Polarizzazione elettrica

In fisica, la polarizzazione elettrica nei materiali è la presenza di un dipolo elettrico macroscopico in un materiale in seguito all'applicazione di un campo elettrico. La polarizzazione elettrica si manifesta in particolare nei materiali isolanti, e genera la presenza di carica elettrica, detta carica di polarizzazione, sulla superficie ed all'interno di essi.

Polarizzazione elettrica

Per approfondire, vedi le voci Dipolo elettrico e Elettrizzazione.

I dielettrici sono materiali elettricamente neutri e non contengono cariche elettriche libere. La polarizzazione di un dielettrico è la formazione di un dipolo orientato in modo tale da contrastare il campo elettrico esterno: tale dipolo è dato dalle deformazioni della struttura elettronica microscopica degli atomi attorno alla posizione di equilibrio, oppure dal loro orientamento. Questo rende possibile la distinzione di due tipi di polarizzazione: la polarizzazione per deformazione e la polarizzazione per orientamento.
Esistono inoltre alcuni materiali dielettrici particolari, cosiddetti ferroelettrici, che mantengono la polarizzazione anche quando lo stimolo esterno viene a mancare: questi materiali hanno solitamente proprietà piezoelettriche.

Polarizzazione per deformazione

Gli elettroni possono deformare i propri orbitali spostando leggermente la propria posizione rispetto ai nuclei, formando un dipolo di piccolissima intensità per ogni atomo del materiale: la somma dei dipoli microscopici produce il dipolo totale del solido. Tale fenomeno consiste nel fatto che il nucleo, positivo, subisce una forza elettrica approssimativamente proporzionale al microcampo elettrico all'interno del materiale chiamato campo locale, creando così un momento di dipolo non nullo:

$\mathbf p = \alpha_d \mathbf E_l$

dove α_d è il coefficiente detto di polarizzabilità elettronica per deformazione. Il campo elettrico locale $\mathbf E_l$ è il campo agente sull'atomo considerato e non comprende il contributo dell'atomo stesso.

Polarizzazione per orientamento

Molte molecole, in particolare quelle caratterizzate da una configurazione non simmetrica, sono dotate di un momento di dipolo intrinseco, dovuto sia al tipo di legame, sia all'asimmetria della molecola. Tuttavia tale momento di dipolo è mediamente nullo, dal momento che per un grande numero di molecole l'orientazione dei singoli dipoli è distribuita in maniera casuale. Se è presente un campo elettrico esterno i momenti di dipolo si orientano parallelamente ad esso e il suo valore medio è quindi diverso da zero.
Il calcolo del valore medio dei momenti di dipolo si effettua con la funzione di Boltzmann, dalla quale si ottiene:

$<\mathbf p> = \frac {p_{0}^{2} \mathbf E_l} {3KT} = \alpha_o \mathbf E_l$

dove K è la costante di Boltzmann, T è la temperatura in kelvin, e $\vec p_0$ è il momento di dipolo intrinseco. Infine α_o è il coefficiente di polarizzabilità elettronica per orientamento.

Polarizzazione nei materiali

A seconda dello stato di aggregazione degli atomi e delle loro caratteristiche, la polarizzazione elettrica in gas, liquidi e nei solidi cristallini si differenzia notevolmente.

Polarizzazione nei gas

Nelle sostanze gassose il campo locale è approssimabile al campo macroscopico, in quanto l'interazione fra le molecole in un gas è debole. Il legame tra il vettore polarizzazione elettrica e il campo elettrico è sostanzialmente lineare, ed approssimativamente si ha solo polarizzazione per orientamento:

$\mathbf P = n \alpha_o \mathbf E$

dove n è il numero medio di molecole per unità di volume.

Polarizzazione nei liquidi

Il comportamento dei liquidi rende necessario distinguere tra liquidi polari e non polari:

Liquidi polari

Per i liquidi polari si ha un effetto di polarizzazione sia per orientamento che per deformazione:

$\mathbf P = n \alpha \mathbf E$

dove:

$\alpha = \alpha_o + \alpha_d \$

Liquidi non polari

Per i liquidi non polari si usa, sotto opportune approssimazioni, la relazione di Lorentz tra il campo elettrico locale e campo elettrico esterno:

$\mathbf E_l = \mathbf E + \frac {\mathbf P} {3\epsilon_0}$

$\mathbf P = n \alpha \left (\mathbf E + \frac {\mathbf P} {3\epsilon_0} \right) = \left ( \frac {n \alpha} { \left (1 - \frac {n\alpha}{3\epsilon_0} \right )} \right) \mathbf E = \epsilon_0 \chi \mathbf E$

dove:

$\chi = \frac {n \alpha} {\epsilon_0 \left (1 - \frac {n\alpha}{3\epsilon_0} \right )} = \epsilon_r - 1$

è chiamata suscettività elettrica, mentre $\epsilon_r$ è la permittività elettrica relativa relativa al materiale.

