Legge della varianza totale

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La legge della varianza totale è un teorema della teoria della probabilità, che afferma che se e sono variabili casuali definite sul medesimo spazio di probabilità, e la varianza di è finita, allora:

dove è il valore atteso condizionato di x, e la varianza condizionata, ovvero:

Dal punto di vista della statistica più che della teoria della probabilità, il primo termine è detto componente non spiegata della varianza totale, e il secondo è la componente spiegata; tale suggestiva terminologia si ricollega all'analisi del modello lineare, e in particolare al coefficiente di determinazione, o R².

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La legge della varianza totale può essere immediatamente dimostrata sfruttando la legge delle aspettative iterate, come segue.

Relazione con il modello lineare[modifica | modifica wikitesto]

La legge della varianza totale presenta un'importante relazione con il modello di regressione lineare. Nel caso univariato, il modello lineare può essere enunciato come:

Si ha in tal caso che il rapporto di covarianza:

Ma allora, la componente spiegata della varianza totale altro non è che:

così che il rapporto tra l'espressione sopra e è il quadrato del coefficiente di correlazione tra e :

Tale grandezza corrisponde in effetti al coefficiente di determinazione R². È possibile ottenere un'analoga relazione nel caso multivariato.

Estensioni ai momenti di ordine superiore[modifica | modifica wikitesto]

Esistono relazioni analoghe alla legge della varianza totale e alla legge delle aspettative iterate per i momenti centrali di ordine superiore. Ad esempio, con riferimento al momento centrale di ordine 3, si ha:

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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