Quadrivelocità

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In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è la medesima costante in ogni sistema di riferimento inerziale.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. Inoltre, la sua norma è solitamente posta uguale alla velocità della luce , e cambia solo la direzione.

Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:[1]

dove è il fattore di Lorentz:

con la norma euclidea della velocità classica .

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate , con , espresse in funzione del tempo :

dove è l'i-esima componente della posizione al tempo . Le componenti della velocità nel punto tangente alla traiettoria sono:

dove le derivate sono valutate in .

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono , con , in cui è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio :

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

la quadrivelocità relativa a è definita come:

Componenti[modifica | modifica wikitesto]

La relazione tra e è data da:

La derivata rispetto al tempo proprio si ottiene la componente per :

Utilizzando la regola della catena, per si ha:

dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:

La quadrivelocità è pertanto:

Norma[modifica | modifica wikitesto]

In un sistema a riposo e , pertanto e la direzione del vettore è l'asse temporale.

Si ha:

se la segnatura della metrica di Minkowski è :

e inoltre:

La norma della quadrivelocità di un oggetto a riposo è dunque pari alla velocità della luce.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Jackson, Pag. 532

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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