Esempio di campioni da due popolazioni con la stessa media ma diversa varianza. La popolazione rossa ha media 100 e varianza 100 (SD=10), invece la popolazione blu ha media 100 e varianza 2500 (SD=50). In statistica e in teoria della probabilità la varianza di una variabile statistica o di una variabile aleatoria
X
{\displaystyle X}
funzione , indicata con
σ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}}
V
a
r
(
X
)
{\displaystyle \mathrm {Var} (X)}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
media aritmetica o dal valore atteso
E
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {E} [X]}
Il termine di "varianza" venne introdotto nel 1918 da Ronald Fisher e sostituì nel tempo la denominazione di "deviazione standard quadratica" utilizzata da Karl Pearson .
La varianza della variabile aleatoria
X
{\displaystyle X}
valore atteso del quadrato della variabile aleatoria centrata
X
−
E
[
X
]
{\displaystyle X-\mathbb {E} [X]}
σ
X
2
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
.
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}{\Big ]}.}
Un esempio di "misura" dello scostamento di una variabile aleatoria dalla media è dato dalla disuguaglianza di Čebyšëv che controlla questo scostamento in termini dello scarto tipo:
P
(
|
X
−
E
[
X
]
|
⩾
λ
σ
X
)
⩽
1
λ
2
,
{\displaystyle P{\Big (}{\big |}X-\mathbb {E} [X]{\big |}\geqslant \lambda \sigma _{X}{\Big )}\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2}}},}
dove
σ
X
=
σ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}}
La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume quasi certamente un solo valore
x
0
{\displaystyle x_{0}}
P
(
X
=
x
0
)
=
1
{\displaystyle P(X=x_{0})=1}
Massimo e minimo della varianza fissati i valori estremi della distribuzione [ modifica | modifica wikitesto ] Dato un insieme di
n
{\displaystyle n}
m
i
n
{\displaystyle \mathrm {min} }
m
a
x
{\displaystyle \mathrm {max} }
σ
m
a
x
2
=
(
m
a
x
−
m
i
n
)
2
4
.
{\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }^{2}={\frac {(\mathrm {max} -\mathrm {min} )^{2}}{4}}.}
Se dalle osservazioni si conosce soltanto la media
μ
{\displaystyle \mu }
σ
m
a
x
2
=
μ
2
(
n
−
1
)
.
{\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }^{2}=\mu ^{2}(n-1).}
Espressione della varianza come differenza tra il momento di ordine 2 e il quadrato del valore atteso [ modifica | modifica wikitesto ] Una formula alternativa per la varianza è
σ
X
2
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\ }
Questa formula è più pratica per calcolare la varianza.
Dimostrazione
La varianza di
X
{\displaystyle X}
valore atteso di
(
X
−
E
[
X
]
)
2
=
X
2
−
2
X
E
[
X
]
+
E
[
X
]
2
{\displaystyle (X-\mathbb {E} [X])^{2}=X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}\ }
per la linearità del valore atteso si ottiene
σ
X
2
=
E
[
X
2
−
2
X
E
[
X
]
+
E
[
X
]
2
]
=
E
[
X
2
]
−
2
E
[
X
]
E
[
X
]
+
E
[
X
]
2
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\ }
La varianza è invariante per traslazione , che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per riscalamento :
σ
a
X
+
b
2
=
a
2
σ
X
2
{\displaystyle \sigma _{aX+b}^{2}=a^{2}\sigma _{X}^{2}\ }
Dimostrazione
Sfruttando la linearità del valore atteso si trova
(
a
X
+
b
)
−
E
[
a
X
+
b
]
=
a
X
+
b
−
a
E
[
X
]
−
b
=
a
(
X
−
E
[
X
]
)
,
{\displaystyle (aX+b)-\mathbb {E} [aX+b]=aX+b-a\mathbb {E} [X]-b=a(X-\mathbb {E} [X]),}
quindi
σ
a
X
+
b
2
=
E
[
a
2
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
=
a
2
σ
X
2
.
