Valore principale di Cauchy

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In matematica, il valore principale di Cauchy o integrale in parte principale, chiamato così in onore di Augustin Louis Cauchy, è il metodo per assegnare un valore ad integrali impropri altrimenti indefiniti, permettendo ad esempio di definire la funzione logaritmo integrale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

In base al dominio di integrazione ed al tipo di singolarità della funzione integranda, il valore principale di Cauchy è definito come segue.

  • Per un integrale doppiamente infinito:
\mbox{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx := \lim_{R \to +\infty} \int_{-R}^{R} f(x) dx
  • Se la funzione integranda ha una singolarità in c \in \; ]a,b[ allora:
\mbox{P.V.} \int_a^b f(x) dx := \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\int_a^{c-\varepsilon} f(x) dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x) dx \right]
  • Se l'integrale è doppiamente infinito e la funzione integranda ha una singolarità in c \in \; ]a,b[ allora:
\mbox{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx := \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\int_{c-\frac1{\varepsilon}}^{c-\varepsilon} f(x) dx + \int_{c+\varepsilon}^{c+\frac1{\varepsilon}} f(x) dx \right]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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