Polarizzazione nei solidi cristallini

All'interno dei metalli gli elettroni di valenza sono in generale liberi di muoversi liberamente all'interno del solido. Se il metallo viene immerso in un campo elettrico si forma una densità di carica superficiale tale da schermare il campo esterno, e si osserva una corrente che scorre nello stesso senso del campo per un brevissimo periodo di tempo, dopo il quale il metallo ritorna alla condizione precedente alla perturbazione eccetto che sulla superficie. La quantità di carica libera è solitamente tale da schermare qualsiasi campo elettrico costante applicato, e la polarizzabilità elettrica per i metalli è approssimabile a zero.
I materiali semiconduttori, invece, a temperatura ambiente presentano un comportamento metallico per campi elettrici di bassa intensità ed un comportamento dielettrico per campi elettrici più forti. La costante dielettrica per i semiconduttori è solitamente molto alta: 13.8 per il silicio, circa 14 per il germanio.
Nei solidi cristallini, infine, il legame tra il vettore polarizzazione elettrica e il campo elettrico esterno dipende anche dalla direzione del campo, e quindi la relazione è la più generale possibile:

$\mathbf P = \alpha \mathbf E$

Le cui componenti sono:

$\begin{cases} P_x = \alpha_{11} E_x + \alpha_{12} E_y + \alpha_{13} E_z \\ P_y = \alpha_{21} E_x + \alpha_{22} E_y + \alpha_{23} E_z \\ P_z = \alpha_{31} E_x + \alpha_{32} E_y + \alpha_{33} E_z \end{cases}$

dove:

$|| \alpha || = \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} \\ \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{bmatrix}$

è il tensore di polarizzazione. Se i suoi elementi sono tutti costanti il dielettrico si dice perfetto, mentre se si riducono ad uno scalare si dice isotropo.

Vettore polarizzazione elettrica

L'effetto della polarizzazione elettrica può essere descritto riconducendo la polarizzazione dei dipoli microscopici ad una grandezza vettoriale macroscopica, che descriva il comportamento globale del materiale soggetto alla presenza di un campo elettrico esterno. Il vettore intensità di polarizzazione, anche detto vettore di polarizzazione elettrica e indicato con $\mathbf P$, è il dipolo elettrico per unità di volume posseduto dal materiale. Definito come il valore medio del momento magnetico proprio $\mathbf p$ di N particelle contenute in un volume infinitesimo dV, è espresso dalla relazione:

$\mathbf P = \lim_{\Delta V \to 0} \frac {\Delta N}{\Delta V} <\mathbf p> =\lim_{\Delta V \to 0} \frac { \sum_{i=1}^{\Delta N} {\mathbf p_i}}{\Delta V}$

Nella definizione il limite vale per un volume che contenga un numero significativo di atomi tale da poterne calcolare una proprietà media. Il potenziale elettrico associato al campo elettrico generato in un punto r' dalla polarizazione del materiale è la somma dei contributi forniti da ogni elemento di volume dV di materiale posto nel punto r. Integrando su tutto lo spazio si ottiene dunque:

$V (\mathbf r ) = \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \int_V \frac {\mathbf P \cdot \Delta \mathbf r }{|\Delta \mathbf r |^3} dV$

dove $d \mathbf p = \mathbf P dV$ è il momento di dipolo posseduto dal volume infinitesimo dV di materiale e $\Delta \mathbf r = |\mathbf r' - \mathbf r|$ la differenza vettoriale tra la posizione r del volume elementare e il punto r' in cui è calcolato il potenziale.
Il vettore di polarizzazione, in quanto sorgente di un campo elettrico, deve essere legato ad una certa densità di carica microscopica. Si dimostra infatti che la precedente relazione è equivalente a scrivere:

$V (\mathbf r) = \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V} \frac {\mathbf P \cdot \mathbf n}{|\Delta \mathbf r|} dV + \frac {1}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V} \frac {(-\mathrm{div } \mathbf P )}{|\Delta \mathbf r|} dS$

Confrontando tale espressione con quella del potenziale generato da una distribuzione di carica superficiale e volumica, si evince che la polarizzazione nei dielettrici è descritta da una certa densità di carica di polarizzazione superficiale σ_p e volumica ρ_p legata al vettore di polarizzazione elettrica da:

