Contrazione delle lunghezze

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In fisica la contrazione delle lunghezze è un fenomeno, ipotizzato dalla teoria della relatività ristretta (formulata all'inizio del XX secolo da Einstein anche grazie al lavoro di Poincaré e Lorentz), che consiste nella riduzione della misura della lunghezza di un oggetto in moto rettilineo uniforme, rispetto alla misura effettuata da fermo. L'entità della contrazione (più formalmente chiamata contrazione di FitzGerald-Lorentz o di Lorentz-FitzGerald) diventa significativa, secondo la teoria, solo a velocità paragonabili a quella della luce e si manifesta soltanto nella direzione del moto.

contrazione delle lunghezze

Descrizione[modifica | modifica wikitesto]

La formula della misura della lunghezza di un oggetto in moto rispetto ad un osservatore è:

L=\frac{L_{p}}{\gamma(v)}=L_{p}\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}

dove

L_p è la lunghezza propria (la lunghezza dell'oggetto osservato nel suo sistema di riferimento),
L è la lunghezza misurata dall'osservatore in moto relativo rispetto all'oggetto,
v è la velocità relativa tra l'osservatore e l'oggetto
c è la velocità della luce.

e il fattore di Lorentz è definito come

\gamma (v) \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \ .

Notare che \gamma è sempre maggiore, o tutt'al più uguale ad 1, e che quest'equazione assume che l'oggetto sia parallelo alla direzione del moto. Notare anche che per l'osservatore in moto relativo, la lunghezza dell'oggetto è calcolata sottraendo le distanze di entrambe le estremità dell'oggetto misurate simultaneamente. Per conversioni più generali vedi trasformazioni di Lorentz.

Un osservatore a riposo che guarda un oggetto che si sposta alla velocità della luce dovrebbe osservare che la lunghezza dell'oggetto nella direzione del moto è zero. In aggiunta ad altre ragioni, ciò suggerisce che un oggetto dotato di massa non può viaggiare alla velocità della luce.

Prove della contrazione delle lunghezze[modifica | modifica wikitesto]

La contrazione delle lunghezze non è mai stata verificata sperimentalmente su oggetti materiali. In ambito subatomico sono stati effettuati esperimenti sul moto degli ioni (acceleratore RHIC a Brookhaven) che confermerebbero la teoria.

Ipotesi sulla contrazione di Lorentz-FitzGerald[modifica | modifica wikitesto]

Ipotesi sulla contrazione di Lorentz-FitzGerald, è il nome formale per la contrazione delle lunghezze proposto da George Francis FitzGerald e indipendentemente ideato ed esteso da Hendrik Lorentz per spiegare il risultato negativo dell'esperimento di Michelson-Morley, che tentava di riconoscere il moto relativo della Terra rispetto all'etere.

Dopo aver letto un articolo di Heaviside in cui si mostrava che i campi elettrico e magnetico erano deformati dal moto, FitzGerald dedusse che similmente, quando un corpo si muove attraverso lo spazio subisce una deformazione causata dal movimento e che questo può spiegare il risultato nullo. FitzGerald suggerì la contrazione in una lettera del 1889 a Science, che rimase inosservata finché Lorentz, nel 1892, mostrò come un simile effetto dovesse essere ottenuto basandosi sulla teoria elettromagnetica e sulla teoria elettronica della materia. Quando un corpo si muove attraverso lo spazio la sua dimensione parallela alla sua traiettoria si riduce di una quantità dipendente dalla velocità. Se la velocità del corpo è v e la velocità della luce è c, la contrazione è nella proporzione

\sqrt{1-v^{2}/c^{2}} : 1

Per la Terra che si muove a circa 30 km/s, la contrazione risulta essere circa di una parte su 200.000.000, che si traduce in circa 6 cm sul diametro della Terra. Questo piccolo cambiamento dà ragione del risultato negativo dell'esperimento di Michelson e Morley, comportando che la sorgente della luce e lo specchio fossero più vicini quando questi erano disposti lungo la direzione del moto della Terra.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

La contrazione della lunghezza può essere ricavata semplicemente dalle trasformazioni di Lorentz.