{\displaystyle \sigma _{aX+b}^{2}=\mathbb {E} [a^{2}(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=a^{2}\sigma _{X}^{2}.}
Varianza della somma di due variabili indipendenti [ modifica | modifica wikitesto ] La varianza della somma di due variabili indipendenti o anche solo incorrelate è pari alla somma delle loro varianze
σ
X
+
Y
2
=
σ
X
2
+
σ
Y
2
.
{\displaystyle \sigma _{X+Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}.}
Varianza della differenza di due variabili indipendenti [ modifica | modifica wikitesto ] Usando le due precedenti affermazioni, possiamo dire che la varianza della differenza di due variabili indipendenti è pari alla somma delle loro varianze
σ
X
−
Y
2
=
σ
X
+
(
−
Y
)
2
=
σ
X
2
+
σ
−
Y
2
=
σ
X
2
+
σ
Y
2
.
{\displaystyle \sigma _{X-Y}^{2}=\sigma _{X+(-Y)}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{-Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}.}
Varianza della somma di due variabili non indipendenti [ modifica | modifica wikitesto ] Se
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
covarianza ,
σ
X
+
Y
2
=
σ
X
2
+
σ
Y
2
+
2
σ
X
,
Y
,
{\displaystyle \sigma _{X+Y}^{2}=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\sigma _{X,Y},}
dove
σ
X
,
Y
=
E
[
X
Y
]
−
E
[
X
]
E
[
Y
]
.
{\displaystyle \sigma _{X,Y}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].}
Varianza della media aritmetica di variabili indipendenti [ modifica | modifica wikitesto ] In particolare, la media aritmetica
X
¯
=
X
1
+
…
+
X
n
n
{\displaystyle \textstyle {\bar {X}}={\frac {X_{1}+\ldots +X_{n}}{n}}}
n
{\displaystyle n}
σ
X
¯
2
=
1
n
2
σ
X
1
+
…
+
X
n
2
=
1
n
σ
X
1
2
.
{\displaystyle \sigma _{\bar {X}}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sigma _{X_{1}+\ldots +X_{n}}^{2}={\frac {1}{n}}\sigma _{X_{1}}^{2}.}
La varianza di una variabile aleatoria discreta
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
funzione di probabilità :
E
[
X
]
=
∑
x
∈
A
x
P
(
X
=
x
)
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{x\in A}xP(X=x)}
σ
X
2
=
∑
x
∈
A
(
x
−
E
[
X
]
)
2
P
(
X
=
x
)
.
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{x\in A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}P(X=x).}
La varianza di una variabile aleatoria continua
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
densità di probabilità :
E
[
X
]
=
∫
A
x
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{A}xf(x)dx}
σ
X
2
=
∫
A
(
x
−
E
[
X
]
)
2
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\int _{A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx.}
Una variabile aleatoria di Bernoulli
X
{\displaystyle X}
p
{\displaystyle p}
q
=
1
−
p
{\displaystyle q=1-p}
E
[
X
]
=
0
⋅
P
(
X
=
0
)
+
1
⋅
P
(
X
=
1
)
=
P
(
X
=
1
)
=
p
,
{\displaystyle \mathbb {E} [X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=P(X=1)=p,}
e la sua varianza può essere calcolata come
σ
X
2
=
E
[
(
X
−
E
[
X
]
)
2
]
=
E
[
(
X
−
p
)
2
]
=
p
2
P
(
X
=
0
)
+
q
2
P
(
X
=
1
)
=
p
q
(
p
+
q
)
=
p
q
,
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [(X-p)^{2}]=p^{2}P(X=0)+q^{2}P(X=1)=pq(p+q)=pq,}
oppure come
σ
X
2
=
E
[
X
2
]
−
E
[
X
]
2
=
P
(
X
=
1
)
−
p
2
=
p
(
1
−
p
)
=
p
q
.
