Apotema (geometria)

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In geometria, con riferimento ai poligoni regolari, l'apotema (indicato con a) [1] è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno degli n lati. Esso è specifico per ciascun poligono regolare e dipende dal numero dei lati; il suo utilizzo principale è nel calcolo delle area, combinato al perimetro, in quanto coincide pure con l'altezza degli n triangoli isosceli congruenti in cui è divisibile il poligono

Con riferimento alla geometria solida, invece, il termine ha un altro significato: nelle piramidi regolari e nei coni indica il segmento o la distanza del vertice dal punto medio del lato alla base o su un qualsiasi punto della circonferenza nel secondo caso.

Indice

[modifica] Nei poligoni regolari

Apotema in un ottagono
Apotema in un ottagono

Nei poligoni regolari l'area totale può essere divisa in n triangolo isosceli uguali, la cui base coincide con i lati del poligono e i lati obliqui con i segmenti che congiungono i vertiti con l'incentro dello stesso. L'apotema tocca il lato del poligono sempre nel punto medio ed, essendo il raggio dell'incerchio, è rispetto questo sempre perpendicolare, coincide dunque con l'altezza del triangolo isoscele, la cui ampiezza al vertice misura una frazione esatta dell'angolo giro fratto n.

Se ne può ricavare, quindi, che il rapporto fra l'apotema e il lato di un poligono regolare n-agonale è sempre costante, e può essere ricavato a priori semplicemente sapendo il numero di lati attraverso le relazioni trigonometriche che legano gli elementi del triangolo. In questo caso trattandosi di un triangolo isoscele, l'apotema corrisponde a un cateto di un triangolo rettangolo avente come altro cateto il semilato (l/2) del poligono e per ipotenusa il circumraggio e angolo adiacente α pari a π/2.

a_n = \frac{l}{2\tan{(\pi / n)}}
a = R \cos{\frac{\pi}{n}}

Inoltre, grazie alla divisione in triangoli, è anche possibile capite come l'apotema facilità notevolmente il calcolo delle aree in questi casi; basta infatti calcolare l'area del singolo triangolo e poi moltiplicarla per il numero dei lati.

A_n = n\frac{l \cdot a_n}{2} oppure A_n = s \cdot a_n

dove s rappresenta il semiperimetro.

[modifica] Numeri fissi

Dall'apotema derivano classicamente anche due numeri fissi, che sono vere e proprie costanti tipiche di ciascun poligono e dipendente unicamente dal numero dei lati.

  • fi il rapporto apotema/lato pari a \frac{1}{2\tan{(\pi / n)}}
  • ji il rapporto fra l'area del poligono e il quadrato del lato \frac{n f_i}{2}
Poligono N fi ji
Triangolo 3 0,289 0,433
Quadrato 4 0,5 1
Pentagono 5 0,688 1,720
Esagono 6 0,866 2,598
Ettagono 7 1,038 3,634
Ottagono 8 1,207 4,828
Ennagono 9 1,373 6,182
Decagono 10 1,539 7,694


[modifica] Caso limite di poligono regolare e definizione di π

Sempre dalla relazione (1), si vede come al crescere del numero di lati del poligono, per n che tende ad infinito, l'apotema tende a coincidere con il raggio R del cerchio circoscritto, il poligono tende a coincidere con il cerchio circoscritto.

In altre parole, circoferenza inscritta e circoscritta tendono a coincidere (r = R): in questo modo la costante π può essere definita come il rapporto fra l'area del cerchio inscritto e circoscritto ad un poligono regolare avente un numero infinito di lati (n che tende a \infty).

Analogamente, il rapporto fra il perimetro e l'altezza del poligono tendono a π, che è appunto il rapporto fra il perimetro di una circoferenza e il relativo raggio. Si ha che:

\lim_{n \to \infty}{\frac{n*a}{r}} = \pi,

dove n * a è il perimetro di un poligono regolare di lato a e altezza r.

In modo uguale , il numero π può essere definito anche come il rapporto fra perimetro e apotema di un poligono regolare avente un numero infinito di lati.

Il numero π è definito, appunto, all'interno di un limite (per un numero di lati n che tende ad infinito). Questo è prevedibile, poiché, π, essendo un numero irrazionale non può essere dedotto da operazioni su numeri reali (e diviene necessario spostarsi nel campo di R * , che include anche il simbolo di \infty).

[modifica] Apotema dei principali solidi

Apotema di una piramide retta con base regolare è ogni segmento che cade dall'apice della piramide perpendicolarmente su un suo lato di base, cioè ogni segmento che congiunge il suo apice al punto medio di ogni suo lato di base, ovvero la loro lunghezza comune. Apotema = apotema base al quadrato più il quadrato dell'altezza: A= a base² + h²

Apotema di un cono retto è ogni segmento che congiunge il suo apice a un punto della circonferenza di base, ovvero la sua lunghezza, cioè la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo rettangolo con il quale si può definire il cono stesso.

Si osserva che quest'ultima definizione si può considerare un caso limite della precedente: il cono è infatti un solido di rotazione, che si ottiene facendo "girare" una piramide intono alla sua altezza.

La definizione di apotema di un poligono regolare si può estendere in modo prevedibile ai poliedri che hanno facce poligonali congruenti come i solidi platonici.

[modifica] Note

  1. ^ Il simbolo a è molto diffuso nei testi di geometria delle scuole elementari e medie, ma data la coincidenza talvolta dell'apotema con l'inraggio può capitare che sia indicato con il simbolo di quest'ultimo r


[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni


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