In un sistema di riferimento inerziale S', x_{1}^{'} e x_{2}^{'} sono gli estremi di un oggetto di lunghezza L_{0}^{'} a riposo rispetto ad S'. Le coordinate in S' sono collegate a quelle in S dalle trasformazioni di Lorentz come segue:

x_{1}^{'}=\frac{x_{1}-vt_{1}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\,\, e \,\,x_{2}^{'}=\frac{x_{2}-vt_{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.

Dato che questo oggetto si sta muovendo in S, la sua lunghezza L deve essere misurata determinando simultaneamente la posizione dei suoi estremi, perciò assumeremo t_{1}=t_{2}\,. Dato che L=x_{2}-x_{1}\, e \,L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}, otterremo

(1) L_{0}^{'}=\frac{L}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.

Quindi la lunghezza misurata in S è data da

(2) L=L_{0}^{'}\cdot\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.

In accordo con il secondo il principio di relatività, oggetti che sono a riposo in S dovranno accorciarsi per S'. In questo caso la trasformazione di Lorentz sarà la seguente:

x_{1}=\frac{x_{1}^{'}+vt_{1}^{'}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}     e    x_{2}=\frac{x_{2}^{'}+vt_{2}^{'}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.

Per il requisito di simultaneità t_{1}^{'}=t_{2}^{'}\, e ponendo L_{0}=x_{2}-x_{1}\ e L^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}, otteniamo dunque:

(3) L_{0}=\frac{L^{'}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.

Quindi la lunghezza misurata da  S' è data da:

(4) L^{'}=L_{0}\cdot\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}.

Dunque la (1) e la (3) forniscono la lunghezza propria quando è nota la lunghezza contratta, mentre le (2) e (4) forniscono quella contratta quando è nota la lunghezza propria.

Per capire meglio quanto avviene è opportuno usare il formalismo matriciale: nel sistema S^{'} in cui l'oggetto è a riposo, possiamo misurare la sua lunghezza misurando la distanza spaziale di due eventi nello spazio tempo che identificano le posizioni degli estremi dell'oggetto:

 x_1' = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \qquad x_2' = \left(\begin{array}{c} ct_1 \\ 0 \\ 0 \\ L'\end{array}\right)

Poiché l'oggetto è a riposo in questo sistema di riferimento, possiamo anche considerare gli eventi x_1' e x_2' misurati in tempi diversi (in questo sistema la posizione dell'oggetto non dipende dal tempo). La stessa cosa non vale per il sistema S, in cui l'oggetto si sta muovendo con velocità -\vec v. In S occorre che gli eventi x_1 e x_2 siano simultanei per ottenere una corretta misura della lunghezza:

 x_1 = \Lambda x_1' \qquad x_2 = \Lambda x_2'

La matrice \Lambda rappresenta il cambiamento di sistema di riferimento (matrice di Lorentz):

\Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma\end{pmatrix}

Eseguendo il prodotto righe per colonne calcoliamo gli eventi nel sistema di riferimento nuovo S in cui l'oggetto è in moto:

 x_1 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \qquad x_2 = \left(\begin{array}{c}\gamma c t_1 - \beta\gamma L' \\ 0 \\ 0 \\ -\beta\gamma c t_1 + \gamma L'\end{array}\right)

Poiché i due eventi devono essere simultanei dobbiamo imporre che la componente temporale di x_2 sia nulla:

 \gamma c t_1 - \beta\gamma L' = 0

 t_1 = \frac{\beta L'}{c}

Sostituendo nella quarta componente di x_2 otteniamo:

 x_2 = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ - \beta^2 \gamma L' + \gamma L'\end{array}\right)

A questo punto possiamo calcolare la distanza tra le componenti spaziali dei due eventi x_1 e x_2:

L = x_2^{(4)} - x_1^{(4)} = \gamma L'\left(1 - \beta^2\right) = L'\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

In questo modo abbiamo ottenuto il risultato corretto. Bisogna prestare particolare attenzione quando si calcola la contrazione delle lunghezze in relatività ristretta, poiché si deve tener conto del fatto che eventi che sono simultanei in un sistema di riferimento, non è detto che rimangano tali in un altro.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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