagatore sono determinate unicamente dagli estremi $x$ e $y$ e dalla sola condizione di continuità, una possibile curva potrebbe anche essere non differenziabile. Questo tipo di formulazione rende particolarmente agevole uno sviluppo semiclassico della meccanica quantistica, uno sviluppo asintotico in serie rispetto alla variabile $\hbar$.

Con la formulazione lagrangiana introdotta da Feynman e' stato possibile evidenziare una equivalenza fra il moto browniano e la particella quantistica.

Interpretazioni della meccanica quantistica

Una interpretazione della meccanica quantistica è l'insieme degli enunciati volti a stabilire un ponte fra il formalismo matematico su cui è stata basata la teoria e la realtà fisica che questa astrazione matematica dovrebbe rappresentare. Inoltre, come caratteristica peculiare della meccanica quantistica, una interpretazione è focalizzata anche a determinare il comportamento di tutto ciò che non è osservato in un esperimento.

L'importanza di stabilire in che modo si comporta un dato sistema fisico anche quando non osservato dipende dal fatto che il processo di misura interagisce in maniera irreversibile con il sistema stesso, in modo tale che non è possibile ricostruirne completamente lo stato originario. Secondo alcuni fisici questo rappresenta una limitazione insuperabile della nostra conoscenza del mondo fisico, che sancisce una divisione fra quello che è possibile stabilire in merito al risultato di un esperimento e la realtà oggetto dell'osservazione. Come disse Bohr:

(EN)

«There is no quantum world. There is only an abstract physical description. It is wrong to think that the task of physics is to find out how nature is. Physics concerns what we can say about nature...»

(IT)

«Non esiste alcun mondo quantistico. C'è solo una astratta descrizione fisica. E' sbagliato pensare che il compito della fisica sia di scoprire come è la natura. La fisica riguarda quello che noi possiamo dire a riguardo della natura...»

(Niels Bohr)

Sulla base di questa posizione, Niels Bohr stesso in collaborazione con altri fisici, come Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan e Wolfgang Pauli, formulo' l'interpretazione di Copenaghen, una delle più conosciute e famose interpretazioni della meccanica quantistica, i cui enunciati sono inclusi anche in alcune versioni dei postulati della meccanica quantistica. Il nome deriva dal fatto che molti dei fisici che vi hanno contribuito sono collegati, per diversi motivi, alla città di Copenaghen.

Questa interpretazione è dovuta alla congiunzione di diverse riflessioni filosofiche, portate avanti da famosi fisici, tutti collegati, per diversi motivi, alla città di Copenaghen. I più importanti dei quali sono: Niels Bohr, Heisenberg, Max Born, Pascual Jordan e Wolfgang Pauli. D'altra parte l'interpretazione di Copenaghen non è stata mai enunciata, nella forma odierna, da nessuno di questi fisici, anche se le loro speculazioni hanno diversi tratti in comune con essa. In particolare, la visione di Bohr è molto più elaborata dell'interpretazione di Copenaghen, e potrebbe anche essere considerata separatamente come interpretazione della complementarità in meccanica quantistica.

L'interpretazione a "molti mondi" sostiene invece che ad ogni atto di misurazione il nostro universo si scinde in un insieme universi paralleli, uno per ogni possibile risultato del processo di misurazione. Questa interpretazione nasce da un articolo del 1956 scritto da Hugh Everett III, tuttavia le sue caratteristiche fondamentali non sono mai state delineate in maniera unitaria. La più nota versione di questa interpretazione si deve ai lavori di De Witt e Grahamnegli anni settanta.

Dibattito fisico - filosofico

Sin dai primi sviluppi della meccanica quantistica le leggi formulate in base alle evidenze sperimentali sul mondo atomico hanno dato vita a complessi dibattiti di carattere fisico e filosofico. Una delle maggiori difficoltà riscontrate dal mondo scientifico di allora riguardava l'abbandono della descrizione dello stato fisico di un sistema in termini di tutte le sue variabili contemporaneamente note con precisione arbitraria. Secondo l'interpretazione di Copenhagen la limitata conoscenza dello stato fisico di un sistema è una proprietà intrinseca della natura e non limite degli strumenti di analisi sperimentali utilizzati o in ultimo dei nostri stessi sensi. Questa posizione non fu accolta positivamente da tutto il mondo scientifico e ancora oggi è oggetto di dibattito. Per esempio Einstein mosse le sue critiche a questi sviluppi della meccanica quantistica, sostenendo:

(EN)

«I incline to the opinion that the wave function does not (completely) describe what is real, but only a (to us) empirically accessible maximal knowledge regarding that which really exists [...] This is what I mean when I advance the view that quantum mechanics gives an incomplete description of the real state of affairs.»