$\sigma_p = \mathbf P \cdot \mathbf n \qquad \rho_p = - \mathrm{div } \mathbf P = - \mathbf \nabla \cdot \mathbf P$

La polarizzazione del materiale si manifesta quindi attraverso la modifica della distribuzione di carica associata agli atomi e le molecole che compongono il materiale stesso, la quale è sorgente di un campo aggiuntivo presente all'interno del materiale. Questo è dovuto al fatto che sotto l'azione di un campo elettrico esterno si generano o si orientano i dipoli microscopici presenti nel materiale, costituiti dalla carica elettrica di atomi o molecole. Nel momento in cui un campo esterno separa spazialmente il nucleo dalla nuvola elettronica di un atomo, da un oggetto neutro si genera un dipolo, costituito da due cariche uguali in modulo ed opposte in segno. Allo stesso modo, l'orientazione collettiva dei dipoli molecolari genera una distribuzione di carica regolare e non più casuale, che genera un campo non mediamente nullo.
L'azione di un campo elettrico esterno, quindi, genera un campo aggiuntivo all'interno del materiale, dovuto alla modifica della distribuzione di carica nel materiale: se il vettore di polarizzazione è uniforme i singoli dipoli si annullano reciprocamente, e la densità volumica di carica di polarizzazione si annulla. In questa situazione la carica di polarizzazione si manifesta soltanto sulla superficie del dielettrico.

Equazioni di Maxwell per i dielettrici

Per approfondire, vedi le voci Equazioni di Maxwell e Vettore induzione elettrica.

Introducendo la densità di carica di polarizzazione ρ_p, la prima delle equazioni di Maxwell, che esprime la forma locale del teorema del flusso per il campo elettrico, diventa:

$\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{1}{\varepsilon_0} (\rho_f + \rho_p) = \frac{1}{\varepsilon_0}(\rho_f -\nabla\cdot\mathbf{P})$

dove ρ_f è la densità di cariche libere e nel secondo passaggio si è utilizzata la relazione tra la densità volumica di carica di polarizzazione ed il vettore di polarizzazione. Si ha quindi:

$\nabla\cdot (\varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}) = \rho_f$.

L'argomento dell'operatore differenziale è il vettore induzione elettrica, definito come:

$\mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$

E la prima equazione di Maxwell assume la forma:

$\nabla\cdot\mathbf{D} = \rho -\rho_p = \rho_f$

La maggior parte dei materiali isolanti può essere trattata come un dielettrico lineare omogeneo ed isotropo, questo significa che tra il dipolo indotto nel materiale ed il campo elettrico esterno sussista una relazione lineare. Si tratta di un'approssimazione di largo utilizzo, ed in tal caso i campi $\mathbf{E}$ e $\mathbf{D}$ sono equivalenti a meno di un fattore di scala:

$\mathbf{D} = \epsilon_r\epsilon_0\mathbf{E}$

e di conseguenza:

$\mathbf{P} = (\epsilon_r-1)\epsilon_0\mathbf{E} = \varepsilon_{0} \chi \mathbf{E},$

La grandezza $\epsilon_r$ è la costante dielettrica relativa, e dipende dalle caratteristiche microscopiche del materiale. Può essere misurata empiricamente e, a partire dagli anni settanta, viene calcolata anche con l'ausilio dei calcolatori elettronici. Se il materiale non è omogeneo, lineare ed isotropo, allora ε dipende da fattori come la posizione all'interno del mezzo, la temperatura o la frequenza del campo applicato. In particolare, se il materiale è omogeneo e anisotropo la costante dielettrica diventa una matrice, se non è omogeneo i coefficienti della matrice sono una funzione della posizione, e se non è lineare la costante dielettrica dipende dal campo elettrico, ed in generale anche dal tempo.
Nel dominio delle frequenze, per un mezzo lineare e indipendente dal tempo sussiste la relazione:

$\mathbf{D(\omega)} = \varepsilon (\omega) \mathbf{E}(\omega)$

dove ω è la frequenza del campo.
Il vettore di polarizzazione per un mezzo non lineare, nè omogeneo, nè isotropo, dipende a sua volta dal campo attraverso il tensore di polarizzazione.

Bibliografia

• Corrado Mencuccini; Vittorio Silvestrini, Fisica II, Napoli, Liguori Editore, 2010. ISBN 978-88-207-1633-2

Voci correlate

• Antenna
• Dipolo elettrico
• Elettromagnetismo
• Equazioni di Maxwell
• Piezoelettricità
• Polarizzabilità

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