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=P(X=1)-p^{2}=p(1-p)=pq.}
In statistica la varianza è un indice di variabilità . Data una distribuzione di un carattere quantitativo
X
{\displaystyle X}
popolazione di
n
{\displaystyle n}
media aritmetica del quadrato delle distanze dei valori dalla loro media
σ
X
2
=
∑
i
(
x
i
−
μ
X
)
2
n
,
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {\sum _{i}(x_{i}-\mu _{X})^{2}}{n}},}
dove
μ
X
=
∑
i
x
i
n
{\displaystyle \textstyle \mu _{X}={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}}
media aritmetica di
X
{\displaystyle X}
Nel caso si disponga della distribuzione di frequenze di un carattere , è possibile calcolare più facilmente la varianza attraverso la seguente formula:
σ
X
2
=
1
n
∑
j
=
1
K
(
x
j
−
μ
X
)
2
n
j
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{K}(x_{j}-\mu _{X})^{2}n_{j}}
dove
K
{\displaystyle K}
x , mentre
x
j
{\displaystyle x_{j}}
n
j
{\displaystyle n_{j}}
modalità di x e la relativa frequenza assoluta .
A partire dalla precedente formula, ricordando che
n
j
/
n
=
f
j
{\displaystyle n_{j}/n=f_{j}}
σ
X
2
=
∑
j
=
1
K
(
x
j
−
μ
X
)
2
f
j
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{j=1}^{K}(x_{j}-\mu _{X})^{2}f_{j}}
dove
f
j
{\displaystyle f_{j}}
frequenza relativa della j-esima modalità.
Esiste, infine, una formula semplificata per il calcolo della varianza:
σ
X
2
=
(
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
)
−
μ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-\mu _{X}^{2}}
Le formule corrispondenti alla precedente che fanno uso della frequenza assoluta e di quella relativa sono:
σ
X
2
=
1
n
∑
j
=
1
K
x
j
2
n
j
−
μ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{K}x_{j}^{2}n_{j}-\mu _{X}^{2}}
σ
X
2
=
∑
j
=
1
K
x
j
2
f
j
−
μ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{j=1}^{K}x_{j}^{2}f_{j}-\mu _{X}^{2}}
Un difetto della varianza è quello di non avere la stessa unità di misura dei valori analizzati (se, per esempio, questi sono in cm, la varianza sarà in cm2 ), perciò in statistica viene molto spesso utilizzata anche la radice quadrata della varianza, vale a dire lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo )
σ
X
=
σ
X
2
{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}}}}
σ
2
{\displaystyle \sigma ^{2}}
In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di cardinalità
n
{\displaystyle n}
S
n
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
n
{\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n}}\quad }
S
n
−
1
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
n
−
1
,
{\displaystyle \quad S_{n-1}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{n-1}},}
dove
x
¯
=
x
1
+
…
+
x
n
n
{\displaystyle \textstyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}
media campionaria. Il primo è detto varianza campionaria , mentre il secondo è detto varianza campionaria corretta a causa della sua proprietà di correttezza . Infatti lo stimatore
S
n
−
1
2
{\displaystyle S_{n-1}^{2}}
distorsione , cioè il suo valore atteso è proprio la varianza:
E
[
S
n
−
1
2
]
=
σ
2
(
X
)