(IT)

«Io propendo per l'opinione che la funzione d'onda non descrive (completamente) cosa è reale, ma solo una massima conoscenza empiricamente accessibile (a noi) per quanto riguarda ciò che realmente esiste [...] Questo è quello che intendo quando io sostengo il punto di vista secondo cui la meccanica quantistica fornisce una descrizione incompleta dello stato reale degli affari.»

(Albert Einstein, Letter to P. S. Epstein, 10 November 1945,)

Le resistenze di Einstein nei confronti dell'interpretazione di Copenhagen e dei suoi paradossi, furono superate grazie alla grande potenza predittiva che le formulazioni della meccanica quantistica hanno dimostrato negli esperimenti condotti il secolo scorso. Queste conferme sperimentali spinsero ad accettare i principi e i postulati della meccanica quantistica, sebbene la questione di quale sia la realtà al di fuori degli esperimenti resta ancora aperta. In ultima analisi, la risposta alla domanda su quale possa essere la realtà dovrebbe essere fornita e rimandata ad una teoria del tutto, ovvero da una teoria che sia in grado di descrivere coerentemente tutti i fenomeni osservati in natura, che includa anche la forza di gravita' e non solo le interazioni nucleari e subnucleari.

Un altro punto particolarmente oggetto di aspre critiche riguarda il ruolo della funzione d'onda e l'interpretazione secondo cui un sistema fisico può trovarsi contemporaneamente in una sovrapposizione di stati differenti. Albert Einstein, Podolsky e Rosen, nel 1935, idearono un paradosso che avrebbe dovuto dimostrare come questa assunzione sia errata. Le leggi di conservazione dell'energia, della quantità di moto e del momento angolare, impongono che tutte queste variabili non possano variare in un sistema isolato.

Esistono diverse "interpretazioni" della meccanica quantistica che cercano, in modi diversi, di gettare un ponte tra il modo in cui il formalismo della teoria sembra descrivere il mondo fisico e il comportamento "classico" che esso esibisce a livello macroscopico. Che questo sopra enunciato sia, effettivamente, un problema (concettuale e formale), venne messo in luce già nel 1935 quando Erwin Schrödinger ideò l'omonimo paradosso del gatto. Molto si è discusso, inoltre, su una peculiarità molto affascinante della teoria: la meccanica quantistica sembrerebbe essere non-locale. Questa caratteristica è stata messa in luce a partire da un altro famoso "paradosso", quello ideato da Albert Einstein, Podolsky e Rosen, sempre nel 1935, e che prende nome di paradosso EPR dalle iniziali dei tre fisici.

Albert Einstein, pur avendo contribuito alla nascita della meccanica quantistica, criticò sempre la teoria dal punto di vista concettuale. Per Einstein era inconcepibile che una teoria fisica potesse essere valida e completa pur descrivendo una realtà in cui esistono delle mere probabilità di osservare alcuni eventi e in cui queste probabilità non sono statistiche ma ontologiche. Le critiche di Einstein si riferiscono alla meccanica quantistica nella "interpretazione" di Bohr e della scuola di Copenaghen (all'epoca non c'erano altre interpretazioni altrettanto apprezzate), ed è in questo contesto che va "letto" il suo "paradosso EPR".

Einstein non accettava inoltre l'assunto della teoria in base al quale qualcosa esiste solo se viene osservato. Einstein sosteneva che la realtà (fatta di materia, radiazione, ecc.) sia un elemento oggettivo, che esiste indipendentemente dalla presenza o meno di un osservatore e indipendentemente dalle interazioni che può avere con altra materia o radiazione. Bohr, al contrario, sosteneva che la realtà (dal punto di vista del fisico, chiaramente) esiste o si manifesta solo nel momento in cui viene osservata anche perché, faceva notare, non esiste neanche in linea di principio un metodo atto a stabilire se qualcosa esiste mentre non viene osservato. È rimasta famosa, tra i lunghi e accesi dibattiti che videro protagonisti proprio Einstein e Bohr, la domanda di Einstein rivolta proprio a Bohr "Allora lei sostiene che la Luna non esiste quando nessuno la osserva?". Bohr rispose che la domanda non poteva essere posta perché concettualmente priva di risposta.