Tempo proprio

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La linea blu verticale rappresenta un osservatore inerziale che misura un intervallo di tempo t tra due eventi E1 e E2. La curva rossa rappresenta un orologio che misura il tempo τ trascorso nel suo sistema di riferimento tra gli stessi eventi.

In fisica, il tempo proprio è il tempo misurato in un sistema di riferimento solidale con il fenomeno di cui si misura la durata.

Il concetto, introdotto nel 1908 da Hermann Minkowski[1], è l’analogo spaziotemporale della lunghezza di un arco nello spazio euclideo tridimensionale. Esso consente di parametrizzare il tempo misurato da un osservatore fermo rispetto ad un altro osservatore in moto ed è informalmente definito come il tempo trascorso tra due eventi misurato da un orologio che passa attraverso entrambi.

La necessità di utilizzare questa grandezza è sorta in seguito alla nascita della teoria della relatività, in cui la misura di un intervallo temporale in un sistema di riferimento in moto accelerato è maggiore della stessa misura compiuta a sistema fermo.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un orologio che si muove con velocità costante ed un sistema di riferimento cartesiano (inerziale) solidale con esso. Rispetto ad un secondo sistema di riferimento a riposo, in un tempo l'orologio compie un percorso la cui lunghezza è data da , dove , e sono variazioni infinitesime della posizione dell'orologio nel sistema fermo. Poiché in relatività speciale l'intervallo spazio-temporale che resta invariato tra due sistemi in moto relativo uniforme è dato da:

dove è l'intervallo temporale nel sistema in moto, l'intervallo di tempo misurato dall'orologio in moto è dato dall'integrale di lungo la sua linea di universo. Tale integrale è massimo se la linea di universo interessata è una retta. Dalla precedente relazione si ricava:

dove:

è la velocità del sistema in moto. Si ha pertanto:

Il tempo proprio misurato dall'orologio in moto è definito per una velocità arbitraria nel seguente modo:[2]

dove è la velocità al tempo , mentre , e sono le coordinate spaziali.

Se il tempo e le coordinate spaziali sono parametrizzate da , si può scrivere:

In forma differenziale tale espressione diventa un integrale di linea:

dove è il cammino seguito dall'orologio nel sistema di riferimento.

La quantità è così invariante in seguito ad una trasformazione di Lorentz. Una grandezza che si conserva in tal modo è detta invariante di Lorentz, e l'insieme di trasformazioni che lasciano invariato è il gruppo di Lorentz.[3]

Relatività generale[modifica | modifica wikitesto]

La teoria della relatività generale consente di generalizzare i risultati della relatività ristretta utilizzando il formalismo tensoriale. Si consideri uno spaziotempo descritto da una varietà pseudo-riemanniana, caratterizzata da un tensore metrico , nella quale è definito un sistema di coordinate . L'intervallo tra due eventi distanti è dato da:

dove può essere di genere spazio, di genere luce o di genere tempo a seconda che sia rispettivamente minore, uguale o maggiore di zero. Nel primo caso l'intervallo non può essere attraversato poiché richiederebbe una velocità superiore alla velocità della luce , nel secondo caso la velocità necessaria è esattamente e la conversione al tempo proprio è banale, nel terzo caso è consentito l'attraversamento di oggetti massivi. Considerando la radice quadrata di entrambi i membri dell'elemento di linea si ha che il tempo proprio misurato dall'orologio in moto lungo un cammino di genere tempo è dato dall'integrale di linea:

dove:

in cui si è usata la notazione di Einstein.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Magnifying glass icon mgx2.svgLo stesso argomento in dettaglio: Quadrivelocità.

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce c, e cambia solo la direzione.

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate , con , espresse in funzione del tempo :

dove è l'i-esima componente della posizione al tempo . Le componenti della velocità nel punto tangente alla traiettoria sono:

dove le derivate sono valutate in .

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono , con , in cui è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio :

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

la quadrivelocità relativa a è definita come:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Hermann Minkowski, Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern [collegamento interrotto], in Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-August-Universität zu Göttingen, Göttingen, 1908, pp. 53–111.
  2. ^ Jackson, Pag. 528
  3. ^ Jackson, Pag. 527

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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