{\displaystyle \mathbb {E} [S_{n-1}^{2}]=\sigma ^{2}(X)}
Dimostrazione
E
[
S
n
−
1
2
]
=
E
[
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
]
=
E
[
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
i
2
−
2
x
i
x
¯
+
x
¯
2
)
]
=
E
[
1
n
−
1
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
2
x
¯
∑
i
=
1
n
x
i
+
n
x
¯
2
)
]
=
E
[
1
n
−
1
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
2
n
x
¯
2
+
n
x
¯
2
)
]
=
E
[
1
n
−
1
(
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
n
x
¯
2
)
]
=
E
[
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
n
n
−
1
x
¯
2
]
=
1
n
−
1
(
∑
E
[
x
i
2
]
−
n
E
[
x
¯
2
]
)
=
1
n
−
1
(
n
E
[
x
2
]
−
n
E
[
x
¯
2
]
)
=
n
n
−
1
(
σ
2
(
x
)
+
E
[
x
]
2
−
σ
2
(
x
¯
)
−
E
[
x
¯
]
2
)
=
n
n
−
1
(
σ
2
(
x
)
+
μ
2
−
1
n
σ
2
(
x
)
−
μ
2
)
=
n
n
−
1
(
n
−
1
n
σ
2
(
x
)
)
=
σ
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } [S_{n-1}^{2}]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}~-~{\overline {x}})^{2}\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}~-~2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~2n{\overline {x}}^{2}+n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~{\frac {n}{n-1}}{\overline {x}}^{2}\right]\\[8pt]&={\frac {1}{n-1}}\left(\sum \operatorname {\mathbb {E} } [x_{i}^{2}]~-~n\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}^{2}]\right)\\[8pt]&={\frac {1}{n-1}}\left(n\operatorname {\mathbb {E} } [x^{2}]~-~n\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}^{2}]\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left(\sigma ^{2}(x)+\operatorname {\mathbb {E} } [x]^{2}~-~\sigma ^{2}({\overline {x}})-\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}]^{2}\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left(\sigma ^{2}(x)+\mu ^{2}~-~{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}(x)-\mu ^{2}\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left({\frac {n-1}{n}}~\sigma ^{2}(x)\right)\\[8pt]&=\sigma ^{2}.\end{aligned}}}
Al contrario, lo stimatore
S
n
2
{\displaystyle S_{n}^{2}}
E
[
S
n
2
]
=
n
−
1
n
σ
2
(
X
)
{\displaystyle \mathbb {E} [S_{n}^{2}]=\textstyle {\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}(X)}
Una spiegazione del termine
n
−
1
{\displaystyle n-1}
teorema del limite centrale ha varianza 1/n. Se la media è nota, lo stimatore
S
n
2
{\displaystyle S_{n}^{2}}
Se le
X
i
{\displaystyle X_{i}}
variabili aleatorie normali
N
(
μ
,
σ
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma )}
S
n
−
1
2
{\displaystyle S_{n-1}^{2}}
distribuzione
χ
2
{\displaystyle \chi ^{2}}
.
Il campione di
n
=
5
{\displaystyle n=5}
{
−
4
,
−
1
,
1
,
2
,
7
}
{\displaystyle \{-4,-1,1,2,7\}}
x
¯
=
−
4
−
1
+
1
+
2
+
7
5
=
1
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {-4-1+1+2+7}{5}}=1}
e gli stimatori della varianza valgono rispettivamente
S
n
2
=
(
−
4
−
1
)
2
+
(
−
1
−
1
)
2
+
(
1
−
1
)
2
+
(
2
−
1
)
2
+
(
7
−
1
)
2
5
=
25
+
4
+
0
+
1
+
36
5
=
66
5
=
13
,
2
{\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {(-4-1)^{2}+(-1-1)^{2}+(1-1)^{2}+(2-1)^{2}+(7-1)^{2}}{5}}={\frac {25+4+0+1+36}{5}}={\frac {66}{5}}=13,2}
e
S
n
−
1
2
=
66
5
−
1
=
16
,
5.
{\displaystyle S_{n-1}^{2}={\frac {66}{5-1}}=16,5.}
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09de7acbba84104ff260708b6e9b8bae32c3fafa)
![{\displaystyle X-\mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d85a582a2b05a73cfae7767a92c72dcc6f7f3f)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}{\Big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c258af40fceba1837dd865149d0baeb55c4da7)
![{\displaystyle P{\Big (}{\big |}X-\mathbb {E} [X]{\big |}\geqslant \lambda \sigma _{X}{\Big )}\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d20d238b1096af74b8472b74f57e84e7fde0c68)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d5cfc3ef58e32ced9feeb8a8828b19358f75ff)
![{\displaystyle (X-\mathbb {E} [X])^{2}=X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774cb2a9d243b26377858d6250cb46f36ea5cc8b)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112066ed2d949ee469a81d0353d461a671267713)
![{\displaystyle (aX+b)-\mathbb {E} [aX+b]=aX+b-a\mathbb {E} [X]-b=a(X-\mathbb {E} [X]),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c6f7783276d923845b138c53c30bbf192d0011)
![{\displaystyle \sigma _{aX+b}^{2}=\mathbb {E} [a^{2}(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=a^{2}\sigma _{X}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b91ec5dfa583a6c0420683b0ab6c67bf90f8313)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253668cf6fed03f8a436f85c80efc19d18cf56c0)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X+Y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bccee4ec4bc91c22c3c250ce5417971245ae87dc)
![{\displaystyle \sigma _{X+Y}^{2}=\mathbb {E} [(X+Y)^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]+2\mathbb {E} [XY]+\mathbb {E} [Y^{2}]=\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\mathbb {E} [XY],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5ec22db33f4e40bcf3bbd97e71867b5698ce1b)
![{\displaystyle \mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26446b2b9bbaa71a552e6759b92b29dd0250d4e3)
![{\displaystyle X'=X-\mathbb {E} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e7f737705f0882aceaedb7402c440def73196a)
![{\displaystyle \sigma _{X,Y}=\mathbb {E} [XY]-\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [Y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506476a4e97fbf97602bb2fe227b0ec92c65a67d)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum _{x\in A}xP(X=x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cea2942c89e98c279973e3503a690e669917177)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sum _{x\in A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}P(X=x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d2ffc1df984982c1229fc3493451bbfaf1b510)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int _{A}xf(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027ebfe587d339a944283989e81062c9a1b70cf7)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\int _{A}(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5041361e63f54df0e4070cec1e4cb67261ddad55)
![{\displaystyle \mathbb {E} [X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=P(X=1)=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c84bbcfa818aa1b4f710b7a3e1fb7a8f5a98b653)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [(X-p)^{2}]=p^{2}P(X=0)+q^{2}P(X=1)=pq(p+q)=pq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bcb3add443612dedd9d94f2ce3121f922d60e66)
![{\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=P(X=1)-p^{2}=p(1-p)=pq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c7651fb25865388a4d5158adcd15cb034616ef)
![{\displaystyle \mathbb {E} [S_{n-1}^{2}]=\sigma ^{2}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66136b4ccaa7450bcab3c222f8cd7e944e2c1801)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } [S_{n-1}^{2}]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}~-~{\overline {x}})^{2}\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}^{2}~-~2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~2n{\overline {x}}^{2}+n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~n{\overline {x}}^{2}\right)\right]\\[8pt]&=\operatorname {\mathbb {E} } \left[{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}~-~{\frac {n}{n-1}}{\overline {x}}^{2}\right]\\[8pt]&={\frac {1}{n-1}}\left(\sum \operatorname {\mathbb {E} } [x_{i}^{2}]~-~n\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}^{2}]\right)\\[8pt]&={\frac {1}{n-1}}\left(n\operatorname {\mathbb {E} } [x^{2}]~-~n\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}^{2}]\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left(\sigma ^{2}(x)+\operatorname {\mathbb {E} } [x]^{2}~-~\sigma ^{2}({\overline {x}})-\operatorname {\mathbb {E} } [{\overline {x}}]^{2}\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left(\sigma ^{2}(x)+\mu ^{2}~-~{\frac {1}{n}}\sigma ^{2}(x)-\mu ^{2}\right)\\[8pt]&={\frac {n}{n-1}}\left({\frac {n-1}{n}}~\sigma ^{2}(x)\right)\\[8pt]&=\sigma ^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf65d856db1e0df13b767b9f58bf84e14b7d7b4)
![{\displaystyle \mathbb {E} [S_{n}^{2}]=\textstyle {\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df55cf52bfe0343d626c594291d79e83ec6ca9d)
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